极限环
极限环（Limit Cycle）是非线性动力系统中的重要概念，用于描述系统在长期演化过程中所呈现的周期性行为。当系统的轨道不收敛于平衡点，而是趋于一条闭合曲线时，即形成周期运动。在本文中，主要讨论二维自治系统（二维相空间）中的极限环。在这一情形下，极限环可以理解为相平面中的一条孤立闭轨道，即在该闭轨道的邻域内不存在其他周期轨道。该概念最早由 Henri Poincaré 提出，是微分方程定性理论的重要组成部分，并在分析二维系统的长期行为中具有核心作用。后续内容将基于二维相空间的框架，介绍极限环的定义、性质及其判定方法以及相关应用。
定义
形式化定义
我们考虑一个二维动力系统，其形式为：
- [math]\displaystyle{ x'(t) = V(x(t)) }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ V : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 }[/math] 为光滑向量场。[1]
该系统的一条轨道（trajectory）是满足上述微分方程的光滑函数 [math]\displaystyle{ x(t) }[/math]，其取值在 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] 中。轨道在相空间中的像称为其轨道（orbit），是 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] 的一个子集。[2]
如果一条轨道不是常数解，并且存在 [math]\displaystyle{ T\gt 0 }[/math]，使得 [math]\displaystyle{ x(t+T)=x(t) }[/math] 对于所有 [math]\displaystyle{ t \in \mathbb{R} }[/math] 成立，则称该轨道为周期轨道，其对应的轨道称为闭轨道（closed orbit）或循环（cycle）。[1]
极限环（limit cycle）定义为满足以下性质的闭轨道：该闭轨道是某一其他轨道的极限集，即存在一条不同于该闭轨道的轨道，其在 [math]\displaystyle{ t \to +\infty }[/math] 或 [math]\displaystyle{ t \to -\infty }[/math] 时趋于该闭轨道。[2][3]
几何解释
在二维相平面中，系统的轨道对应于解 [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] 在 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] 中的路径，而闭轨道表现为封闭曲线。极限环是一类特殊的闭轨道，其区别在于它可以作为其他轨道的极限行为。[1]
从几何上看，若存在一条轨道，其在时间演化过程中逐渐逼近某一闭曲线，并在极限意义下趋于该闭轨道，则该闭曲线称为极限环。此时，该闭轨道构成该轨道的 [math]\displaystyle{ \omega }[/math]-极限集或 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-极限集。[2]
根据邻近轨道的渐近行为，极限环可以表现为吸引型或排斥型结构：在稳定情形下，邻近轨道在 [math]\displaystyle{ t \to +\infty }[/math] 时趋于该闭轨道；而在不稳定情形下，邻近轨道则远离该闭轨道。[1]
此外，由平面拓扑性质，任意闭轨道将相平面划分为内部与外部区域。极限环通常围绕一个或多个平衡点，并在二维动力系统的长期行为分析中起重要作用。[3]
属性
通过若尔当曲线定理 Jordan Curve Theorem，每一个封闭的轨迹将平面分成两个区域，内部和外部的曲线。
给定一个极限环和它内部在时间上趋近[math]\displaystyle{ + \infty }[/math]的接近极限环的轨迹，在极限环周围有一个邻域，这样所有内部开始的轨迹在时间上趋近[math]\displaystyle{ + \infty }[/math]时都接近极限环。相应的陈述适用于时间上趋近[math]\displaystyle{ - \infty }[/math]的接近极限环的内部轨道，也适用于接近极限环的外部轨道。
稳定、不稳定和半稳定极限环
当所有相邻轨迹在时间趋于无穷大时都接近极限环时，称之为“稳定”或“吸引”极限环（ω- 极限环）。当时间趋近于负无穷时，若所有相邻轨线都逼近它，则它是一个不稳定的极限环（α- 极限环）。如果存在一个相邻轨迹，当时间趋于无穷大时螺旋进入极限环，另一个轨迹在时间趋于负无穷大时螺旋进入极限环，那么它是一个半稳定的极限环。还有一些既不稳定、不稳定也不半稳定的极限环 例如，邻近轨迹可能从外部接近极限环，但极限环的内部是由一组其他的极限环逼近的（不是极限环）。
稳定极限环是吸引子 Attractor的例子。它们意味着自我维持的振荡 Oscillation：闭合轨迹描述了系统的完美周期行为，任何来自这个闭合轨迹的微小扰动都会导致系统返回到它，使系统保持极限环。
寻找极限环
每一个闭合轨迹在其内部都包含一个系统的驻点 Stationary Point，即点[math]\displaystyle{ p }[/math]当有[math]\displaystyle{ V(p)=0 }[/math].本迪克森-杜拉克定理 Bendixson–Dulac theorem和庞加莱-本迪克森定理 Poincaré–Bendixson theorem 分别预言了二维非线性动力系统极限环的缺失或存在。
待解决的问题
一般来说，寻找极限环是一个非常困难的问题。平面上一个多项式微分方程的极限环的个数是希尔伯特第十六题 Hilbert's sixteenth problem第二部分的主要对象。例如，在平面上是否存在一个系统[math]\displaystyle{ x'=V(x) }[/math]，其中[math]\displaystyle{ V }[/math]的两个组成部分都是两个变量的二次多项式，这样的系统有多于4个极限环。
应用
科学应用中许多自持振荡系统的仿真里，极限环具有重要意义。一些例子包括:
- 空气动力学极限环振荡[4]
- 神经元动作电位的霍奇金-赫胥黎模型 Hodgkin–Huxley model。
- 糖酵解的塞尔科夫模型 Sel'kov model[5]。
- 癌细胞在局限微环境中的迁移遵循极限环振荡[8] 。
- 一些非线性电路表现出极限环振荡[9]，这启发了最初的范德波尔模型 Van der Pol model。
另见
参考文献
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 Strogatz, S. H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. Westview Press.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 Perko, L. (2001). Differential Equations and Dynamical Systems. Springer.
- ↑ 3.0 3.1 Devaney, R. (1989). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. CRC Press.
- ↑ Thomas, Jeffrey P.; Dowell, Earl H.; Hall, Kenneth C. (2002), "Nonlinear Inviscid Aerodynamic Effects on Transonic Divergence, Flutter, and Limit-Cycle Oscillations" (PDF), AIAA Journal, American Institute of Aeronautics and Astronautics, 40 (4): 638, Bibcode:2002AIAAJ..40..638T, doi:10.2514/2.1720, retrieved December 9, 2019
- ↑ Sel'kov, E. E. (1968). "Self-Oscillations in Glycolysis 1. A Simple Kinetic Model". European Journal of Biochemistry (in English). 4 (1): 79–86. doi:10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x. ISSN 1432-1033. PMID 4230812.
- ↑ Leloup, Jean-Christophe; Gonze, Didier; Goldbeter, Albert (1999-12-01). "Limit Cycle Models for Circadian Rhythms Based on Transcriptional Regulation in Drosophila and Neurospora". Journal of Biological Rhythms (in English). 14 (6): 433–448. doi:10.1177/074873099129000948. ISSN 0748-7304. PMID 10643740.
- ↑ Roenneberg, Till; Chua, Elaine Jane; Bernardo, Ric; Mendoza, Eduardo (2008-09-09). "Modelling Biological Rhythms". Current Biology. 18 (17): R826–R835. doi:10.1016/j.cub.2008.07.017. ISSN 0960-9822. PMID 18786388.
- ↑ Brückner, David B.; Fink, Alexandra; Schreiber, Christoph; Röttgermann, Peter J. F.; Rädler, Joachim; Broedersz, Chase P. (2019). "Stochastic nonlinear dynamics of confined cell migration in two-state systems". Nature Physics (in English). 15 (6): 595–601. Bibcode:2019NatPh..15..595B. doi:10.1038/s41567-019-0445-4. ISSN 1745-2481.
- ↑ Ginoux, Jean-Marc; Letellier, Christophe (2012-04-30). "Van der Pol and the history of relaxation oscillations: Toward the emergence of a concept". Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 22 (2): 023120. arXiv:1408.4890. Bibcode:2012Chaos..22b3120G. doi:10.1063/1.3670008. ISSN 1054-1500. PMID 22757527.
进一步阅读
- Steven H. Strogatz (2014). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Avalon. ISBN 9780813349114.
- M. Vidyasagar (2002). Nonlinear Systems Analysis (Second ed.). SIAM. ISBN 9780898715262.
- Philip Hartman, "Ordinary Differential Equation", Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.
- Witold Hurewicz, "Lectures on Ordinary Differential Equations", Dover, 2002.
- Solomon Lefschetz, "Differential Equations: Geometric Theory", Dover, 2005.
- Lawrence Perko, "Differential Equations and Dynamical Systems", Springer-Verlag, 2006.
- Arthur Mattuck, Limit Cycles: Existence and Non-existence Criteria, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#
其他链接
- "limit cycle". planetmath.org. Retrieved 2019-07-06.
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