极限环（Limit Cycle）是非线性动力系统中的重要概念，用于描述系统在长期演化过程中所呈现的周期性行为。当系统的轨道不收敛于平衡点，而是趋于一条闭合曲线时，即形成周期运动。在本文中，主要讨论二维自治系统（二维相空间）中的极限环。在这一情形下，极限环可以理解为相平面中的一条孤立闭轨道，即在该闭轨道的邻域内不存在其他周期轨道。该概念最早由 Henri Poincaré 提出，是微分方程定性理论的重要组成部分，并在分析二维系统的长期行为中具有核心作用。后续内容将基于二维相空间的框架，介绍极限环的定义、性质及其判定方法以及相关应用。
定义
形式化定义
我们考虑一个二维动力系统，其形式为：
- [math]\displaystyle{ x'(t) = V(x(t)) }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ V : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 }[/math] 为光滑向量场。[1]
该系统的一条轨道（trajectory）是满足上述微分方程的光滑函数 [math]\displaystyle{ x(t) }[/math]，其取值在 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] 中。轨道在相空间中的像称为其轨道（orbit），是 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] 的一个子集。[2]
如果一条轨道不是常数解，并且存在 [math]\displaystyle{ T\gt 0 }[/math]，使得 [math]\displaystyle{ x(t+T)=x(t) }[/math] 对于所有 [math]\displaystyle{ t \in \mathbb{R} }[/math] 成立，则称该轨道为周期轨道，其对应的轨道称为闭轨道（closed orbit）或循环（cycle）。[1]
极限环（limit cycle）定义为满足以下性质的闭轨道：该闭轨道是某一其他轨道的极限集，即存在一条不同于该闭轨道的轨道，其在 [math]\displaystyle{ t \to +\infty }[/math] 或 [math]\displaystyle{ t \to -\infty }[/math] 时趋于该闭轨道。[2][3]
几何解释
在二维相平面中，系统的轨道对应于解 [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] 在 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] 中的路径，而闭轨道表现为封闭曲线。极限环是一类特殊的闭轨道，其区别在于它可以作为其他轨道的极限行为。[1]
从几何上看，若存在一条轨道，其在时间演化过程中逐渐逼近某一闭曲线，并在极限意义下趋于该闭轨道，则该闭曲线称为极限环。此时，该闭轨道构成该轨道的 [math]\displaystyle{ \omega }[/math]-极限集或 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-极限集。[2]
根据邻近轨道的渐近行为，极限环可以表现为吸引型或排斥型结构：在稳定情形下，邻近轨道在 [math]\displaystyle{ t \to +\infty }[/math] 时趋于该闭轨道；而在不稳定情形下，邻近轨道则远离该闭轨道。[1]
此外，由平面拓扑性质，任意闭轨道将相平面划分为内部与外部区域。极限环通常围绕一个或多个平衡点，并在二维动力系统的长期行为分析中起重要作用。[3]
性质
在二维动力系统中，极限环具有以下基本性质：
首先，由若尔当曲线定理（Jordan curve theorem），任意闭轨道都会将相平面划分为两个互不相交的区域：内部区域与外部区域。[3]
其次，极限环是一个不变集，即若初始条件位于该闭轨道上，则对应解将始终沿该轨道演化。[2]
此外，由解的唯一性可知，不同轨道在相空间中不能相交。因此，极限环作为一条闭轨道，也不能与其他轨道相交。[2]
进一步地，在二维系统中，极限环是孤立的周期轨道，即其邻域内不存在其他闭轨道。该性质保证了极限环在相空间中的结构稳定性。[2]同时，极限环可以作为其他轨道的极限集，从而在描述系统长期行为中起重要作用。[1]
典型实例
简单构造的极限环
4.1 简单构造的极限环
简单的极限环可以通过构造特定的二维系统来得到。以如下系统为示例：
[math]\displaystyle{ \begin{cases} \dot{x} = x(1 - r^2) - y, \\ \dot{y} = y(1 - r^2) + x, \end{cases} }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ r^2 = x^2 + y^2 }[/math]。
将系统改写为极坐标形式，可以得到：
[math]\displaystyle{ \begin{cases} \dot{r} = r(1 - r^2), \\ \dot{\theta} = 1. \end{cases} }[/math]
由此可见，角变量 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 以常数速度增长，而径向变量 [math]\displaystyle{ r }[/math] 满足一维微分方程 [math]\displaystyle{ \dot{r} = r(1 - r^2) }[/math]。该方程在 [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math] 与 [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math] 处存在平衡点，其中 [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math] 为稳定平衡点：当 [math]\displaystyle{ 0 \lt r \lt 1 }[/math] 时，[math]\displaystyle{ \dot{r} \gt 0 }[/math]，轨道向外增长；当 [math]\displaystyle{ r \gt 1 }[/math] 时，[math]\displaystyle{ \dot{r} \lt 0 }[/math]，轨道向内收缩。因此，无论初始半径小于还是大于 1，只要 [math]\displaystyle{ r \neq 0 }[/math]，解都会在时间演化过程中逐渐趋近于 [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math]。
与此同时，由于角变量 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 单调增加，轨道在趋近过程中会不断绕原点旋转，从而在相平面中呈现出螺旋形式。最终，轨道收敛到半径为 1 的圆，并沿该圆作周期运动。
因此，除原点外的所有轨道都会在时间趋于无穷时趋向于圆 [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math]。该单位圆构成系统的一条稳定极限环，即它既是周期轨道，又吸引其邻域内的轨道。
该例说明，通过适当构造系统的径向动力学与角向动力学，可以显式构造出具有给定极限环的二维系统。[1]
Van der Pol 振子
4.2 Van der Pol 振子
Van der Pol 振子是研究极限环的经典非线性系统之一，其方程为：
[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ \mu \gt 0 }[/math] 为参数。该方程最初由 :contentReference[oaicite:0]{index=0} 在研究电子振荡电路时提出。[1]
将其转化为二维一阶系统，可得：
[math]\displaystyle{ \begin{cases} \dot{x} = y, \\ \dot{y} = \mu (1 - x^2)y - x. \end{cases} }[/math]
该系统在原点处存在唯一的平衡点。通过线性化可以证明，当 [math]\displaystyle{ \mu \gt 0 }[/math] 时，该平衡点是不稳定的。[1]
另一方面，该系统的轨道在相平面中被限制在有界区域内，并且不存在其他闭轨道。由此可知，系统存在一条唯一的极限环，并且所有非平衡轨道最终都会趋向该闭轨道。[1][2]
当参数 [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 较小时，系统的振荡近似为正弦波；而当 [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 较大时，系统表现出明显的非线性特征，轨道在相平面中呈现出缓慢变化与快速跃迁交替的行为，这种现象称为松弛振荡（relaxation oscillation）。[1]
Van der Pol 振子表明，极限环不仅可以通过人工构造得到，还可以作为非线性系统的自然动力学行为出现，在物理、生物及工程系统中具有广泛应用。
极限环的排除方法
梯度系统（Gradient systems）
李雅普诺夫函数（Lyapunov functions）
Dulac 准则（Dulac criterion）
极限环存在性理论
庞加莱–本迪克松定理（Poincaré–Bendixson theorem
李纳定理（Liénard theorem）
极限环的近似定量分析
松弛振荡
弱非线性振荡
摄动与平均法
应用
（生物系统、化学振荡、工程振荡器等）
稳定、不稳定和半稳定极限环
当所有相邻轨迹在时间趋于无穷大时都接近极限环时，称之为“稳定”或“吸引”极限环（ω- 极限环）。当时间趋近于负无穷时，若所有相邻轨线都逼近它，则它是一个不稳定的极限环（α- 极限环）。如果存在一个相邻轨迹，当时间趋于无穷大时螺旋进入极限环，另一个轨迹在时间趋于负无穷大时螺旋进入极限环，那么它是一个半稳定的极限环。还有一些既不稳定、不稳定也不半稳定的极限环 例如，邻近轨迹可能从外部接近极限环，但极限环的内部是由一组其他的极限环逼近的（不是极限环）。
稳定极限环是吸引子 Attractor的例子。它们意味着自我维持的振荡 Oscillation：闭合轨迹描述了系统的完美周期行为，任何来自这个闭合轨迹的微小扰动都会导致系统返回到它，使系统保持极限环。
寻找极限环
每一个闭合轨迹在其内部都包含一个系统的驻点 Stationary Point，即点[math]\displaystyle{ p }[/math]当有[math]\displaystyle{ V(p)=0 }[/math].本迪克森-杜拉克定理 Bendixson–Dulac theorem和庞加莱-本迪克森定理 Poincaré–Bendixson theorem 分别预言了二维非线性动力系统极限环的缺失或存在。
待解决的问题
一般来说，寻找极限环是一个非常困难的问题。平面上一个多项式微分方程的极限环的个数是希尔伯特第十六题 Hilbert's sixteenth problem第二部分的主要对象。例如，在平面上是否存在一个系统[math]\displaystyle{ x'=V(x) }[/math]，其中[math]\displaystyle{ V }[/math]的两个组成部分都是两个变量的二次多项式，这样的系统有多于4个极限环。
应用
科学应用中许多自持振荡系统的仿真里，极限环具有重要意义。一些例子包括:
- 空气动力学极限环振荡[4]
- 神经元动作电位的霍奇金-赫胥黎模型 Hodgkin–Huxley model。
- 糖酵解的塞尔科夫模型 Sel'kov model[5]。
- 癌细胞在局限微环境中的迁移遵循极限环振荡[8] 。
- 一些非线性电路表现出极限环振荡[9]，这启发了最初的范德波尔模型 Van der Pol model。
另见
参考文献
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Strogatz, S. H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. Westview Press.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Perko, L. (2001). Differential Equations and Dynamical Systems. Springer.
- ↑ 3.0 3.1 3.2 Devaney, R. (1989). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. CRC Press.
- ↑ Thomas, Jeffrey P.; Dowell, Earl H.; Hall, Kenneth C. (2002), "Nonlinear Inviscid Aerodynamic Effects on Transonic Divergence, Flutter, and Limit-Cycle Oscillations" (PDF), AIAA Journal, American Institute of Aeronautics and Astronautics, 40 (4): 638, Bibcode:2002AIAAJ..40..638T, doi:10.2514/2.1720, retrieved December 9, 2019
- ↑ Sel'kov, E. E. (1968). "Self-Oscillations in Glycolysis 1. A Simple Kinetic Model". European Journal of Biochemistry (in English). 4 (1): 79–86. doi:10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x. ISSN 1432-1033. PMID 4230812.
- ↑ Leloup, Jean-Christophe; Gonze, Didier; Goldbeter, Albert (1999-12-01). "Limit Cycle Models for Circadian Rhythms Based on Transcriptional Regulation in Drosophila and Neurospora". Journal of Biological Rhythms (in English). 14 (6): 433–448. doi:10.1177/074873099129000948. ISSN 0748-7304. PMID 10643740.
- ↑ Roenneberg, Till; Chua, Elaine Jane; Bernardo, Ric; Mendoza, Eduardo (2008-09-09). "Modelling Biological Rhythms". Current Biology. 18 (17): R826–R835. doi:10.1016/j.cub.2008.07.017. ISSN 0960-9822. PMID 18786388.
- ↑ Brückner, David B.; Fink, Alexandra; Schreiber, Christoph; Röttgermann, Peter J. F.; Rädler, Joachim; Broedersz, Chase P. (2019). "Stochastic nonlinear dynamics of confined cell migration in two-state systems". Nature Physics (in English). 15 (6): 595–601. Bibcode:2019NatPh..15..595B. doi:10.1038/s41567-019-0445-4. ISSN 1745-2481.
- ↑ Ginoux, Jean-Marc; Letellier, Christophe (2012-04-30). "Van der Pol and the history of relaxation oscillations: Toward the emergence of a concept". Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 22 (2): 023120. arXiv:1408.4890. Bibcode:2012Chaos..22b3120G. doi:10.1063/1.3670008. ISSN 1054-1500. PMID 22757527.
进一步阅读
- Steven H. Strogatz (2014). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Avalon. ISBN 9780813349114.
- M. Vidyasagar (2002). Nonlinear Systems Analysis (Second ed.). SIAM. ISBN 9780898715262.
- Philip Hartman, "Ordinary Differential Equation", Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.
- Witold Hurewicz, "Lectures on Ordinary Differential Equations", Dover, 2002.
- Solomon Lefschetz, "Differential Equations: Geometric Theory", Dover, 2005.
- Lawrence Perko, "Differential Equations and Dynamical Systems", Springer-Verlag, 2006.
- Arthur Mattuck, Limit Cycles: Existence and Non-existence Criteria, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#
其他链接
- "limit cycle". planetmath.org. Retrieved 2019-07-06.
编者推荐
集智文章推荐
什么是非线性系统 | 集智百科
描述变量随时间变化的非线性动力系统与较之简单得多的线性系统相比，可能显得混沌、不可预测或违反直觉。
本中文词条由小竹凉翻译，WildBoar，薄荷欢迎在讨论页面留言。
本词条内容源自公开资料，遵守 CC3.0协议。