跨临界分岔

跨临界分岔

历史溯源

分岔的早期研究可追溯到庞加莱（Jules Henri Poincaré）时期。庞加莱最早提出了“分岔”的概念。他重点研究了这样一种现象：当外部条件（即参数）发生改变时，系统原本可能存在的几种不同状态（即方程不同的解的分支）会逐渐靠近、合并，并最终完全消失。他当时描绘的这一过程，与鞍结点分岔的情况非常相似。

之后苏联学者安德罗诺夫（A. A. Andronov）1937年提出“粗糙系统/结构稳定性”思想，被视为现代分岔理论的重要起点之一（从“稳定拓扑结构”角度刻画分岔的发生）。1938年，安德罗诺夫（A. A. Andronov）和列昂托维奇（E. A. Leontovich）在 Doklady AN SSSR 提交论文，引入“非粗糙度阶（degrees of nonroughness）”并研究相平面分解的定性结构改变，推动“分岔集合/余维”思想萌芽。在他们的研究中，系统地讨论了参数变化对系统不动点的影响。

跨临界分岔由此而出现。

标准型及其性质

在数学上，我们可以通过标准型来研究分岔的本质特征。对于一维动力系统（参考一维动力学），跨临界分岔的最简微分方程形式（标准型）如下

[math]\displaystyle{ \dot{x} = rx \pm x^2 }[/math]

(1)

• 其中[math]\displaystyle{ x \in \mathcal{R} }[/math]是状态变量，[math]\displaystyle{ r \in \mathcal{R} }[/math]为诱导分岔产生的外部参数。

跨临界分岔的关键性质在于，随着系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]的改变，相空间中原本存在的两个不动点（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终互换：稳定变不稳定，不稳定变稳定。

求解不动点

不动点意味着变化率为0，以[math]\displaystyle{ \dot{x}=rx-x^2 }[/math]为例，就是[math]\displaystyle{ \dot{x}=rx-x^2=x(r-x)=0 }[/math]。

这个一元二次方程有两个解： [math]\displaystyle{ x^*=0 }[/math] 和 [math]\displaystyle{ x^*=r }[/math]

不动点及其稳定性

要分析不动点的稳定性，可以通过计算不动点的一阶导数。这里就是[math]\displaystyle{ f'(x^*)=r-2x^* }[/math]。

当[math]\displaystyle{ r\lt 0 }[/math]时，

• 不动点[math]\displaystyle{ x^*=0 }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)=r-2*0=r\lt 0 }[/math]，微小扰动会衰减，是稳定不动点。
• 不动点[math]\displaystyle{ x^*=r }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)=r-2r=-r\gt 0 }[/math]，微小扰动会放大，是不稳定不动点；

当 [math]\displaystyle{ r=0 }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)=0 }[/math]，此处为分岔点。

当[math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math]时，

• 不动点[math]\displaystyle{ x^*=0 }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)=r-2*0=r\gt 0 }[/math]，微小扰动会放大，是不稳定不动点。
• 不动点[math]\displaystyle{ x^*=r }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)=r-2r=-r\lt 0 }[/math]，微小扰动会衰减，是稳定不动点；

相图与分岔图

根据以上求解和分析，对于[math]\displaystyle{ \dot{x} = rx- x^2 }[/math]这个系统，可以画出相图和分岔图来直观展示参数变化对系统的影响。

相图即[math]\displaystyle{ \dot{x}=f(x) }[/math]的图像，纵坐标为[math]\displaystyle{ \dot{x} }[/math]，横坐标为[math]\displaystyle{ x }[/math]，展示了系统在参数[math]\displaystyle{ r }[/math]取不同值时可分为三种不同的状态。

• 实心点为稳定不动点，空心点为不稳定不动点，半空心点为临界半稳定不动点，箭头为演化方向。

分岔图如下：分岔图是以参数[math]\displaystyle{ r }[/math]为自变量，系统不动点[math]\displaystyle{ x^* }[/math]为因变量，能直观展示参数的取值与不动点的数量和性质的关系。

案例：激光模型

模型描述

这里介绍哈肯在1983年研究的激光模型的简化版。 哈肯是协同学的创始人，他本身一开始是做激光研究的。

如图所示：外面有一个泵，里面是很多高能级的原子束，是活跃的这种材料。 两边是都是镜子，会反射这个光子。 然后右边这个镜子，它实际上中间会有一个小孔，它就是用来去释放这个激光的。 如果它满足条件的话就会放出激光来。 中间的高能级原子，它就会因为受激，通过受激辐射来产生很多新的光子。 这个模型主要描述的是光子数的一个动力学变化。

数学表述为： [math]\displaystyle{ \dot{n} = gain - loss = GnN - kn }[/math]

[math]\displaystyle{ N(t) = N_{0} - an }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{n} = Gn (N_{0}-an) - kn = (GN_{0} - k)n-(aG)n^2 }[/math]

其中：n光子数，N高能级原子数，G增益系数，kn光子逸出或被吸收的损耗，an受激辐射损失的高能级原子

分岔点

对这个系统[math]\displaystyle{ \dot{n} = Gn (N_{0}-an) - kn = (GN_{0} - k)n-(aG)n^2 }[/math] 可以求出它的两个不动点： [math]\displaystyle{ n^* = 0 }[/math] 和[math]\displaystyle{ n^*= frac{GN_{0} - k}{aG} }[/math]

同样可以画出这个系统的相图和分岔图，如下：

物理意义

上面的相图和分岔图描述了这个激光模型中激光产生的过程：当阈值(即初始高能量原子数)[math]\displaystyle{ N_{0}=frac{k}{\G}\gt 0 }[/math]时，泵中才出现可溢出光子数[math]\displaystyle{ n }[/math]，

• 当参数[math]\displaystyle{ n }[/math]在较小数值范围内变动（[math]\displaystyle{ 0\lt r\lt 0.384 }[/math]）：

系统只有一个不动点，环境的改变只引起系统状态的微小调整。比如气温稍微升高，蚜虫数量只是略微增加，依然会被捕食者维持在较低数量的稳定态。