跨临界分岔

历史溯源

分岔的早期研究可追溯到庞加莱（Jules Henri Poincaré）时期。庞加莱最早提出了“分岔”的概念。他重点研究了这样一种现象：当外部条件（即参数）发生改变时，系统原本可能存在的几种不同状态（即方程不同的解的分支）会逐渐靠近、合并，并最终完全消失。他当时描绘的这一过程，与鞍结点分岔的情况非常相似。^[1]

之后苏联学者安德罗诺夫（A. A. Andronov）1937年提出“粗糙系统/结构稳定性”思想，被视为现代分岔理论的重要起点之一（从“稳定拓扑结构”角度刻画分岔的发生）。1938年，安德罗诺夫（A. A. Andronov）和列昂托维奇（E. A. Leontovich）在 Doklady AN SSSR 提交论文，引入“非粗糙度阶（degrees of nonroughness）”并研究相平面分解的定性结构改变，推动“分岔集合/余维”思想萌芽。在他们的研究中，系统地讨论了参数变化对系统不动点的影响。^[2]

跨临界分岔由此而出现。

标准型及其性质

在数学上，我们可以通过标准型来研究分岔的本质特征。对于一维动力系统（参考一维动力学），跨临界分岔的最简微分方程形式（标准型）如下^[3]

[math]\displaystyle{ \dot{x} = rx \pm x^2 }[/math]

(1)

其中[math]\displaystyle{ x \in \mathcal{R} }[/math]是状态变量，[math]\displaystyle{ r \in \mathcal{R} }[/math]为诱导分岔产生的外部参数。

跨临界分岔的关键性质在于，随着系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]的改变，相空间中原本存在的两个不动点（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终互换：稳定变不稳定，不稳定变稳定。

求解不动点

不动点意味着变化率为0，以[math]\displaystyle{ \dot{x}=rx-x^2 }[/math]为例，就是[math]\displaystyle{ \dot{x}=rx-x^2=x(r-x)=0 }[/math]。

这个一元二次方程有两个解： [math]\displaystyle{ x^*=0 }[/math] 和 [math]\displaystyle{ x^*=r }[/math]

不动点及其稳定性

要分析不动点的稳定性，可以通过计算不动点的一阶导数。这里就是[math]\displaystyle{ f'(x^*)=r-2x^* }[/math]。

当[math]\displaystyle{ r\lt 0 }[/math]时，

不动点[math]\displaystyle{ x^*=0 }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)=r-2*0=r\lt 0 }[/math]，微小扰动会衰减，是稳定不动点。
不动点[math]\displaystyle{ x^*=r }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)=r-2r=-r\gt 0 }[/math]，微小扰动会放大，是不稳定不动点；

当 [math]\displaystyle{ r=0 }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)=0 }[/math]，此处为分岔点。

当[math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math]时，

不动点[math]\displaystyle{ x^*=0 }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)=r-2*0=r\gt 0 }[/math]，微小扰动会放大，是不稳定不动点。
不动点[math]\displaystyle{ x^*=r }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)=r-2r=-r\lt 0 }[/math]，微小扰动会衰减，是稳定不动点；

相图与分岔图

根据以上求解和分析，对于[math]\displaystyle{ \dot{x} = rx- x^2 }[/math]这个系统，可以画出相图和分岔图来直观展示参数变化对系统的影响。

相图即[math]\displaystyle{ \dot{x}=f(x) }[/math]的图像，纵坐标为[math]\displaystyle{ \dot{x} }[/math]，横坐标为[math]\displaystyle{ x }[/math]，展示了系统在参数[math]\displaystyle{ r }[/math]取不同值时可分为三种不同的状态。

实心点为稳定不动点，空心点为不稳定不动点，半空心点为临界半稳定不动点，箭头为演化方向。

分岔图如下：分岔图是以参数[math]\displaystyle{ r }[/math]为自变量，系统不动点[math]\displaystyle{ x^* }[/math]为因变量，能直观展示参数的取值与不动点的数量和性质的关系。

案例：激光模型

模型描述

这里介绍哈肯在1983年研究的激光模型的简化版。哈肯是协同学的创始人，他本身一开始是做激光研究的。

如图所示：外面有一个泵，里面是很多高能级的原子束，是活跃的这种材料。两边是都是镜子，会反射这个光子。然后右边这个镜子，它实际上中间会有一个小孔，它就是用来去释放这个激光的。如果它满足条件的话就会放出激光来。中间的高能级原子，它就会因为受激，通过受激辐射来产生很多新的光子。这个模型主要描述的是光子数的一个动力学变化。

数学表述为： [math]\displaystyle{ \dot{n} = gain - loss = GnN - kn }[/math]

[math]\displaystyle{ N(t) = N_{0} - an }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{n} = Gn (N_{0}-an) - kn = (GN_{0} - k)n-(aG)n^2 }[/math]

其中：n光子数，N高能级原子数，G增益系数，kn光子逸出或被吸收的损耗，an受激辐射损失的高能级原子

分岔点

对这个系统[math]\displaystyle{ \dot{n} = Gn (N_{0}-an) - kn = (GN_{0} - k)n-(aG)n^2 }[/math] 可以求出它的两个不动点： [math]\displaystyle{ n^* = 0 }[/math] 和[math]\displaystyle{ n^*= \frac{GN_{0} - k}{aG} }[/math]。

同样可以画出这个系统的相图和分岔图，如下：

物理意义

上面的相图和分岔图描述了这个激光模型中激光产生的过程：当阈值(即初始高能量原子数)[math]\displaystyle{ N_{0}=\frac{k}{G}\gt 0 }[/math]时，泵中才出现可溢出光子数[math]\displaystyle{ n }[/math]，而且有稳定的不动点[math]\displaystyle{ n^*= \frac{GN_{0} - k}{aG} }[/math]。

二维系统及以上

与一维动力系统中的跨临界分岔类似，二维及以上的跨临界分岔同样描述了一个稳定不动点和一个不稳定不动点随参数变化而互换稳定性的过程。^[4]^[3]

二维标准型

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \dot x = \mu x - x^2 \\ \dot y = -\lambda y \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ x }[/math]与[math]\displaystyle{ y }[/math]为状态变量。
[math]\displaystyle{ \mu }[/math]为分岔参数。
一式描述了系统在[math]\displaystyle{ x }[/math]维度上的分岔行为。
二式描述了系统在[math]\displaystyle{ y }[/math]维度上的收缩行为（其中[math]\displaystyle{ \lambda\gt 0 }[/math]，通常取[math]\displaystyle{ \lambda=1 }[/math]来简化讨论），表明系统在非分岔方向上是稳定的。

三维以上的标准型与二维类似，仅在某个维度有分岔行为（类似[math]\displaystyle{ \dot x = \mu x - x^2 }[/math]），系统在其余维度上稳定（均为类似[math]\displaystyle{ \dot y=-\lambda y }[/math]的形式，其中参数[math]\displaystyle{ \lambda\gt 0 }[/math]）。

稳定性分析

（下面我目前照抄 “鞍结点分岔的图”，待请教）

x方向的不动点分析与一维情况完全类似。随着参数 [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 的变化，二维相平面上的拓扑结构经历以下三个阶段：

1. 双不动点共存阶段 ([math]\displaystyle{ \mu \lt 0 }[/math])：

稳定不动点 [math]\displaystyle{ (0，0) }[/math]：在两个特征方向上均表现为吸引，对应系统的一个稳态。
不稳定不动点 [math]\displaystyle{ (\lt math\gt \mu , 0) }[/math]：在 [math]\displaystyle{ y }[/math] 方向吸引，在 [math]\displaystyle{ x }[/math] 方向排斥。

动力学特征：相空间被不稳定不动点分割，大部分轨线最终收敛于稳定不动点。

2. 临界分岔点 ([math]\displaystyle{ \mu = 0 }[/math])：两个不动点在原点 [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] 处发生碰撞并融合。

3. 互换稳定性后的双不动点共存阶段 ([math]\displaystyle{ \mu \gt 0 }[/math])：

稳定不动点 [math]\displaystyle{ (\lt math\gt \mu , 0) }[/math]：在两个特征方向上均表现为吸引，对应系统的一个稳态。
不稳定不动点 [math]\displaystyle{ (0, 0) }[/math]：在 [math]\displaystyle{ y }[/math] 方向吸引，在 [math]\displaystyle{ x }[/math] 方向排斥。