极限环
极限环（Limit Cycle）是非线性动力系统中的重要概念，用于描述系统在长期演化过程中所呈现的周期性行为。当系统的轨道不收敛于平衡点，而是趋于一条闭合曲线时，即形成周期运动。在本文中，主要讨论二维自治系统（二维相空间）中的极限环。在这一情形下，极限环可以理解为相平面中的一条孤立闭轨道，即在该闭轨道的邻域内不存在其他周期轨道。该概念最早由 Henri Poincaré 提出，是微分方程定性理论的重要组成部分，并在分析二维系统的长期行为中具有核心作用。后续内容将基于二维相空间的框架，介绍极限环的定义、性质及其判定方法以及相关应用。
定义
在研究二维相空间的动力系统时，极限环（limit cycle）通常定义为满足特定性质的闭轨道：该闭轨道是某一其他轨道的极限集，即至少存在另一条轨道，其在 [math]\displaystyle{ t \to +\infty }[/math] 或 [math]\displaystyle{ t \to -\infty }[/math] 时以螺旋方式趋近于该轨道。[1][2]
为更精确地描述这一概念，考虑一个二维动力系统
- [math]\displaystyle{ x'(t) = V(x(t)) }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ V : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 }[/math] 为光滑向量场。[3]
该系统的一条轨道（trajectory）是满足上述微分方程的光滑函数 [math]\displaystyle{ x(t) }[/math]，其取值于 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math]；而该函数在相空间中的像称为其轨道（orbit），即 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] 的一个子集。[1]
如果一条轨道不是常数解，并且存在 [math]\displaystyle{ T\gt 0 }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ x(t+T)=x(t) }[/math] 对所有 [math]\displaystyle{ t \in \mathbb{R} }[/math] 成立，则称该轨道为周期轨道（periodic trajectory），其在相空间中的像称为闭轨道（closed orbit）或循环（cycle）。[3]
在二维系统中，极限环可以看作是一类孤立的周期轨道，即其附近不存在其他周期轨道。
性质
在二维动力系统中，极限环具有以下基本性质：
首先，由若尔当曲线定理（Jordan curve theorem），任意闭轨道都会将相平面划分为两个互不相交的区域：内部区域与外部区域。[2]
其次，极限环是一个不变集，即若初始条件位于该闭轨道上，则对应解将始终沿该轨道演化。[1]
此外，由解的唯一性可知，不同轨道在相空间中不能相交。因此，极限环作为一条闭轨道，也不能与其他轨道相交。[1]
进一步地，在二维系统中，极限环是孤立的周期轨道，即其邻域内不存在其他闭轨道。该性质保证了极限环在相空间中的结构稳定性。[1]同时，极限环可以作为其他轨道的极限集，从而在描述系统长期行为中起重要作用。[3]
典型实例
简单构造的极限环
简单的极限环可以通过构造特定的二维系统来得到。以如下系统为示例：
[math]\displaystyle{ \begin{cases} \dot{x} = x(1 - r^2) - y, \\ \dot{y} = y(1 - r^2) + x, \end{cases} }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ r^2 = x^2 + y^2 }[/math]。
将系统改写为极坐标形式，可以得到：
[math]\displaystyle{ \begin{cases} \dot{r} = r(1 - r^2), \\ \dot{\theta} = 1. \end{cases} }[/math]
由此可见，角变量 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 以常数速度增长，而径向变量 [math]\displaystyle{ r }[/math] 满足一维微分方程 [math]\displaystyle{ \dot{r} = r(1 - r^2) }[/math]。该方程在 [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math] 与 [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math] 处存在平衡点，其中 [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math] 为稳定平衡点：当 [math]\displaystyle{ 0 \lt r \lt 1 }[/math] 时，[math]\displaystyle{ \dot{r} \gt 0 }[/math]，轨道向外增长；当 [math]\displaystyle{ r \gt 1 }[/math] 时，[math]\displaystyle{ \dot{r} \lt 0 }[/math]，轨道向内收缩。因此，无论初始半径小于还是大于 1，只要 [math]\displaystyle{ r \neq 0 }[/math]，解都会在时间演化过程中逐渐趋近于 [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math]。
与此同时，由于角变量 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 单调增加，轨道在趋近过程中会不断绕原点旋转，从而在相平面中呈现出螺旋形式。最终，轨道收敛到半径为 1 的圆，并沿该圆作周期运动。
因此，除原点外的所有轨道都会在时间趋于无穷时趋向于圆 [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math]。该单位圆构成系统的一条稳定极限环，即它既是周期轨道，又吸引其邻域内的轨道。
该例说明，通过适当构造系统的径向动力学与角向动力学，可以显式构造出具有给定极限环的二维系统。[3]
Van der Pol 振子
Van der Pol 振子是研究极限环的经典非线性系统之一，其方程为：
[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ \mu \gt 0 }[/math] 为参数。该方程最初由 :contentReference[oaicite:0]{index=0} 在研究电子振荡电路时提出。[3]
将其转化为二维一阶系统，可得：
[math]\displaystyle{ \begin{cases} \dot{x} = y, \\ \dot{y} = \mu (1 - x^2)y - x. \end{cases} }[/math]
该系统在原点处存在唯一的平衡点。通过线性化可以证明，当 [math]\displaystyle{ \mu \gt 0 }[/math] 时，该平衡点是不稳定的。[3]
另一方面，该系统的轨道在相平面中被限制在有界区域内，并且不存在其他闭轨道。由此可知，系统存在一条唯一的极限环，并且所有非平衡轨道最终都会趋向该闭轨道。[3][1]
当参数 [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 较小时，系统的振荡近似为正弦波；而当 [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 较大时，系统表现出明显的非线性特征，轨道在相平面中呈现出缓慢变化与快速跃迁交替的行为，这种现象称为松弛振荡（relaxation oscillation）。[3]
Van der Pol 振子表明，极限环不仅可以通过人工构造得到，还可以作为非线性系统的自然动力学行为出现，在物理、生物及工程系统中具有广泛应用。
极限环的排除方法
梯度系统（Gradient systems）
李雅普诺夫函数（Lyapunov functions）
Dulac 准则（Dulac criterion）
极限环存在性理论
庞加莱–本迪克松定理（Poincaré–Bendixson theorem)
李纳定理（Liénard theorem）
每一个闭合轨迹在其内部都包含一个系统的驻点 Stationary Point，即点[math]\displaystyle{ p }[/math]当有[math]\displaystyle{ V(p)=0 }[/math].本迪克森-杜拉克定理 Bendixson–Dulac theorem和庞加莱-本迪克森定理 Poincaré–Bendixson theorem分别预言了二维非线性动力系统极限环的缺失或存在。
极限环的近似定量分析
松弛振荡
弱非线性振荡
摄动与平均法
稳定、不稳定和半稳定极限环
当所有相邻轨迹在时间趋于无穷大时都接近极限环时，称之为稳定或吸引极限环（ω-极限环）。当时间趋近于负无穷时，若所有相邻轨线都逼近它，则它是不稳定的极限环（α-极限环）。如果存在一个相邻轨迹在时间趋于无穷大时螺旋进入极限环，而另一个轨迹在时间趋于负无穷大时螺旋进入极限环，则称其为半稳定极限环。
此外，还存在既不稳定也不不稳定亦不半稳定的情形，例如：邻近轨迹可能从外部接近极限环，而极限环内部由一族其他闭轨道逼近（这些轨道本身不是极限环）。
稳定极限环是吸引子（attractor）的一个例子。它对应于自我维持的振荡（oscillation）：闭轨道描述了系统的周期行为，而任何偏离该轨道的微小扰动都会使系统重新回到该极限环上。
待解决的问题
一般来说，寻找极限环是一个非常困难的问题。平面上一个多项式微分方程的极限环个数问题是希尔伯特第十六题（Hilbert's sixteenth problem）第二部分的主要研究对象。
例如，在平面上是否存在一个系统 [math]\displaystyle{ x' = V(x) }[/math]，其中 [math]\displaystyle{ V }[/math] 的两个分量都是二次多项式，使得该系统具有超过四个极限环。
应用
科学应用中许多自持振荡系统的仿真中，极限环具有重要意义。一些典型例子包括：
- 空气动力学中的极限环振荡[4]
- 神经元动作电位的霍奇金–赫胥黎模型（Hodgkin–Huxley model）
- 糖酵解过程中的塞尔科夫模型（Sel'kov model）[5]
- 癌细胞在局限微环境中的迁移过程可表现出极限环振荡[8]
- 一些非线性电路系统表现出极限环振荡[9]，这启发了范德波尔模型（Van der Pol model）
参考文献
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Perko, L. (2001). Differential Equations and Dynamical Systems. Springer.
- ↑ 2.0 2.1 Devaney, R. (1989). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. CRC Press.
- ↑ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Strogatz, S. H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. Westview Press.
- ↑ Thomas, Jeffrey P.; Dowell, Earl H.; Hall, Kenneth C. (2002). "Nonlinear Inviscid Aerodynamic Effects on Transonic Divergence, Flutter, and Limit-Cycle Oscillations". AIAA Journal, 40(4): 638. DOI: 10.2514/2.1720.
- ↑ Sel'kov, E. E. (1968). "Self-Oscillations in Glycolysis 1. A Simple Kinetic Model". European Journal of Biochemistry, 4(1): 79–86. DOI: 10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x.
- ↑ Leloup, Jean-Christophe; Gonze, Didier; Goldbeter, Albert (1999). "Limit Cycle Models for Circadian Rhythms Based on Transcriptional Regulation in Drosophila and Neurospora". Journal of Biological Rhythms, 14(6): 433–448. DOI: 10.1177/074873099129000948.
- ↑ Roenneberg, Till et al. (2008). "Modelling Biological Rhythms". Current Biology, 18(17): R826–R835. DOI: 10.1016/j.cub.2008.07.017.
- ↑ Brückner, David B. et al. (2019). "Stochastic nonlinear dynamics of confined cell migration in two-state systems". Nature Physics, 15(6): 595–601. DOI: 10.1038/s41567-019-0445-4.
- ↑ Ginoux, Jean-Marc; Letellier, Christophe (2012). "Van der Pol and the history of relaxation oscillations: Toward the emergence of a concept". Chaos, 22(2): 023120. DOI: 10.1063/1.3670008.