保守系统的非线性中心

保守系统

定义

又称机械能转换与守恒定律。其内容是:一个物体系统内如果只有保守内力做功,外力和非保守内力都不做功,则系统内各物体的动能和势能可以相互转换,但它们的总和保持不变。

在经典力学中，保守或守恒源自保守力做功与路径无关。在量子力学中，称由与时间无关的哈密顿量描写的系统为保守系统。

在非线性动力学中，假定某一系统[math]\displaystyle{ /dot{x} = f(x) }[/math],该系统具有一个实值连续函数 [math]\displaystyle{ E(x) }[/math]且在轨道上是恒定的，即[math]\displaystyle{ dE/dt =0 }[/math],则称此具有一个守恒量的系统为保守系统。

性质

• 一个保守系统不会存在任何吸引不动点。

保守系统的非线性中心

考虑系统[math]\displaystyle{ ẋ = f(x) }[/math]，其中点[math]\displaystyle{ x ＝ (x, y)\in \mathbb{R}^2 }[/math]，且[math]\displaystyle{ f }[/math] 是连续可导的。假设存在一个守恒量 [math]\displaystyle{ E(x) }[/math],[math]\displaystyle{ x* }[/math]是一个孤立不动点（在它的一个小邻域内没有其他不动点。如果[math]\displaystyle{ f }[/math]是[math]\displaystyle{ E }[/math]的局部极小值，那么所有足够接近[math]\displaystyle{ x* }[/math]的轨迹都是闭合的。)