非线性中心

保守系统

定义

又称机械能转换与守恒定律。其内容是：一个物体系统内如果只有保守内力做功,外力和非保守内力都不做功,则系统内各物体的动能和势能可以相互转换,但它们的总和保持不变。

在经典力学中，保守或守恒源自保守力做功与路径无关。在量子力学中，称由与时间无关的哈密顿量描写的系统为保守系统 Conservative System。

在非线性动力学中，假定某一系统 [math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x) }[/math] ,该系统具有一个实值连续函数 [math]\displaystyle{ E(x) }[/math] 且在轨道上是恒定的，即 [math]\displaystyle{ \frac{dE}{dt} =0 }[/math] ,则称此具有一个守恒量的系统为保守系统。

性质

• 一个保守系统不会存在任何吸引不动点。
  

  图1：双阱系统能量等高线图及其相平面投影

保守系统的非线性中心

考虑系统 [math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x) }[/math] ，其中点 [math]\displaystyle{ x ＝ (x, y)\in \mathbb{R}^2 }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是连续可导的。假设存在一个守恒量 [math]\displaystyle{ E(x) }[/math] , [math]\displaystyle{ x^* }[/math] 是一个孤立不动点（在它的一个小邻域内没有其他不动点)。如果 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是 [math]\displaystyle{ E }[/math] 的局部极小值，那么所有足够接近 [math]\displaystyle{ x^* }[/math] 的轨迹都是闭合的。

可逆系统

定义

考虑相空间中任意到自身的映射 [math]\displaystyle{ R(x) }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ R^2(x) = x }[/math] （该映射作用两次，所有的点都返回到它们的起始位置）。如果在变量改变为 [math]\displaystyle{ t→ - t }[/math] ， [math]\displaystyle{ x→ R(x) }[/math] 是不变的，那么系统 [math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x) }[/math] 是可逆系统 Reversible System。

可逆系统的非线性中心

假设原点 [math]\displaystyle{ x^* = 0 }[/math] 是一个连续可导系统的线性中心，系统为

[math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x, y) }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{y} = g(x, y) }[/math]

假定系统是可逆的。如果无限接近起点，所有的轨道都是闭曲线。