非线性中心

保守系统

定义

又称机械能转换与守恒定律。其内容是：一个物体系统内如果只有保守内力做功,外力和非保守内力都不做功,则系统内各物体的动能和势能可以相互转换,但它们的总和保持不变。

在经典力学中，保守或守恒源自保守力做功与路径无关。在量子力学中，称由与时间无关的哈密顿量描写的系统为保守系统 Conservative System。

在非线性动力学中，假定某一系统 [math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x) }[/math] ,该系统具有一个实值连续函数 [math]\displaystyle{ E(x) }[/math] 且在轨道上是恒定的，即 [math]\displaystyle{ \frac{dE}{dt} =0 }[/math] ,则称此具有一个守恒量的系统为保守系统。

案例

一个质子[math]\displaystyle{ m }[/math]在非线性力[math]\displaystyle{ F(x) }[/math]下沿[math]\displaystyle{ x }[/math]轴移动。假设[math]\displaystyle{ F }[/math]是关于[math]\displaystyle{ \dot{x} }[/math]和[math]\displaystyle{ t }[/math]是独立的；且没有任何摩擦或阻力，且驱动力是不随时间变化的。此时能量守恒

[math]\displaystyle{ m\ddot{x} }[/math]=F(x)

定义势能[math]\displaystyle{ V(x) }[/math]，有[math]\displaystyle{ F(x)=-\frac{dV}{dx} }[/math]，有

[math]\displaystyle{ m\ddot{x}+\frac{dV}{dx}=0 }[/math]

两边同时乘以[math]\displaystyle{ \dot{x} }[/math]，得到一个关于时间的导数

[math]\displaystyle{ m\dot{x}\ddot{x}+\frac{dV}{dx}=0 \Rightarrow \frac{d}{dt}[\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x)]=0 }[/math]

对于一个特定的解[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]，总能量不随时间变化

[math]\displaystyle{ E=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x) }[/math]

该系统则为保守系统。

性质

• 一个保守系统不会存在任何吸引不动点。

反证法：假设[math]\displaystyle{ x^* }[/math]是一个吸引不动点。那么在吸引域中的所有点将具有同等能量[math]\displaystyle{ E(x^*) }[/math]。（因为能量在轨道上是守恒的，并且在区域内的所有轨迹都流向[math]\displaystyle{ x^* }[/math]）。因此[math]\displaystyle{ E(x) }[/math]对与所以吸引域内的[math]\displaystyle{ x }[/math]一定是常量函数。因为保守系统要求[math]\displaystyle{ E(x) }[/math]对于所有开集是非恒定的，因此这与保守系统的定义相矛盾。

图1：双阱系统能量等高线图及其相平面投影

保守系统的非线性中心

考虑系统 [math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x) }[/math] ，其中点 [math]\displaystyle{ x ＝ (x, y)\in \mathbb{R}^2 }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是连续可导的。假设存在一个守恒量 [math]\displaystyle{ E(x) }[/math] , [math]\displaystyle{ x^* }[/math] 是一个孤立不动点（在它的一个小邻域内没有其他不动点)。如果 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是 [math]\displaystyle{ E }[/math] 的局部极小值，那么所有足够接近 [math]\displaystyle{ x^* }[/math] 的轨迹都是闭合的。故[math]\displaystyle{ x^* }[/math] 是非线性中心。

可逆系统

定义

考虑相空间中任意到自身的映射 [math]\displaystyle{ R(x) }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ R^2(x) = x }[/math] （该映射作用两次，所有的点都返回到它们的起始位置）。如果在变量改变为 [math]\displaystyle{ t→ - t }[/math] ， [math]\displaystyle{ x→ R(x) }[/math] 是不变的，那么系统 [math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x) }[/math] 是可逆系统 Reversible System。

可逆系统的非线性中心

假设原点 [math]\displaystyle{ x^* = 0 }[/math] 是一个连续可导系统的线性中心，系统为

[math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x, y) }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{y} = g(x, y) }[/math]

其中[math]\displaystyle{ f }[/math]是关于[math]\displaystyle{ y }[/math]的奇函数，[math]\displaystyle{ g }[/math]关于[math]\displaystyle{ y }[/math]的偶函数，并且[math]\displaystyle{ f }[/math]和[math]\displaystyle{ g }[/math]都是可逆的。 假定系统是可逆的。如果无限接近起点，所有的轨道都是闭曲线。 若线性化处理一个可逆系统，发现有一个中心点，则该中心点就是该系统的非线性中心。