范德珀尔振子
定义
范德珀尔振子是非线性动力学理论中的一个重要发现，其基本模型为一个二阶非线性方程： [math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu \gt 0 }[/math] 作为非线性动力学系统的一个典型案例，其动力学特性由阻尼系数μ的大小决定，具有位移依赖的非线性阻尼项，在阻尼系数不同时，系统通过霍普夫分岔从平凡平衡点通过振动，在平衡点附近负阻尼发散，远离平衡点时正阻尼收敛，逐渐收敛于唯一极限环，从而实现近似正弦振荡或自激振荡。是解释霍普夫分岔产生的极限环现象的典型模型。
历史
19世纪末20世纪初，动力学理论与电子电气技术持续发展，如1880年Gérard-Lescuyer的串联电机、1901年Duddell的音乐电弧、1907年de Forest发明真空三极管，都展示了“自激振荡”现象，为后续研究提供了实验基础，而面对自激振动现象，传统线性振动理论无法解释极限环及分岔现象，传统摄动分析方法面临级数发散问题，同时缺失解释不同自激振动现象的统一理论体系。在此背景下，时任飞利浦公司的电气工程师的荷兰物理学家巴尔塔萨·范德珀尔与1920年采用非线性动力学分析方法，引入非线性阻尼概念，在研究真空电子管振荡电路时提出了这一二阶非线性模型[8]，该模型最初用于描述早期无线电设备中三极管电路的自持振荡现象，其电路是一个由电感器、电容器和非线性电阻器组成的非线性电路，是首个被深入研究的“自激振荡”非线性模型，也是极限环的典型代表之一。范德珀尔在研究该系统时开创性地提出了驰豫振荡（张弛振荡，relaxation oscillation）这一概念，并系统阐述了此现象；同时，也开创了“非线性震荡”的系统性研究方法，范德珀尔在研究此系统中引入了平均法，他与Van der Mark 于1927年在《Nature》上发表了关于“不规则噪声”的报告，后被公认为混沌现象最早的实验观察之一；此外，该发现还间接催生了后续混沌理论的诞生。
主要内容
数学模型
范德珀尔振子（Van der Pol oscillator）是研究极限环非线性系统的经典实例，作为一个耗散性非线性震荡系统，其数学模型为一个二阶非线性齐次方程，：
[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu \gt 0 }[/math]
其中x为位置坐标，作为时间t的函数，μ是标量参数，决定阻尼的非线性和强度。
也可写为状态空间方程组的形式：
xxx
其中： （1）x是位移（或电压等物理量）。 （2）x ̇是速度，x ̈是加速度 （3）μ是非线性阻尼参数（μ≥0），控制着非线性效应的强弱，振子动力学特性由Mu单独决定。
物理意义与动力学行为
范德珀尔振子在非线性阻尼参数不同时，存在以下三种情况：
（1）当 [math]\displaystyle{\quad \mu \gt 0 }[/math] 时：方程退化为简谐振荡器[math]\displaystyle{ \ddot{x} + x = 0, \quad \mu \gt 0 }[/math]，系统做等幅正弦振荡，没有能量耗散也没有能量注入。
（2）当[math]\displaystyle{\quad \[0<\mu \||1 }[/math]时：非线性较弱，系统表现出接近正弦波的振荡，但振幅会缓慢调整，最终稳定在一个极限环上。
（3）当[math]\displaystyle{mu >> 1, \quad \mu \gt 0 }[/math]时：非线性很强，系统表现出弛豫振荡（Relaxation Oscillation）。波形不再是正弦波，而是呈现“缓慢充电、快速放电”的锯齿状或脉冲状特征，最终也将收敛于一个极限环。这在生物神经元的动作电位模型中非常常见。
延伸
受迫范德珀尔振子
当方程右边不为0的时候，即受到外部激励（External Excitation），成为受迫范德珀尔振子（Van der Pol-Duffing oscillator）： [math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = F*cos(omega*t)}[/math] 此系统经历一系列分岔（Bifurcation）过程，这个系统从稳定的极限环走向混沌。
霍普夫分叉
当μ从小于零移动到大于零时，原点的螺旋汇变成了螺旋源，一个极限周期骤然出现，半径为2。这是因为过渡不是通用：当 μ= 0时，微分方程都变成线性，原点变成圆形节点。
在霍普夫分叉中，极限环应当具有正比于[math]\displaystyle{ ε^(1/2) }[/math]的振幅，现令 ε=μ， 我们可能会尝试使用变量的变化[math]\displaystyle{ u\gt μ^(1/2)x }[/math]将范德珀尔振子转换为霍普夫分叉,得到：
[math]\displaystyle{ \ddot{u} +u+ u^2*dot{u} - ε *dot{u}= 0}[/math]
此式即为一个霍普夫分叉的模型。
量子物理领域的延伸——范德珀尔振子的哈密尔顿量
人们还可以为范德波尔振荡器编写一个与时间无关的哈密顿形式，方法是使用辅助二阶非线性微分方程将其增强为四维自主动力系统，如下所示：
应用与实例
电子电气领域
在范德珀尔振子被发现的电子电气领域，该模型及其极限环和阻尼相关特性被广泛地应用，如在使用真空管的电路中，当电路在极限循环附近被驱动时，它们被拖累，即驱动信号和它一起施加电流。
关于基尔霍夫定律
生物医学领域
在生物学领域中，Fitzhugh[7]和Nagumo[8]扩展了平面场中的方作为神经元动作电位的模型，即是基于范德珀尔振子的第三种情况，在振子做非线性较强的弛豫振荡时。 。
催生混沌理论的诞生
范德珀尔振子及受迫范德珀尔振子呈现的分叉性质，为最初被人类观测到的混沌现象之一，叩开了混沌世界的大门，后续基于此系统的相关研究，使混沌理论进一步发展，如1945年英国数学家卡特赖特（M.Cartwright）和李特伍德（J.Littlewood）在对受迫范德珀尔振子的研究中，在理论层面首次证明受迫范德珀尔方程存在奇异解，预示了混沌的可能性。随后，日本学者上田睆亮（Ueda Yoshisuke）于1961年首次在模拟计算机上观察到混沌吸引子，随着后续研究的深入，混沌理论的面纱也逐渐被科学家们所揭晓。