渗流理论

介绍

渗流模型是最简单的相变模型之一。与常见的热力学相变（如气液相变，铁磁相变等）不同的是，渗流模型描述的是反映网络连通性变化的几何相变。 图片：未发生渗流和发生渗流的对比

在相变的临界点附近，系统的许多宏观量表现出标度行为（也就是说，很多量之间的关系可以用幂律来刻画），比如Ising模型中，外场为0的情况下，单位磁化强度对相对温度的依赖关系可以用幂律刻画$m(T, 0) \sim(-t)^{\beta}, \quad t<0$，其中$t=\frac{T-T_c}{T_c}$。渗流模型在临界点附近还具有分型特征，定义在渗流模型上的大团簇是一个分形几何体，具有自相似性，可以用分形维数加以描述。分形几何体的测度值y（如曲线长度、面积）和测量的精度x具有如下关系$=y \sim x^{-D}$，其中$D$就是就是分形维数。可以看到分形几何体的测度值也遵循标度行为。

长时间以来，科学家们苦于没有适合研究临界现象的称手的工具，从无数相变模型没有精确解或者没有高维度下的精确解可见一斑。重整化方法是发现于20世纪70年代一种非常新而且意味深刻的研究方法。它最早诞生于量子场论，引入到临界现象领域的研究后，竟被发现相当好用。虽然重整化方法在临界现象领域只是一种近似方法，但是它能给出许多模型相当精确的解。我们都知道，物理研究客观世界的标准做法就是研究系统物理量关于时空的演化方程$x=f(r,t)$；但是重整化方法却开辟了一条新的路，针对处于临界状态下的系统来说，我们并不关心系统随时空如何变化，而是给出某个物理量随着它的标度如何变化$x=f(s)$，这里的$s$就是研究这个系统的标度。因此，按照Nottle的标度相对论的做法，标度s应该被视为与时间、空间同等重要的一种全新的基本维度。了解重整化群有助于加深我们对临界现象的理解。

渗流模型与其他很多模型（如Potts模型等）相关联，从渗流模型中我们可以直观地了解关于分形，标度理论，重整化群的概念，这些概念在其他领域（如物理学，生物学，复杂系统等）同样十分重要。因此渗流模型不失为入门相变与临界现象的经典案例。

预备知识

接下来介绍渗流模型最基本的一些概念。

公式，图表

1

$$\begin{array}{|l|r|r|r|} \hline \text { Lattice } & \# \mathrm{nn} & \text { Site percolation } & \text { Bond percolation } \\ \hline \hline 1 \mathrm{d} & 2 & 1 & 1 \\ \hline \hline 2 \mathrm{d} \text { Honeycomb } & 3 & 0.6962 & 1-2 \sin (\pi / 18) \approx 0.65271 \\ \hline 2 \mathrm{d} \text { Square } & 4 & 0.592746 & 1 / 2 \\ \hline 2 \mathrm{d} \text { Triangular } & 6 & 1 / 2 & 2 \sin (\pi / 18) \approx 0.34729 \\ \hline 3 \mathrm{d} \text { Diamond } & 4 & 0.43 & 0.388 \\ \hline 3 \mathrm{d} \text { Simple cubic } & 6 & 0.3116 & 0.2488 \\ \hline 3 \mathrm{d} \mathrm{BCC} & 8 & 0.246 & 0.1803 \\ \hline 3 \mathrm{d} \mathrm{FCC} & 12 & 0.198 & 0.119 \\ \hline \hline 4 \mathrm{d} \text { Hypercubic } & 8 & 0.197 & 0.1601 \\ \hline \hline 5 \mathrm{d} \text { Hypercubic } & 10 & 0.141 & 0.1182 \\ \hline 6 \mathrm{d} \text { Hypercubic } & 12 & 0.107 & 0.0942 \\ \hline \hline 7 \mathrm{d} \text { Hypercubic } & 14 & 0.089 & 0.0787 \\ \hline \hline \text { Bethe lattice } & \mathrm{z} & \mathbf{1} /(\mathrm{z}-1) & \mathbf{1} /(\mathrm{z}-1) \\ \hline \end{array}$$

2

$$n_{s}(p)=(1-p) p^{s}(1-p)=(1-p)^{2} p^{s}$$

$$\begin{aligned} n_{s}(p) &=(1-p)^{2} p^{s} \\ &=(1-p)^{2} \exp \left(\ln \left(p^{s}\right)\right) \\ &=(1-p)^{2} \exp (s \ln (p)) \\ &=\left(p_{c}-p\right)^{2} \exp \left(-\frac{s}{s_{\xi}}\right) \end{aligned}$$

$$s_{\xi}=\frac{-1}{\ln (p)}=\frac{-1}{\ln \left(p_{c}-\left(p_{c}-p\right)\right)} \rightarrow \frac{1}{p_{c}-p}=\left(p_{c}-p\right)^{-1} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}$$

$$s_{\xi} \propto\left|p_{c}-p\right|^{-\frac{1}{\sigma}} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}$$

$$\sum_{s=1}^{\infty} s n_{s}(p)=p \quad \text { for } p<p_{c}$$

$$\begin{aligned} \sum_{s=1}^{\infty} s n_{s}(p) &=\sum_{s=1}^{\infty} s(1-p)^{2} p^{s} \\ &=(1-p)^{2} \sum_{s=1}^{\infty} p \frac{d\left(p^{s}\right)}{d p} \\ &=(1-p)^{2} p \frac{d}{d p}\left(\sum_{s=1}^{\infty} p^{s}\right) \\ &=(1-p)^{2} p \frac{d}{d p}\left(\frac{p}{1-p}\right) \\ &=p \end{aligned}$$

$$w_{s}=\frac{s n_{s}(p)}{p}=\frac{s n_{s}(p)}{\sum_{s=1}^{\infty} s n_{s}(p)}$$

$$\begin{aligned} S(p) &=\sum_{s=1}^{\infty} s w_{s} \\ &=\sum_{s=1}^{\infty} \frac{s^{2} n_{s}(p)}{\sum_{s=1}^{\infty} n_{s}(p) s} \\ &=\frac{1}{p}(1-p)^{2} \sum_{s=1}^{\infty} s^{2} p^{s} \\ &=\frac{1}{p}(1-p)^{2}\left(p \frac{d}{d p}\right)^{2}\left(\sum_{s=1}^{\infty} p^{s}\right) \end{aligned}$$

$$S(p)=\frac{1+p}{1-p}=\frac{p_{c}+p}{p_{c}-p}$$

$$S(p)=\frac{p_{c}+p}{p_{c}-p} \rightarrow \frac{2 p_{c}}{p_{c}-p} \propto\left(p_{c}-p\right)^{-1} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}^{-}$$

$$S(p) \propto\left|p_{c}-p\right|^{-\gamma} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}$$

$$g(\mathbf{r})=\exp \left(\ln \left(p^{r}\right)\right)=\exp (r \ln (p))=\exp \left(-\frac{r}{\xi}\right)$$

$$\xi=-\frac{1}{\ln (p)}=\frac{-1}{\ln \left(p_{c}-\left(p_{c}-p\right)\right)} \rightarrow \frac{1}{\left(p_{c}-p\right)}=\left(p_{c}-p\right)^{-1} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}=1$$

$$\xi \propto\left|p_{c}-p\right|^{-\nu} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}$$

3

$$\begin{aligned} \text { Total no. sites } &=1+3 \cdot\left(1+2+\cdots+2^{g-1}\right) \\ &=1+3 \cdot \frac{1-2^{g}}{1-2} \\ &=3 \cdot 2^{g}-2 \end{aligned}$$

$$\frac{\text { No. of surface sites }}{\text { Total no. of sites }}=\frac{3 \cdot 2^{g-1}}{3 \cdot 2^{g}-2} \rightarrow \frac{1}{2} \quad \text { for } g \rightarrow \infty$$

$$\frac{\text {No. of surface sites}}{\text {Total no. of sites}} \rightarrow \frac{z-2}{z-1} \text { for } g \rightarrow \infty$$

$$\text { Surface } \propto \text { Volume }^{\frac{d-1}{d}}=\mathrm{Volume}^{1-\frac{1}{d}}$$

$$\frac{\text { No. loops }}{\text { Total no. chains }}=\frac{2 d \cdot(2 d-2) \cdot 1}{2 d \cdot(2 d-1)^{2}}=\frac{(2 d-2)}{(2 d-1)^{2}} \rightarrow 0 \quad \text { for } d \rightarrow \infty$$

$$p_{c}(z-1)=1 \Leftrightarrow p_{c}=\frac{1}{z-1}$$

$P(p)=(\text { Prob. site is occupied }) \times(\text { Prob. at least } O N E \text { branch lead to infinity })$ $=p\left(1-Q^{3}\right)$

$Q=(\text { Prob. site is empty })+(\text { Prob. site is occupied }) \times(\text { Prob. no subbranch leads to infinity })$ $=(1-p)+p Q^{2}$

Q=\frac{1 \pm \sqrt{(2 p-1)^{2}}}{2 p}=\left\{\begin{array}{l} 1 \\ \frac{1-p}{p} \end{array}\right.

P(p)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { for } p<p_{c} \\ p\left(1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^{3}\right) & \text { for } p \geq p_{c} \end{array}\right.

P(p) \propto\left(p-p_{c}\right) \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}^{+}

$S(p)=$ average cluster size to which the origin belongs $=(\text { contribution from origin })+(\text { contributions from the } 3$ branches) $=1+3 T$

T=(1-p) \cdot 0+p \cdot(1+2 T) \Leftrightarrow T=\frac{p}{1-2 p} \quad \text { for } p<p_{c}

S(p)=1+3 T=\frac{1+p}{(1-2 p)}=\frac{1+p}{2\left(\frac{1}{2}-p\right)}=\frac{1+p}{2\left(p_{c}-p\right)}=\Gamma_{2}\left(p_{c}-p\right)^{-1}

P(p)+\sum_{s=1}^{\infty} s n_{s}(p)=p \quad \forall p