# 伊辛模型 Ising Model

## 模型表述

### 网格上的小磁针

$\displaystyle{ s_i=\left\{\begin{array}{ll} +1 & \\ -1 & \end{array}\right. }$

### 总能量

$\displaystyle{ E_{\{s_i\}}=-J\sum_{\lt i,j\gt }{s_is_j}-H\sum_{i}^N{s_i} }$

$\displaystyle{ \{s_i\}=\{+1+1+1,+1+1-1,+1-1+1,+1-1-1,-1-1+1,-1+1+1,-1+1-1,-1-1-1\} }$

$\displaystyle{ E_{\{+1+1+1\}}=-J(1\times 1 + 1\times 1+ 1\times 1)-H(1+1+1)=-3J-3H, }$
$\displaystyle{ E_{\{+1+1-1\}}=-J((1\times 1)+(1\times (-1))+((-1)\times 1))-H(1+1-1)=J-H, }$
$\displaystyle{ E_{\{+1-1+1\}}=J-H, E_{\{+1-1-1\}}=J+H,E_{\{-1+1+1\}}=J-H, }$
$\displaystyle{ E_{\{-1+1-1\}}=J+H, E_{\{-1-1+1\}}=J+H, E_{\{-1-1-1\}}=-3J+3H }$

### 蒙特卡罗模拟

#### 具体算法

$\displaystyle{ s_i(t+1)=\left\{\begin{array}{ll} s_i' & \mbox {with probability } \mu, \\ s_i(t) & \mbox {with probability }1-\mu.\end{array}\right. }$

$\displaystyle{ \mu=\min{\{\exp{((E(s_i(t))-E(s_i'))/(kT))},1\}} }$

$\displaystyle{ p(\{s_i\})=\frac{1}{Z}\exp(-\frac{E_{\{s_i\}}}{kT}) }$

$\displaystyle{ Z=\sum_{\{s_i\}}\exp(-\frac{E_{\{s_i\}}}{kT}) }$

$\displaystyle{ \sum_{\{s_i\}}p(\{s_i\})=1 }$

#### 细致平衡条件

$\displaystyle{ p_x }$$\displaystyle{ p_y }$分别为状态$\displaystyle{ x }$$\displaystyle{ y }$在平稳分布中的概率，$\displaystyle{ p(x,y) }$$\displaystyle{ p(y,x) }$分别为前述设定的状态转移概率（转移概率矩阵中的元素），则有

$\displaystyle{ p_x p(x,y)=p_y p(y,x) }$

$\displaystyle{ \frac{p(x_0,x_1)p(x_1,x_2)...p(x_{n-1},x_n)}{p(x_1,x_0)p(x_2,x_1)...p(x_n,x_{n-1})} = \frac{p(x_0,x_n)}{p(x_n,x_0)} }$

## 模拟结果

### 热力学量

#### 平均磁矩

$\displaystyle{ M_{\{s_i\}}=\sum_{i=1}^N{s_i} }$

$\displaystyle{ \langle M\rangle =\sum_{\{s_i\}}{M_{\{s_i\}}p_{\{s_i\}}}=\frac{1}{Z} \sum_{\{s_i\}}{M_{\{s_i\}}\exp (-E_{\{s_i\}}/(kT))} }$

$\displaystyle{ m=\frac{\langle M\rangle}{N} }$

$\displaystyle{ m_0\sim (\frac{T_C-T}{T_C})^{\frac{1}{\beta}} }$

#### 磁导率

$\displaystyle{ \chi{(T,H)}=\frac{\langle M^2\rangle -\langle M\rangle^2}{NkT} }$

$\displaystyle{ \chi\sim (|T-T_C|/T_C)^{-\gamma} }$

#### 比热

$\displaystyle{ \langle E\rangle =\frac{1}{Z} \sum_{\{s_i\}}{E_{\{s_i\}}\exp (-E_{\{s_i\}}/(kT))} }$

$\displaystyle{ c=\frac{\langle E^2\rangle-\langle E\rangle^2}{NkT^2} }$

$\displaystyle{ c\sim (|T-T_C|/T_C)^{-\alpha} }$

#### 关联强度

$\displaystyle{ g(i,j)=\langle (s_i-\langle s_i\rangle)(s_j-\langle s_j\rangle)\rangle=\langle s_is_j\rangle-\langle s_i\rangle \langle s_j\rangle }$

$\displaystyle{ g(r_{ij})\sim \exp(-r/r_0) }$

$\displaystyle{ g(r_{ij})\sim r^{-(d-2+\eta)} }$

$\displaystyle{ r_0\sim |\frac{T_C-T}{T_C}|^{-\nu} }$

## 更多应用

### 投票模型 Voter Model

Voter模型的演化规则如下：每一个时刻，有n个村民会改变自己的政治观点，他们会随机地从自己周围的八个邻居中选择一个邻居，拷贝他的政治观点（被他的邻居说服了）。n越大，就会有越多的村民改变自己的观点，系统变化会很快，而n越小，则系统演化就会越慢。

### Hopfield神经网络模型

Hopfield网络是一个著名的神经网络模型，通过对网络进行训练，可以让它记住相应的模式，并在适当的条件下联想回忆提取出相关的模式。也就是说，Hopfield模型通过训练（改变相互连接的权重），可以将要记忆的模式映射为能量最小的状态，之后通过伊辛模型的邻域相互作用规则自发演化到这种最小能量状态。Hopfield的构造如下，一个加权的网络，如下图，每个节点都是一个神经元，加权的连边表示神经元之间的突触连接。

$\displaystyle{ s_i(t+1)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox {if }\sum_{j}{w_{ij}s_j(t)}\gt \theta_i, \\ -1 & \mbox {otherwise.}\end{array}\right. }$

$\displaystyle{ E_{\{s_i\}}=-\sum_{ij}w_{ij}s_is_j - \sum_{i} \theta_i s_i }$

$\displaystyle{ V_i=\lt 1,-1,1,\cdot\cdot\cdot,1\gt }$

$\displaystyle{ w_{ij}=\sum_{\nu=1}^{m}V_{\nu}(i)V_{\nu}(j) }$

$\displaystyle{ V_{\nu}(i) }$表示要学习的第$\displaystyle{ \nu }$个向量的第i个分量的值。

## 参考文献

Christen, Kim (2006). 复杂性和临界状态. 复旦大学出版社. ISBN 9787309052022.