出口多样性的S曲线
引言
随着全球化发展，国际贸易中产品出口对国家经济发展的影响越来越大，国家需要慎重决定出口何种产品以及出口多少该类产品。 从全球范围看，国家的log(GDP)值与国家出口的产品多样性（产品种类数）呈“S”形关系；从国家内部出口情况看，国家出口的产品多度曲线（对产品出口额的排序曲线）整体呈倒“S”形曲线。
为什么国家的出口多样性会有“S”形或倒“S”形的关系？国家的出口产品行为是什么？国家为什么出口这种产品而不是其他产品？出口多少？这些都是我们在研究出口多样性时所关心的问题。
全球范围的出口多样性
1、实证研究
具体来说，全球范围的出口多样性关系（参考[1]）如下图：
图中每一点代表一个国家，该图展示了国家的log(GDP)值与国家出口的产品多样性呈S-shaped curve，我们采用被广泛应用的logistic function对其拟合（图中绿色实线）：
[math]\displaystyle{ y=A/(1+e^{-k(x-xm)}) }[/math]
由此，我们将国家分为三类：
（1） 低发展水平国家：其国家GDP值和出口多样性都处于”S”曲线的左下方；
（2） 快速发展国家：其国家GDP值和出口多样性都处于”S”曲线中部，发展速率（曲线斜率）极快；
（3） 最终发展国家：其国家GDP值和出口多样性都处于”S”曲线右上部。
2、为什么有”S”曲线关系？
根据Hidalgo提出的关于产品结构的三层网络（参考[2]），我们提出了改进的三层网络模型来解释”S”关系产生的原因:
改进的三层网络模型：结点C代表国家，结点A代表能力，结点P代表产品。
图中显示：产品要求有能力要素（例如，资金、人力、技术等），国家为了出口产品必须要具备这些能力要素，并且国家所拥有的能力多少与log(GDP)成正比。
由于能力之间可以替代，国家必须具备的能力数至少需要满足(1-s)*100%*Np（s为能力之间的替代率，Np为产品P要求的能力数）。
替代率s的不同就会造成国家最终能出口的产品种类不同，如图中s=0、s=0.5两种情况：必须拥有所有产品要求的能力的s=0情况，C2只能出口一种产品；只需拥有50%的产品要求能力的s=0.5情况，C2可以出口3种产品。
模拟结果如下：
左图是采用2000年数据对文献The S curve relationship between export diversity and economic size of countries[1]的实证结果（采用1995年数据）再次验证，右图是采用改进三层网络模型得到的模拟结果（蓝色点）以及数学推导模拟结果（红色方块），具体参见Capabilities' Substitutability and the "S" Curve of Export Diversity引用错误：无效<ref>标签；name属性非法，可能是内容过长。
结论：我们认为形成国家经济体大小与产品多样性之间”S”关系的原因是出口产品要求有能力要素（A）和能力之间存在能力替代率（s）。
3、产品分类分辨率
我们的研究是基于1971-2000年的NBER-UN国际贸易数据（数据可在www.nber.org/data免费下载）。该数据的是SITC-4编码（产品分类是4位编码），所以我们会有疑问，产品的分类分辨率是否也会影响“S”曲线的形成，于是我们分别对分辨率为dig-1、dig-2、dig-3和dig-6的产品进行了拟合，结果发现产品的出口多样性与国家的经济体大小之间的关系并不依赖于产品分类的分辨率，如下图：
4、参数拟合空间
模型中两个重要的参数：q和s，我们将它们的变化范围定为（0，1），关注不同的（q,s）对“S”曲线形成的影响，结果如下：
q影响产品的平均复杂程度，q越大，则能出口复杂产品的国家越少；s能调节不同国家之间出口产品的贫富程度，（1-s）越小，则国家之间的出口产品越小。
图中蓝色区域是(q,s)能使模型很好拟合出“S”曲线的范围。
国家内部的出口多样性
将一个国家所出口的所有产品的出口额从大到小地排序（rank曲线），我们就得到这个国家的产品多度曲线。所有国家的产品多度曲线整体上呈倒”S”形，如下图：
我们认为，已知国家出口的产品多样性和具体的出口产品种类（即已知产品的普适度分布，产品的普适度指该产品被多少个国家出口），国家如何安排每种产品的出口额的决策如下： 国家在最大化自身的多样性熵的同时，必须使分配在每种产品上的加权复杂度之和满足国家的能量约束Ei，即：
pij为国家i中j产品的出口额度,，uj为国家出口的j产品的普适度（产品被多少个国家出口），其中能量Ei由国家-产品网络决定文件:Ei.jpg,di为国家i的出口产品多样性，ci为调节常数。
模拟结果：
待续工作
对于国家内部出口多样性的研究，目前我们只研究了在已知国家的出口多样性与具体的出口产品种类（对应一个具体的国家-产品矩阵）的情况下，国家的出口决策。
接下来，我们会继续研究：
1、只知道国家的出口多样性，研究国家如何选择出口的产品种类数和分配它们的出口额；
2、既不知道国家的出口多样性，也不知道出口产品种类的情况下，国家之间的区别仅仅是总出口额（或者GDP）不同，研究它们如何决定出口多少种产品，出口哪些产品，以及如何分配产品的出口额。