动力系统理论 Dynamical Systems Theory

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动力系统理论 Dynamical Systems Theory,也常译作动力学理论、或动态系统理论,它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程,来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时,该理论被称为连续(时间)动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时,这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程;动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散,而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续(例如 Cantor集),那么描述这个系统的方程就是时标上的动态方程 dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由微分-差分方程 differential-difference equations[1] 来建模,例如动态过程中存在时间延迟的情况时,动力系统可以由时滞微分方程 delay differential equation 来描述。

动力系统也可以由算子方程来描述。算子 operators ,在物理学领域一般译为算符,它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指希尔伯特空间,其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 [math]\displaystyle{ \mathcal F_1,F_2 }[/math] ,算子[math]\displaystyle{ O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2 }[/math] 就是说,它把函数空间[math]\displaystyle{ \mathcal F_1 }[/math]中的元素映射为[math]\displaystyle{ \mathcal F_2 }[/math]中的元素。例如我们考虑 [math]\displaystyle{ \mathcal F }[/math] 为一元光滑函数空间,由一元无限可导函数构成,若有算子[math]\displaystyle{ O:\mathcal F \to \mathcal F }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f' }[/math],这里 [math]\displaystyle{ f'\in\mathcal F }[/math] 是函数 [math]\displaystyle{ f }[/math] 的导函数,那么我们就称算子 [math]\displaystyle{ O }[/math] 为“微分算子” differential operator。类似地,其他对函数的映射(有时也称为“操作” operation,或“变换” transformation)也可以被看做是算子,例如傅里叶变换等。从这种角度来看,微分方程和差分方程,也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

从物理学的角度来看,连续动力系统是经典力学的推广。具体来说,我们不再受限于利用最小作用原理,从欧拉-拉格朗日方程方程导出运动方程,而是直接构造运动方程,并把它接受为公设,接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意,这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程,包括动力学方程和运动学方程。而后者,运动学方程,专指比较简单的情况,例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前,运动学方程主要出现在高中物理教材,以及机器人学方面的材料中。

这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究,研究系统运动方程的基本性质以及方程的解(当可解的时候)。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统,例如行星轨道和电子电路,以及出现在生物学经济学、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究一种特殊的动力系统,即混沌系统 chaotic systems,这种系统初始状态的微小差异会导致完全不同的系统演化过程。

动力系统理论这一研究领域,也被称为动力系统 dynamical system、动态系统 dynamic system、动力学系统、数学动力系统理论 mathematical dynamical systems theory、或动力学系统的数学理论 the mathematical theory of dynamical systems。

Lorenz attractor是一个典型的非线性动力系统。研究这个系统有助于对混沌理论进行发展。

综述

动力系统理论和混沌理论 Chaos Theory 都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言,很难对动力系统方程进行精确求解,但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解,而是为了解答类似于如下的问题,如“系统长期来看是否会稳定下来,如果可以,那么可能的稳定状态是什么样的?”,或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。

对给定动力系统的研究的一个重要方向就是求动力系统的不动点或稳态。不动点或稳态的的值不会随时间的变化而变化,在不动点的附近,不动点对系统具有收敛性。也就是说如果系统的初始值在它的附近,系统最终会收敛到这个不动点。

动力系统的周期点 Periodic Points 也是一个具有前景的研究方向,周期点为系统在重复几个周期后之后的状态。周期点也是具有系统的收敛性,也可称做该点具有吸引力的。Sharkovskii定理描述了一维离散动力系统的周期点的个数。

即使是简单的非线性动力系统也常常表现出看似随机的行为,这种行为被称为混沌 Chaos[2]。动力学系统中涉及混沌的清晰定义和研究的分支称为混沌理论

历史

动态系统理论的概念起源于牛顿运动定律。与其他自然科学和工程学科一样,动力系统的进化规则隐含地由一个关系给出,该关系给出了系统在未来很短时间内的状态。

在高速计算机器出现之前,解决动力系统问题需要复杂的数学技能,而且还只能解决一小类动力系统问题。

一些优秀的数学动力系统理论学家包括贝尔特拉米 Beltrami(1990年),龙伯格 Luenberger(1979年),帕杜罗&阿尔比布 Padulo&Arbib(1974年)和斯托加茨 Strogatz(1994年)[3]等在该领域做出了杰出的贡献。

概念

动力系统

动力系统概念是对描述了一个点的位置在其周围环境中随时间变化的任何“固定”规则的数学形式化。举例来说,描述钟摆摆动、管道中的水流以及每年春天湖中鱼的数量的数学模型,都属于动力系统的概念范畴。

动力系统的状态由实数的集合决定,或更一般地由适当的状态空间中的点集决定。系统状态的微小变化对应于数字的变化。这些数字也是几何空间——流形 Manifold——的坐标组。动力系统的演化规律是一种固定的规则,它描述了从当前状态得出的未来状态。这个规则可以是确定性的(在给定的时间间隔内,有且仅有一个未来状态在当前状态之后出现),或随机性的(状态的演化受到随机因素的影响)。

动态主义

动态主义 Dynamicism,也称动态假设,或称认知科学的动态假设或动态认知,是以哲学家Tim van Gelder的著作为代表的认知科学的一种新取向。动态主义认为微分方程比传统的计算机模型更适合于建立认知模型。

非线性系统

在数学中,非线性系统 Nonlinear System是指系统不是线性的系统,即不满足叠加原理的系统。更通俗地说,非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的,除了它的自变量函数以外,其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究,因为只要知道特定解,它就可以转化为线性系统。

相关领域

算术动力学

算术动力学 arithmetic dynamics 是20世纪90年代出现的一个领域,融合了动力系统和数论这两个数学领域。传统上来讲,离散动力学的研究对象是复平面或实数轴上的自映射的迭代过程,这一迭代过程构成了离散动力系统。这里的自映射指,从复平面到复平面,或从实数轴到实数轴。算术动力学研究一种特殊的数论性质,这种数论性质是整数、有理数、p进数(p-adic)被某个多项式或者有理函数反复映射,所构成的离散动力系统的数论性质。

混沌理论

混沌理论 chaos theory 描述了确定的动力系统,在随时间演化时所展现出的,其演化过程对初始条件高度敏感的特点。这种动力系统的演化行为通常被称为蝴蝶效应 butterfly effect。注意,这里所说的“确定的”(certain) 不应与“确定性的” (deterministic) 相混淆。前者说的是“确切知道”的意思,后者说的是“排除随机因素和自由意志”意义上的”决定论的“。这样一来,混沌系统的演化行为,也就是初始条件敏感性所导致的后果,呈现成这样:随着系统演化时间增长,初始条件中的微扰对系统状态量的影响随指数增强,使得这种系统的演化行为看起来是随机的。即使这些系统是确定性的,也会发生这种情况。这意味着这些系统在初始时刻之后的演化过程完全由他们的初始条件决定,同时没有涉及任何随机成分。这些系统的演化行为就是人们所熟知的确定性混沌 deterministic chaos,或者简称混沌。

复杂系统

复杂系统 复杂系统 complex systems 是一个科学研究的领域,它研究自然、社会和科学中复杂系统的共同性质。它也被称为复杂系统理论 complex systems theory、复杂性科学 complexity science、复杂系统研究和关于复杂性的科学 study of complex systems and/or sciences of complexity。这种系统的关键问题在于对他们进行的形式化建模与仿真的困难性。因此,在不同的研究背景中,复杂系统被定义在它们不同属性的基础上。

复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力,在这些领域中更一般的基于还原论的策略已经陷入了不足。因此,复杂系统这一术语,经常在更广泛的意义上,被用来涵盖能处理多种多样知识领域中的问题的研究方法。这些知识领域包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞天性的调查。

控制理论

控制理论 control theory 是工程和数学的一个交叉学科在某种程度上来说,控制理论研究如何影响动态系统的演化过程;它也是社会科学和数学的一个交叉学科,逐渐应用于多个社会科学领域中,例如心理学、社会学、犯罪学及金融系统 financial system。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定,也就是通过改变系统的控制量(输入量),使系统状态量(或输出量)的变化稳定在设定值或设定轨迹附近,且尽量减弱振动。通过控制系统,自动校正系统误差,使得系统状态量(或输出量)稳定在给定范围之内的过程,称之为控制调节;当设定值快速变化时,能利用基于误差传感的负反馈来校正系统误差从而“跟踪”设定值变化的自动装置,称之为伺服机构 servo。

遍历理论

遍历理论 ergodic theory 是数学的一个分支,它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究,并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

泛函分析

泛函分析 functional analysis 是数学分析的一个分支,研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究,特别是对函数变换的研究,例如Fourier变换,微分方程和积分方程的研究等。泛函分析的名称“functional analysis”中,“functional”这个词的用法可以追溯到变分法,也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra,而这个领域的创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。

图动力系统

图动力系统 graph dynamical systems (GDS) 可以用来表示和研究在图上和网络上发生和进行的各种过程。在利用图动力系统所做的数学分析和计算分析中,一个独特的重点是,去把图和网络的结构特性(例如网络的连通性),与在这些图和网络上所发生和进行的全局动态过程联系起来。

投影动力系统

投影动力系统 projected dynamical systems 是一种数学理论。它研究某一类动力系统的演化行为,这类动力系统的解被限制在某一约束集内。这门学科与属于优化问题和均衡问题 equilibrium problems 的“静态世界”,以及属于常微分方程的“动态世界”,都有关联,也有着共同的应用场景。一个投影动力系统是由投影微分方程的流(所有解所构成的集合)所给定的。

投影微分方程具有如下的形式:

[math]\displaystyle{ \dfrac{dx(t)}{dt}\Pi_{K}(x(t),-F(x(t))) }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ K }[/math] 是约束集,满足 [math]\displaystyle{ K \subset X }[/math] 是 Hilbert 空间 [math]\displaystyle{ X }[/math] 的,凸的,非空的,闭子集;定义在集合[math]\displaystyle{ K }[/math] 上的极限[math]\displaystyle{ \Pi_{K}(x,v) }[/math] 满足

[math]\displaystyle{ \Pi_{K}(x,v):=\lim_{\delta \to 0^+}\dfrac{P_K(x+\delta v)-x}{\delta} }[/math]

其中[math]\displaystyle{ P_K:X\to K }[/math] 是从 Hilbert 空间 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到子集 [math]\displaystyle{ K }[/math] 的投影算子。


符号动力学

符号动力学 symbolic dynamics 利用无限长的抽象符号序列所构成的离散空间,来对拓扑动力系统或光滑动力系统建模。每个抽象符号都对应一个系统状态,并且系统状态演化的动力学方程,由移位算子 shift operator 对抽象符号序列的作用而给出。

系统动力学

系统动力学 system dynamics 是一种方法,用于理解随时间变化的系统行为。这种方法关注于,受内部反馈回路和时间延迟所影响的,系统的整体行为和状态[4]。不同于其他研究动力系统的方法,系统动力学使用以下两个要素:反馈回路以及存量与流量。这些要素有助于描述看似简单的系统如何表现出令人费解的非线性行为。

拓扑动力学

拓扑动力学 topological dynamics 是动力系统理论的一个分支。它以一般拓扑学的观点来研究动力系统的性质和具有渐近属性的性质。

应用

在运动生物力学中的应用

在运动生物力学中,动力系统理论在运动科学中展露头角,成为一种对运动表现建模的可行框架。从动力系统的角度来看,人类的运动系统是由高度复杂和相互依赖的子系统网络(如呼吸、循环、神经、骨骼肌系统和知觉系统等)组成的,它们由大量相互作用的部分组成(包括血细胞、氧分子、肌肉组织、代谢酶、结缔组织和骨骼等)。动力系统理论中,运动模式通过物理系统和生物系统中的一般自组织过程出现。没有任何研究证实与这一框架的概念应用相关的任何主张。

在认知科学中的应用

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域,特别是在认知发展的新皮亚杰学派 neo-Piagetian中。人们相信,物理学理论比句法学理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说,动力学家认为心理学应该是(或者就是)(通过微分方程)描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

在学习的过程中,旧的模式被打破,学习者的思维达到了一种不平衡的状态。这是认知发展的阶段性转变。自组织随活动水平 Activity Levels 相互联系时产生。新形成的宏观和微观结构相互支持,加速了这一过程。这些联系在头脑中形成了一种有序的新状态结构,这个过程被称为“扇贝化 Scalloping”,也就是头脑的复杂表现的不断累积和崩溃的过程。这种新的状态是渐进的、离散的、异质的的和不可预知的[5]

动力系统理论最近还被用来解释儿童发展中一个长期没有答案的问题,即 A-not-B 错误[6]

在第二语言发展中的应用

动力系统理论在第二语言研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman,她在1997年发表的一篇文章中认为,第二语言学习应该被看作是一个包括语言流失和语言习得在内的发展过程[7]。她在文章中认为,语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。

相关概念

  • 姜饼人映射 Gingerbreadman map
  • 后认知主义 Postcognitivism

著名学者

  • 德米特里·阿诺索夫 Dmitri Anosov
  • 弗拉基米尔·阿诺德 Vladimir Arnold
  • 尼古拉 Nikolay Bogolyubov
  • 安德烈·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov
  • 尼古拉·克雷洛夫 Nikolay Krylov
  • 于尔根·摩泽 JürgenMoser
  • 雅各布·G·西奈 Yakov G. Sinai
  • 斯蒂芬·斯玛莱 Stephen Smale
  • 希勒尔·弗斯滕伯格 Hillel Furstenberg
  • 格里高里·马古利斯 Grigory Margulis
  • 伊隆·林登斯特劳斯 Elon Lindenstrauss

拓展阅读

外部链接

  • DSWeb Dynamical Systems Magazine 动力系统杂志

参考文献

  1. Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations.
  2. Grebogi, C.; Ott, E.; Yorke, J. (1987). "Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics". Science. 238 (4827): 632–638. Bibcode:1987Sci...238..632G. doi:10.1126/science.238.4827.632. PMID 17816542.
  3. Jerome R. Busemeyer (2008), "Dynamic Systems". To Appear in: Encyclopedia of cognitive science, Macmillan. Retrieved 8 May 2008.
  4. MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)
  5. Lewis, Mark D. (2000-02-25). "The Promise of Dynamic Systems Approaches for an Integrated Account of Human Development" (PDF). Child Development. 71 (1): 36–43. CiteSeerX 10.1.1.72.3668. doi:10.1111/1467-8624.00116. PMID 10836556. Retrieved 2008-04-04.
  6. Smith, Linda B.; Esther Thelen (2003-07-30). "Development as a dynamic system" (PDF). Trends in Cognitive Sciences. 7 (8): 343–8. CiteSeerX 10.1.1.294.2037. doi:10.1016/S1364-6613(03)00156-6. PMID 12907229. Retrieved 2008-04-04.
  7. "Chaos/Complexity Science and Second Language Acquisition". Applied Linguistics. 1997.

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