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双曲空间漫游指南
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2022年12月28日 (三) 10:14的版本
添加73字节
、
2022年12月28日 (三) 10:14
→初识双曲空间
第17行:
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"魔力"圆盘引导我们得到以下发现:
"魔力"圆盘引导我们得到以下发现:
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'''(1) 指数增长的空间。'''圆盘上的每条鱼都一样大,之所以远离中心的鱼看起来小,并不是鱼真的变小,而是圆盘在此处“膨胀”从而装下了更多的鱼。事实上,圆盘空间是指数级增长的:当半径为<math>r</math>时,圆盘的面积将增长为 ——圆盘面积=单条鱼的面积×鱼的数量,而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式
不再适用。如果来到圆盘边缘,每一条鱼会显得无限小,此时圆盘装下了整个宇宙。
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'''(1) 指数增长的空间。'''圆盘上的每条鱼都一样大,之所以远离中心的鱼看起来小,并不是鱼真的变小,而是圆盘在此处“膨胀”从而装下了更多的鱼。事实上,圆盘空间是指数级增长的:当半径为<math>r</math>时,圆盘的面积将增长为
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<math>A \propto e^{r}<math>
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——圆盘面积=单条鱼的面积×鱼的数量,而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式
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<math>A \propto e^{r}A=\pi r^{2}</math>
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不再适用。
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如果来到圆盘边缘,每一条鱼会显得无限小,此时圆盘装下了整个宇宙。
指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏,这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等,因而可用鱼长作为标尺。在图2中,黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼(黄线更长),'''这意味着两点之间的最短距离不再是直线''',而是向圆盘中心弯曲的曲线。
指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏,这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等,因而可用鱼长作为标尺。在图2中,黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼(黄线更长),'''这意味着两点之间的最短距离不再是直线''',而是向圆盘中心弯曲的曲线。
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