周期点

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在数学中,特别是在迭代函数和动力系统的研究领域中,函数的周期点是系统在一定次数的函数迭代或一定时间后返回的点。这里的迭代次数叫做周期。周期为1的周期点被称为不动点。


迭代函数

给定一个从集合[math]\displaystyle{ X }[/math]到自身的映射[math]\displaystyle{ f }[/math],

[math]\displaystyle{ f: X \to X, }[/math]


[math]\displaystyle{ X }[/math]中的点[math]\displaystyle{ x }[/math]称为周期点,如果存在一个[math]\displaystyle{ n }[/math]使

[math]\displaystyle{ \ f_n(x) = x }[/math]


其中[math]\displaystyle{ f_n }[/math][math]\displaystyle{ f }[/math]的第[math]\displaystyle{ n }[/math]次迭代。满足上述条件的最小正整数[math]\displaystyle{ n }[/math]称为点[math]\displaystyle{ x }[/math]素数周期prime period或最小周期。如果[math]\displaystyle{ X }[/math]中的每一个点都是周期为[math]\displaystyle{ n }[/math]的周期点,那么[math]\displaystyle{ f }[/math]有周期性,周期为[math]\displaystyle{ n }[/math](这不能和周期函数的概念混淆)。



如果存在不同的[math]\displaystyle{ n }[/math][math]\displaystyle{ m }[/math]使:[math]\displaystyle{ f_n(x) = f_m(x) }[/math]


那么[math]\displaystyle{ x }[/math]称为前周期点 preperiodic point。所有周期点都是前周期点。


如果[math]\displaystyle{ x }[/math]是微分流形的微分同胚,则定义了导数[math]\displaystyle{ f_n^\prime }[/math],如果:[math]\displaystyle{ |f_n^\prime|\ne 1, }[/math],那么[math]\displaystyle{ f }[/math]是双曲周期点;


如果:[math]\displaystyle{ |f_n^\prime|\lt 1, }[/math],则称周期点[math]\displaystyle{ f }[/math]为吸引子;


如果:[math]\displaystyle{ |f_n^\prime|\gt 1. }[/math],则称周期点[math]\displaystyle{ f }[/math]为排斥子。


如果周期点或不动点的稳定流形的维数为零,则称其为源点;如果不稳定流形的维数为零,则称其为汇点;如果稳定流形和不稳定流形都有非零维数,则称其为鞍点。


示例

周期为1的点也叫做不动点


逻辑斯谛克映射函数表达式:


[math]\displaystyle{ x_{t+1}=rx_t(1-x_t), \qquad 0 \leq x_t \leq 1, \qquad 0 \leq r \leq 4 }[/math]


For r between 0 and 1, 0 is the sole periodic point, with period 1 (giving the sequence 0, 0, 0, ..., which attracts all orbits). For r between 1 and 3, the value 0 is still periodic but is not attracting, while the value (r − 1) / r is an attracting periodic point of period 1. With r greater than 3 but less than 1 + 模板:Radic, there are a pair of period-2 points which together form an attracting sequence, as well as the non-attracting period-1 points 0 and (r − 1) / r. As the value of parameter r rises toward 4, there arise groups of periodic points with any positive integer for the period; for some values of r one of these repeating sequences is attracting while for others none of them are (with almost all orbits being chaotic).



参数[math]\displaystyle{ r }[/math]随着取值的不同,呈现周期性。

  • 对于介于0到1之间的[math]\displaystyle{ r }[/math],0是唯一的周期点,周期为1(给出了吸引所有轨道的序列0,0,0,... );
  • 对于介于1到3之间的[math]\displaystyle{ r }[/math],值0仍然是周期性的,但不是吸引子,而该值是周期1的周期吸引子;
  • [math]\displaystyle{ r }[/math]大于3但小于1时,存在一对周期2的点,它们共同构成一个吸引序列,非吸引周期1点为0;
  • 当参数[math]\displaystyle{ r }[/math]的值上升到4时,会出现周期为正的一组周期点;
  • 对于[math]\displaystyle{ r }[/math]的某些值,这些重复序列中的一个被吸引,而对于其他值,则没有一个被吸引(几乎所有的轨道都是混乱的)。

动力系统

给定一个连续时间的动力系统[math]\displaystyle{ (R,X,Φ) }[/math],其中[math]\displaystyle{ X }[/math]为相空间,[math]\displaystyle{ Φ }[/math]为状态转移函数,


[math]\displaystyle{ \Phi: \mathbb{R} \times X \to X }[/math]


如果存在 [math]\displaystyle{ t \gt =0 }[/math],则[math]\displaystyle{ X }[/math]中的点[math]\displaystyle{ x }[/math]称为周期为[math]\displaystyle{ t }[/math]的周期。使得:

[math]\displaystyle{ \Phi(t, x) = x\, }[/math]


具有此性质的最小正数[math]\displaystyle{ t }[/math]称为点[math]\displaystyle{ x }[/math]的最小周期。


性质

  • 给定一个周期为[math]\displaystyle{ “p” }[/math]的周期点[math]\displaystyle{ “x” }[/math],则对于[math]\displaystyle{ t∈R }[/math][math]\displaystyle{ \Phi(t,x) = \Phi(t+p,x) }[/math]


  • 给定周期点“x”,则在轨道 [math]\displaystyle{ \gamma_x }[/math]上的所有点都具有相同的素数周期prime period

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