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Plot of y = x3的函数图像,(0,0)是其拐点 ,也是驻点

在微分和微分几何中,拐点(英文名为inflection point,point of infection,flex,或者inflection)是光滑平面曲线上的曲率符号改变的点。在函数图像中,拐点处函数从下凹变为上凸 ,或从上凸变为下凹。


对于微分类C2的函数的图形(f,其一阶导数f'和其二阶导数 f存在且连续),条件f = 0也可用于找到拐点因为必须传递f = 0的点以将f从正值(向上凹)更改为负值(向下凹),反之亦然,因为f是连续的;曲线的拐点是f = 0并在该点改变其符号(从正到负或从负到正)。[1]其中,第二导数消失,但不改变其正负号的点有时被称为起伏的点或起伏点。


例如,若曲线 y = f(x) 有二阶导数,那么拐点处曲线二阶导数 f'' 为0(f'' =0),并且符号改变(从正到负或从负到正)[1] 。二阶导数为0但其符号不变的点有时称为波动点 point of undulation


在代数几何中,拐点的定义更为广泛一些,如切线与曲线相切的正则点至少为3,波动点或超高频点则定义为切线与曲线相交处至少为4。


定义

在微分几何中,拐点是曲率符号改变的点。[2][3]


例如,当且仅当可微函数 f 的一阶导数 f'x 处具有孤立极值时(而不是极值),函数在 (x, f(x))处有拐点。也就是说,在某些邻域中,xf' 具有(局部)最小值或最大值的唯一点。如果所有 f' 的极值都是孤立的,那么拐点就是 f 曲线图上切线穿越曲线的点。


下降拐点的两边导数都为负,即在该点附近函数值变小。上升拐点的两边导数都为正,即在该点附近函数值变大。


对于一条代数曲线,当且仅当切线与曲线(在切点处)的交点数大于2时,非奇点为拐点。[4]


其主要结果是代数曲线拐点的集合与曲线同黑塞曲线 (Hessian curve) 的交点集合一致。


对于由参数方程组给出的光滑曲线,若某点处曲率符号改变(从正变为负或从负变为正),则该点就是拐点。


对于一条二次可微函数的光滑曲线,拐点是的二次导数具有孤立零值并且改变曲率符号的点。


 
f(x) = sin(2x)[math]\displaystyle{ \pi /4 }[/math][math]\displaystyle{ 5 \pi /4 }[/math]; 该函数二阶导数为[math]\displaystyle{ {f}''(x) = –4sin(2x) }[/math], 和f符号相反。曲线为凸时(函数在切线上方)切线颜色为蓝色,曲线为凹时(函数在切线下方)切线颜色为绿色,拐点颜色为红色:0, [math]\displaystyle{ \pi /2 }[/math][math]\displaystyle{ \pi }[/math]


必要非充分条件

如果二阶导数f"(x)在点 x0 处存在,且 x0 是该函数的拐点,那么f"(x0) = 0。然而,即使存在任意阶的导数,这也只是拐点的必要非充分条件。在这种情况下,若最低阶(第二阶以上)非零导数为奇数阶(第三阶、第五阶等),则该点是拐点;若最低阶非零导数为偶数阶,则该点不是拐点,而是波动点。但在代数几何中,波动点也是拐点。例如,函数 f(x) = x4 的波动点是 x = 0


前面我们假定 fx 处存在高阶非零导数,但并不一定存在。如果 fx 处存在高阶非零导数,第一个非零导数有奇数阶意味着[math]\displaystyle{ {f}'(x) }[/math]的符号在某邻域的任一边都是相同的。如果符号为正,那么这个点就是上升拐点;如果符号为负,那么这个点就是下降拐点。


拐点充分条件:


1)第一充分条件:设函数在点 x 的某邻域 k 阶连续可微,k 为奇数且 k ≥ 3,若 f(n)(x0) = 0 ( n = 2, …, k − 1) 且 f(k)(x0) ≠ 0 ,那么点 x0f(x) 的拐点。


2)第二充分条件:f"(x + ε)f"(x − ε)x邻域符号相反。


拐点的分类

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y = x4x,x在点 (0,0) 处二阶导数为0,但 (0,0) 不是拐点,因为其四阶导数是一阶非零导数(三阶导数也是零)。


拐点也可以根据[math]\displaystyle{ {f}'(x) }[/math]是否为0来进行分类。

  • [math]\displaystyle{ {f}'(x) }[/math]为0,该点为驻点拐点。
  • [math]\displaystyle{ {f}'(x) }[/math]不为0,该点为非驻点拐点。


驻点拐点不是局部极值点。在多实变量函数中,不是局部极值点的驻点通常被称为鞍点


驻点拐点例子:(0, 0) 为函数 y = x3 的驻点 。切线为 x 轴,在(0, 0)与函数相切。


非驻点拐点例子:(0, 0)为函数 y = x3 + ax 的非驻点(a为任意非零常数)。切线为 y = ax,在(0, 0)与函数相切。


非连续函数

有些函数虽然没有拐点但也可改变凹度。这些函数可以通过改变垂直渐近线或非连续性来改变凹度。例如,函数[math]\displaystyle{ x\mapsto \frac1x }[/math] 在函数值x为负时显凹性,在函数值x为正时显凸性。但这个函数不具有拐点,因为0不在其定义域内。


另见

  • S形曲线,具有一个拐点的建筑型式曲线


参考文献

  1. 1.0 1.1 Stewart, James (2015). Calculus (8 ed.). Boston: Cengage Learning. pp. 281. ISBN 978-1-285-74062-1. 
  2. Problems in mathematical analysis. Baranenkov, G. S.. Moscow: Mir Publishers. 1976 [1964]. ISBN 5030009434. OCLC 21598952. 
  3. Bronshtein; Semendyayev (2004). Handbook of Mathematics (4th ed.). Berlin: Springer. p. 231. ISBN 3-540-43491-7. 
  4. "Point of inflection". encyclopediaofmath.org.


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