沙堆模型

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在矩形网格上的沙堆。黄色像素对应三颗沙粒,淡紫色代表两颗,绿色表示一颗,黑色表示没有。


阿贝尔沙堆模型 Abelian sandpile model,也被称为 Bak-Tang-Wiesenfeld 模型,是第一个发现的动力系统展现自组织临界性的例子。它是由 Per Bak,Chao Tang 和 Kurt Wiesenfeld 在1987年的一篇论文[1]中提出的。


这个模型是一种 元胞自动机模型 Cellular automaton。在最初的公式中,有限网格上的每个位置都有一个与沙堆的坡度相对应的关联值。当“沙粒”(或“碎片”)被随机放置在沙堆上时,被放置位置的坡度就会不断累加,直到坡度超过一个特定的阈值时,这个位置便发生崩塌,沙子就会转移到其邻近的位置,而增加后者的坡度。Bak, Tang和 Wiesenfeld考虑了在网格上持续随机放置沙粒的过程; 每次这样在某个位置放置沙粒有可能不会产生影响,也有可能会引起级联反应而影响一大片位置。


该模型已经在无限栅格、其他非方形栅格和任意图(包括有向多重图)上进行了研究[2]。它与美元博弈游戏密切相关,这个游戏是Biggs提出的一种开除碎片 chip-firing 游戏的变体[3]


定义(矩形网格)

沙堆模型起初是一个定义在[math]\displaystyle{ N\times M }[/math]矩形网格(棋盘格)上的元胞自动机cellular automaton


对于栅格中的每个顶点[math]\displaystyle{ (x,y)\in\Gamma }[/math],我们关联一个值(沙粒、坡度、颗粒)[math]\displaystyle{ z_0(x,y)\in\{0,1,2,3\} }[/math],这样所有顶点的初始状态[math]\displaystyle{ z_0\in\{0,1,2,3\}^\Gamma }[/math]被称为沙堆的(初始)构型。


自动机的动力学过程在第[math]\displaystyle{ i\in\mathbb{N} }[/math]次迭代时的定义如下:

  • 1.按概率分布(通常服从均匀分布)选择一个随机顶点[math]\displaystyle{ (x_i,y_i)\in\Gamma }[/math]
  • 2.向这个顶点添加一粒沙子,同时让其他顶点的沙粒数保持不变,也就是对于所有的[math]\displaystyle{ (x,y)\neq(x_i,y_i) }[/math],设定
    [math]\displaystyle{ z_i(x_i,y_i)=z_{i-1}(x_i,y_i)+1 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z_i(x,y)=z_{i-1}(x,y) }[/math]
  • 3.如果所有的顶点都是稳定的,即如果对于[math]\displaystyle{ (x,y)\in\Gamma }[/math][math]\displaystyle{ z_i(x,y)\lt 4 }[/math],那么构型[math]\displaystyle{ z_i }[/math]被认为是稳定的。在这种情况下,重新开始步骤1进行下一轮迭代。
  • 4.如果至少有一个顶点是不稳定的,即对于一些[math]\displaystyle{ (x_u,y_u)\in\Gamma }[/math][math]\displaystyle{ z_i(x_u,y_u)\geq 4 }[/math][math]\displaystyle{ z_i }[/math]被认为是不稳定的。在这种情况下,对于每个不稳定差点[math]\displaystyle{ (x_u,y_u)\in\Gamma }[/math]。将该顶点的沙粒数减少4个,并将其每个(最多4个)直接邻居的沙粒数各增加1个。即:
    [math]\displaystyle{ z_i(x_u,y_u) \rightarrow z_i(x_u,y_u) - 4, }[/math], 如果 [math]\displaystyle{ ( x_u \pm 1, y_u\pm 1)\in\Gamma }[/math].

    [math]\displaystyle{ z_i( x_u \pm 1, y_u \pm 1) \rightarrow z_i( x_u \pm 1, y_u\pm 1) + 1 }[/math]。如果一个在栅栏边界的顶点产生崩塌,这将导致沙粒丢失到系统之外(若这个顶点在栅栏的顶角,则损失两颗沙粒;若在栅栏的边上,则损失一颗)。


  • 5.由于沙粒的重新分布,一个顶点的崩塌可能会使其他顶点变得不稳定。就重复上述步骤四的崩塌的过程,直到[math]\displaystyle{ z_i }[/math]状态下的所有顶点最终稳定下来,然后执行步骤1继续下一轮迭代。


在一次迭代中多个顶点的崩塌被称为”雪崩“。每一次雪崩最终都会停止,也就是说,经过有限数量的顶点崩塌,会达到某种稳定的构型。这样就定义好了自动机。此外,尽管崩塌序列中各个顶点的崩塌顺序通常有许多可能的选择,但最终的稳定状态并不依赖于这个顺序; 这是沙堆模型具有可交换性的含义。类似的,在每次迭代过程中,每个顶点的崩塌次数也与崩塌顺序的选择是无关的。

定义(无向有限多重图)

为了将沙堆模型从标准方格的矩形网格(棋盘格)推广到任意无向有限多重图 [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] ,在 [math]\displaystyle{ V }[/math] 中指定了一个不允许崩塌的特殊顶点——吸收(汇)”sink“ 顶点[math]\displaystyle{ s }[/math]。模型的构型(或状态)函数[math]\displaystyle{ z:V\setminus\{s\}\rightarrow\mathbb{N}_0 }[/math]用来计算每个非吸收顶点上的非负沙粒数。非吸收顶点[math]\displaystyle{ v\in V\setminus\{s\} }[/math][math]\displaystyle{ z(v)\geq \deg(v) }[/math]时是不稳定的,它会产生崩塌,向给它的每个非吸收邻居分发一颗沙粒:

[math]\displaystyle{ z(v) \to z(v) - \deg(v) }[/math]
[math]\displaystyle{ z(u) \to z(u) + 1 }[/math]对于所有的[math]\displaystyle{ u\sim v }[/math], [math]\displaystyle{ u\neq s }[/math]


像前面一样,这个元胞自动机可以运行起来,即在每次迭代中,向随机选择的非吸收顶点添加一个沙粒,不断进行崩塌过程,直到所有顶点都稳定。


我们前面讨论的在标准方格的有限矩形网格上的沙堆模型可以看做以下定义的一个特例,在图[math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math],添加一个吸收顶点,并将其连接到边界上的顶点,使得[math]\displaystyle{ G }[/math]的每个非吸收顶点的度数为4。以这种方式,也可以定义标准正方形网格(或任何其他类型晶格)的非矩形格上的沙堆模型: 用[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}^2 }[/math]横截[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math]的一些有界子集[math]\displaystyle{ S }[/math],收缩其两个端点不在[math]\displaystyle{ S\cap\mathbb{Z}^2 }[/math]中的[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}^2 }[/math]的每条边。[math]\displaystyle{ S\cap\mathbb{Z}^2 }[/math]之外的单独一个剩余顶点构成了最终沙堆图的吸收顶点。

常返构型和瞬态构型

在上面定义的沙堆自动机的动力学过程中,一些稳定状态的构型(对于所有[math]\displaystyle{ v\in G\setminus\{s\} }[/math][math]\displaystyle{ 0\leq z(v)\lt 4 }[/math])会无限频繁的出现,而另一些则只能出现有限次(如果真的发生的话)。前者被称为“常返构型”,而后者被称为“瞬态构型”。因此,常返性构型由包含一类稳定的非负构型组成,这些构型可以从任何其他稳定构型中,通过反复向顶点添加沙粒,产生崩塌而得到。很容易看出,“最差稳定构型”(马上就不稳定了)[math]\displaystyle{ z_m }[/math]就是每个顶点都有[math]\displaystyle{ z_m(v)=deg(v)-1 }[/math]颗沙粒的情况,这可从任何其他稳定构型得到(通过向每个顶点添加[math]\displaystyle{ deg(v)-z(v)-1\geq 0 }[/math]颗沙粒)。因此,也就是说,所有常返构型可以从最差稳定构型开始,通过添加沙粒,崩塌再稳定后得到。


并非所有非负稳定构型都是常返的。例如,在一个至少包含由两个连通的非吸收顶点的图结构的沙堆模型中,这两个顶点均没有沙粒的所有构型,是稳定的单不是常返的。为了证明这一点,首先要注意,增加沙粒而不崩塌的话只会让着两个顶点的沙粒的总数变大,若从一个不是这种情况的构型出发,要达到两个顶点都没有沙粒的构型,必然涉及到两个顶点中至少有一个崩塌。而崩塌是有先后的,这两个顶点中的一定有一个是最后崩塌。由于崩塌会对每个相邻的顶点转移一颗沙粒,这意味着两个顶点共同放置的沙粒总数不能低于一颗,因而得证。

沙堆群

给定一个构型[math]\displaystyle{ z }[/math][math]\displaystyle{ z(v)\in\mathbb{N}_0 }[/math]对于所有[math]\displaystyle{ v\in G\setminus\{s\} }[/math],在有限连通图上使不稳定的非吸收顶点崩塌,直到没有剩下稳定的非汇顶点,这将导致唯一的“稳定”构型[math]\displaystyle{ z^\circ }[/math],这就是[math]\displaystyle{ z }[/math]的“稳定化”。给定两个稳定构型[math]\displaystyle{ z }[/math][math]\displaystyle{ w }[/math],我们可以定义运算[math]\displaystyle{ z*w \to (z+w)^\circ }[/math],对应于沙粒在各个顶点加起来后得到的稳定沙堆。

给定一个任意但固定的非吸收顶点的顺序,进行多个崩塌操作,可以通过使用拉普拉斯矩阵[math]\displaystyle{ \Delta=D-A }[/math]高效地编码不稳定构型的稳定过程中的多个崩塌操作,其中[math]\displaystyle{ D }[/math]是图的度矩阵,[math]\displaystyle{ A }[/math]是图的邻接矩阵


删除与吸收顶点相对应的 [math]\displaystyle{ \Delta }[/math]的行和列,得到简化的图拉普拉斯矩阵 [math]\displaystyle{ \Delta' }[/math]。然后,当以一个构型[math]\displaystyle{ z }[/math] 开始,并将各个顶点[math]\displaystyle{ v }[/math]进行总共[math]\displaystyle{ \mathbf{x}(v)\in\mathbb{N}_0 }[/math]次的崩塌操作时,产生[math]\displaystyle{ z-\Delta'\boldsymbol{\cdot}~\mathbf{x} }[/math]构型,其中[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\cdot} }[/math]是收缩积。此外,如果 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] 对应于在给定构型[math]\displaystyle{ z }[/math]的稳定过程中每个顶点产生崩塌的次数,则

[math]\displaystyle{ z^\circ=z-\Delta'\boldsymbol{\cdot}~\mathbf{x} }[/math]


在这种情况下,[math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]被称为[math]\displaystyle{ z }[/math]的稳定过程的崩塌或计程函数 odometer function


[math]\displaystyle{ * }[/math]运算下,常返构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵[math]\displaystyle{ \Delta' }[/math]的核同构的阿贝尔群,即[math]\displaystyle{ \mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta' }[/math],其中[math]\displaystyle{ n }[/math] 表示顶点数(包括吸收顶点)。更一般地说,稳定构型集(瞬态和常返)在[math]\displaystyle{ * }[/math].运算下形成 交换幺半群Commutative monoid。这个幺半群的最小理想同构于常返构型群。

由常返构型形成的群,以及与之同构的群[math]\displaystyle{ \mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta' }[/math],通常被称为 沙堆群Sandpile group。同样的群也常被称作为“临界群”、“Jacobian群”或(比较不常见的)“Picard群”。

然而,要注意的是,有些作者只把常返构型形成的组称为沙堆组,而为由[math]\displaystyle{ \mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta' }[/math](或相关的同构定义)定义的同构群保留Jacobian群或临界群的称呼。最后,一些作者使用Picard群来指代沙堆群和[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]的直积,后者出现在与沙堆模型密切相关的元胞自动机中,被称为 开除碎片或美元博弈游戏Chip firing or Dollar game

给定上述同构,沙堆群的阶是[math]\displaystyle{ \Delta' }[/math]的行列式,根据矩阵树定理,它是图的生成树的个数。

自组织临界性

模型最初源于这样一个事实,即在晶格上的模拟中,不需要精细调整任何参数,系统被吸引到了它的临界状态,此时系统的关联长度和关联时间趋于无穷大。这与早期临界现象的例子形成了对比,例如固体和液体之间,或液体和气体之间的相变 phase transition,其中临界点只能通过精确调节参数(例如,温度)来达到。因此,在沙堆模型中,我们可以说临界性是自组织的。


一旦沙堆模型达到其临界状态,系统对扰动的响应和扰动细节之间的关联就没有了。一般来说,这意味着再往沙堆放一粒沙子可能不会导致任何事情发生,也可能导致整个沙堆大滑坡。该模型还显示了1/f噪声 [math]\displaystyle{ 1/f noise }[/math],这是自然界中许多复杂系统的共同特征。


沙堆模型只有在二维或者更高维度才会表现出临界现象。虽然沙堆模型可以放在一维上,但它不会演化到临界状态; 而是倾向于到达最差稳定态,此时每个格点上的沙粒数都马上要达到临界值。


对于二维情况,沙堆模型被假设认为可以对应到中心电荷为c = −2的辛费米子 symplectic fermion构成的共行场理论。[4]

属性/性质

最小作用原理

碎片构型的稳定化遵循一种“最小作用原理”的形式:每个顶点在稳定过程中不超过必要的崩塌量。[5]


这可以如下形式化的描述。如果一个序列只崩塌了不稳定的顶点而达到了稳定构型,则称其为“合法的”,沙堆稳定化的标准方法是找到一个最大的合法崩塌序列,也就是说,让崩塌序列尽可能地长。这种序列具有明显的稳定性,沙堆的可交换性质是所有这些置换后的序列都是等价的,也就是说,对于任何顶点[math]\displaystyle{ v }[/math],在所有合法的稳定序列中[math]\displaystyle{ v }[/math]的崩塌次数都是不变的。根据最小作用原理,最小稳定序列等价于合法的(且稳定的)崩塌序列的置换。特别地,由最小稳定序列产生的构型与由最大合法序列产生的构型是相同的。


更形式化地说,如果[math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math]是一个向量, [math]\displaystyle{ \mathbf{u}(v) }[/math]是碎片构型[math]\displaystyle{ z }[/math]在稳定过程中(通过不稳定顶点的崩塌)顶点[math]\displaystyle{ v }[/math]崩塌的次数,

[math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math]是一个积分向量(不一定是非负的),使得[math]\displaystyle{ z-\mathbf{n}\Delta' }[/math]是稳定的,那么对于所有顶点[math]\displaystyle{ v }[/math],有[math]\displaystyle{ \mathbf{u}(v) \leq \mathbf{n}(v) }[/math]

缩放极限(标度极限)

沙堆标识在方形网格不断增加的动画。 黑色表示沙粒数为0的顶点,绿色表示沙粒数为1,紫色表示沙粒数为2,金色表示沙粒数为3。

动画显示了在不同的[math]\displaystyle{ N\times N,N\geq 1 }[/math]网格上的沙堆群一个实例的常返构型,随着[math]\displaystyle{ N }[/math]增加的情况。将构型标度变换到同样的物理尺寸。看起来,更多的网格会表现得更加精细,并逐步“收敛到一个连续的图像”。从数学上讲,这是因为基于弱收敛的概念(或其他一些广义的收敛概念),方格上的沙堆模型在缩放极限。事实上,Wesley-Pegden和Charles-Smart已经证明了常返沙堆构型存在缩放极限[6] [7]。在与Lionel Levine的进一步合作中,他们使用缩放极限来解释了方格上沙堆的分形结构。[8]

推广与相关模型

无限网格上的沙堆模型

3000万粒沙粒落在无限方形网格的一个位置上,然后按照沙堆模型的规则产生崩塌。白色表示0颗沙粒位置,绿色表示1颗,紫色表示2颗,金色表示3颗。图中框的大小是3967×3967。


有一些工作将沙堆模型推广到无限网格上。一般来说,这种推广会遇到一个挑战,就是不能保证每次雪崩最终都会停止。因此,一些推广只考虑了能确保会结束的构型稳定化。

在一个(无限)方格上定义的常见的模型,其节点[math]\displaystyle{ (x,y)\in\mathbb{Z}^2 }[/math],具体定义如下:


从一个有限的非负构型[math]\displaystyle{ z(x,y)\in \mathbf{Z} }[/math]开始,即有

[math]\displaystyle{ \sum_{x,y}z(x,y)\lt \infty. }[/math]


任何位置[math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]

[math]\displaystyle{ z(x,y)\geq 4 }[/math]

就是“不稳定的”,会产生崩塌,将它位置上的沙粒输送给它的四个邻居:

[math]\displaystyle{ z(x,y) \rightarrow z(x,y) - 4, }[/math]
[math]\displaystyle{ z( x \pm 1, y) \rightarrow z( x \pm 1, y) + 1, }[/math]
[math]\displaystyle{ z(x, y \pm 1) \rightarrow z( x, y \pm 1 ) + 1. }[/math]


由于初始构型是有限的,这一过程必然会随着沙粒向外散布终止。


一个常见的例子是,初始时候只在原点放置大量沙粒,逐步崩塌后会形成分形图案(见图)。当初始沙粒数趋于无穷时,缩放变换的稳定构型会收敛到唯一极限。[7][8]

有向图上的沙堆模型

沙堆模型可以推广到任意有向多重图。规则是任何顶点[math]\displaystyle{ v }[/math]

[math]\displaystyle{ z(v)\geq \deg^{+}(v) }[/math]

则是不稳定的;崩塌将它的碎片沿着边的输出方向,分发给它的邻居:

[math]\displaystyle{ z(v) \rightarrow z(v) - \deg^{+}(v) + \deg(v,v) }[/math]

并且,对于每个[math]\displaystyle{ u\neq v }[/math]

[math]\displaystyle{ z(u) \rightarrow z(u) + \deg(v,u) }[/math]

其中,[math]\displaystyle{ \deg(v,u) }[/math]是从[math]\displaystyle{ v }[/math][math]\displaystyle{ u }[/math]的边数。


在这种情况下,拉普拉斯矩阵是不对称的。如果我们设定一个吸收顶点[math]\displaystyle{ s }[/math],使得每一个顶点都有一条到[math]\displaystyle{ s }[/math]的路径,那么在有限图上的稳定化操作是可以定义好的,并且沙堆群可以写出来,你会发现和之前是一样的:[math]\displaystyle{ \mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta' }[/math]


沙堆群的阶还是[math]\displaystyle{ \Delta' }[/math]的行列式,根据矩阵树定理的一般版本,它是以吸收顶点为根的有向生成树的个数。

扩展沙堆模型

由谐波函数[math]\displaystyle{ H=x*y }[/math]在规模为255x255的方格上引起的沙堆动力学。


为了更好地理解不同有限凸网格[math]\displaystyle{ \Gamma\subset\mathbb{Z}^2 }[/math]的沙堆群的结构,Lang和Shkolnikov在2019年提出了“扩展沙堆模型”。[9]扩展沙堆模型的定义与“通常的沙堆模型”几乎完全相同(即原始的Bak–Tang–Wiesenfeld模型[1]),除了网格边界[math]\displaystyle{ \partial\Gamma }[/math]的顶点现在允许放置非负实数的沙粒。相比之下,网格内部的顶点仍然只允许放置整数个粒子。崩塌规则保持不变,即假设当沙粒数达到或超过4时,内部顶点和边界顶点都变得不稳定并发生崩塌。


此外,扩展沙堆模型的常返构型形成了一个阿贝尔群,称为“扩展沙堆群”,其中通常的沙堆群是离散子群。与通常的沙堆群不同,扩展沙堆群是一个连续的李群。由于它仅通过在边界上考虑实数沙粒,中间还是只能整数沙粒,因此扩展的沙堆组还具有环结构,其维度为[math]\displaystyle{ \partial\Gamma }[/math],而体积通常由沙堆群的阶确定[9]


特别令人感兴趣的问题是,在沿着环上连续的测地线通过沙堆群单位元时,常返构型是如何动态变化的。这个问题引出了沙堆动力学的定义。

[math]\displaystyle{ D_H(t)=(I-t\Delta H)^\circ }[/math] (扩展沙堆模型)

respectively

[math]\displaystyle{ \tilde{D}_H(t)=(I+\lfloor-t\Delta H\rfloor)^\circ }[/math] (普通沙堆模型)

由时间[math]\displaystyle{ t\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} }[/math]上的整数调和函数[math]\displaystyle{ H }[/math],沙堆群的单位元[math]\displaystyle{ I }[/math]和底函数[math]\displaystyle{ \lfloor.\rfloor }[/math]确定。[9]对于低阶多项式调和函数,沙堆动力学的特征是平滑变化。收敛到沙堆单位元的组成“鳞片”。例如,由[math]\displaystyle{ H=xy }[/math] 确定的谐波动力学集成了单位元沿着主对角线“平滑的拉伸”,可以直观地从动画中看出来。进一步推测了由相同的谐函数在不同尺寸的方格上引起的动力学构型存在弱收敛,这意味着会有标度极限[9]。这为扩展的和普通的沙堆群提出了一个自然的重归一化,这意味着在给定网格上的常返构型映射到子网格上的常返构型。简略地说,重归一化简单将调和函数[math]\displaystyle{ H }[/math]确定的沙堆动力学中给定时间[math]\displaystyle{ t }[/math]时刻的构型映射到对应的限制为H的子网上的同一时间的构型。[9]

可分割的沙堆

Levine和Peres在2008年提出了一个与之密切相关的模型,即所谓的“可分割的沙堆模型”[10]。与每个位置上的沙粒数量为离散数不同,有一个实数表示某个位置的总数量。当这个数是负的时候,我们可以把它看做一个洞。当一个位置上的量大于1时,就会发生崩塌; 它将多余的部分平均地分发给它的邻居,这就导致了如果一个位置在的时刻[math]\displaystyle{ t }[/math]满了的话,它在以后的所有时间都是满的。

文化指引

Bak-Tang-Wiesenfeld的沙堆模型在《数字追凶》第二季第二十一集“布朗运动”Rampage(2006)中被提到。当时数学家查理·埃佩斯向他的同事们解释了一个刑事调查的解决方案。

计算机游戏“满载棋”Hexplode是基于有限的六边形网格上的阿贝尔沙堆模型。游戏中,不是随机放置棋子,而是由玩家放置棋子。

参考文献

  1. 1.0 1.1 Bak, P.; Tang, C.; Wiesenfeld, K. (1987). "Self-organized criticality: an explanation of 1/ƒ noise". Physical Review Letters. 59 (4): 381–384. Bibcode:1987PhRvL..59..381B. doi:10.1103/PhysRevLett.59.381. PMID 10035754.
  2. Holroyd, A.; Levine, L.; Mészáros, K.; Peres, Y.; Propp, J.; Wilson, B. (2008). Chip-Firing and Rotor-Routing on Directed Graphs. 60. pp. 331–364. arXiv:0801.3306. Bibcode 1987PhRvL..59..381B. doi:10.1007/978-3-7643-8786-0_17. ISBN 978-3-7643-8785-3. 
  3. Biggs, Norman L. (25 June 1997). "Chip-Firing and the Critical Group of a Graph" (PDF). Journal of Algebraic Combinatorics: 25–45. Retrieved 10 May 2014.
  4. S. Moghimi-Araghi; M. A. Rajabpour; S. Rouhani (2004). "Abelian Sandpile Model: a Conformal Field Theory Point of View". Nuclear Physics B. 718 (3): 362–370. arXiv:cond-mat/0410434. Bibcode:2005NuPhB.718..362M. doi:10.1016/j.nuclphysb.2005.04.002.
  5. Fey, A.; Levine, L.; Peres, Y. (2010). "Growth Rates and Explosions in Sandpiles". Journal of Statistical Physics. 138 (1–3): 143–159. arXiv:0901.3805. Bibcode:2010JSP...138..143F. doi:10.1007/s10955-009-9899-6. ISSN 0022-4715.
  6. Pegden, Wesley; Smart, Charles (2017). "Stability of patterns in the Abelian sandpile". arXiv:1708.09432 [math.AP].
  7. 7.0 7.1 Pegden, Wesley; Smart, Charles (2013). "Convergence of the Abelian sandpile". Duke Mathematical Journal. 162 (4): 627–642. arXiv:1105.0111. doi:10.1215/00127094-2079677.
  8. 8.0 8.1 Levine, Lionel; Pegden, Wesley (2016). "Apollonian structure in the Abelian sandpile". Geometric and Functional Analysis. 26 (1): 306–336. doi:10.1007/s00039-016-0358-7. hdl:1721.1/106972.
  9. 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 Lang, Moritz; Shkolnikov, Mikhail (2019-02-19). "Harmonic dynamics of the abelian sandpile". Proceedings of the National Academy of Sciences (in English). 116 (8): 2821–2830. doi:10.1073/pnas.1812015116. ISSN 0027-8424. PMC 6386721. PMID 30728300.
  10. Levine, Lionel; Peres, Yuval (2008-10-29). "Strong Spherical Asymptotics for Rotor-Router Aggregation and the Divisible Sandpile". Potential Analysis (in English). 30 (1): 1–27. arXiv:0704.0688. doi:10.1007/s11118-008-9104-6. ISSN 0926-2601.

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