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===从强力法则到标度不变性===
 
===从强力法则到标度不变性===
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近些年来越来越多的人把统计物理用于研究各式各样的复杂系统中,并发现了一些普适的规律。例如,经济系统中,如果把一个人所拥有的财富量记作x,拥有这么多财富量的人数记作p(x),那么实证数据表明p(x)~x<sup>-1.5</sup>,这被称之为帕累托律([https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_principle Pareto Law])。在一本英文书中,如果把某一个单词w出现的次数记为f(w),将所有出现过的单词按照f值的大小排序,记r(w)为该单词w在排序中的序数,那么f(w)~r(w)<sup>-1</sup>,即w出现的频率与它的排序r呈反比,这被称之为[https://en.wikipedia.org/wiki/Zipf%27s_law Zipf律]。还有城市的人口,地震的规模都呈现相似的分布特征,这被称之为幂律现象([https://en.wikipedia.org/wiki/Power_law Power law])。根据这个英文名,我则戏称这个法则为强力法则。<br>
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近些年来越来越多的人把统计物理用于研究各式各样的复杂系统中,并发现了一些普适的规律。例如,经济系统中,如果把一个人所拥有的财富量记作x,拥有这么多财富量的人数记作p(x),那么实证数据表明p(x)~x<sup>-1.5</sup>,这被称之为帕累托律[https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_principle Pareto Law]。在一本英文书中,如果把某一个单词w出现的次数记为f(w),将所有出现过的单词按照f值的大小排序,记r(w)为该单词w在排序中的序数,那么f(w)~r(w)<sup>-1</sup>,即w出现的频率与它的排序r呈反比,这被称之为[https://en.wikipedia.org/wiki/Zipf%27s_law Zipf律]。还有城市的人口,地震的规模都呈现相似的分布特征,这被称之为幂律现象([[幂律分布 power law]])。根据这个英文名,我则戏称这个法则为强力法则。<br>
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进一步,人们发现,这些普遍存在的幂律现象背后有一种更深层次的普适规律,也就是标度不变性。为了解释这种标度不变性,让我们用[https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal 分形]的例子来说明:<br>
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进一步,人们发现,这些普遍存在的幂律现象背后有一种更深层次的普适规律,也就是标度不变性。为了解释这种标度不变性,让我们用[[分形几何 Fractal]]的例子来说明:<br>
 
[[File:xtzdgcz3_25.gif|图3-12 分形图案|居中|thumb]]<br>
 
[[File:xtzdgcz3_25.gif|图3-12 分形图案|居中|thumb]]<br>
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观察者将观察的精度提高的过程就是从左图过渡到右图的过程,我们知道,当观察者的观测精度扩大9倍,那么它就能看到每一个黑色方格之内的细节,因此也就有了右图。我们说这个图形是标度不变的,也就是说在扩大9倍的图中,每一个1/9方格的内容都与原来的图一样。这样一种对原始图形不断放大的方法在物理中被称为重正化操作([https://en.wikipedia.org/wiki/Renormalization Renormalization])。由此,我们看出,真实的复杂系统恰恰具有一种明显地依赖于观察者的行为,这就是:标度不变性,即'''系统不会随着我们观察者观察它的尺度而变化'''(参看科普小文:[[分形与尺度相对论]])。<br>
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观察者将观察的精度提高的过程就是从左图过渡到右图的过程,我们知道,当观察者的观测精度扩大9倍,那么它就能看到每一个黑色方格之内的细节,因此也就有了右图。我们说这个图形是标度不变的,也就是说在扩大9倍的图中,每一个1/9方格的内容都与原来的图一样。这样一种对原始图形不断放大的方法在物理中被称为重正化操作 [https://en.wikipedia.org/wiki/Renormalization Renormalization]。由此,我们看出,真实的复杂系统恰恰具有一种明显地依赖于观察者的行为,这就是:标度不变性,即'''系统不会随着我们观察者观察它的尺度而变化'''(参看科普小文:[[分形与尺度相对论]])。<br>
    
===测量——联系空间标度和时间的纽带===
 
===测量——联系空间标度和时间的纽带===
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