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第1行： − − − − − 在现实生活中当流行病爆发，往往难以采取对全体人群进行疫苗接种的策略。因此免疫策略的研究可以对各个国家和政府在流行病传播时提供如何进行疫苗、治疗手段和药物分配的帮助。不同的免疫策略定义了不同的免疫规则，这些规则用于识别应被免疫的个体，同时考虑到网络连接模式上的局域或全局信息。节点一旦被免疫后，作用相当于该节点与它相关的所有连边都从网络中删除。每种免疫策略的效果可以通过网络中比例为$g$的被免疫节点所产生的效果来评估。免疫的作用不仅可以保护被直接免疫的个体，而且还可能使流行病的传播阈值增大，变为有效值$\lambda_c(g)>\lambda_c(g=0)$，避免疾病的全球传播。在这种情况下，主要目标是确定在考虑了免疫比例$g$后新的传播阈值如何变化。实际上，对于足够大的$g$值，任何免疫策略都会导致阈值增加。我们定义了免疫阈值$g_c(\lambda)$，当$\lambda$为固定值时，若$g>g_c(\lambda)$，则疾病不会爆发，而若$g\leq g_c(\lambda)$，则疾病会造成一定范围的爆发。总的来说，常见的有三种免疫策略：随机免疫、目标免疫和熟人免疫。 − − == 随机免疫 == − − 最基本不使用任何信息的最简单的免疫方案是随机免疫。该策略是完全随机地选取$g$比例的节点进行免疫，它可以用作检验其他有针对性设计的免疫方法的效果的基准。定义免疫节点比例为$g$,从平均场的角度来看，随机免疫相当于把传播率从$\lambda$缩减为$\lambda(1-g)$。对于随机网络可以计算得到 − \begin{equation} − g_c=1-\frac{\gamma}{\beta}\cdot\frac{1}{\left<k\right>+1},\label{con:er_gc1} − \end{equation} − 对于异质网络，则可以计算得到 − \begin{equation} − g_c=1-\frac{\gamma}{\beta}\cdot\frac{\left<k\right>}{\left<k^2\right>}. − \end{equation} − 当网络为随机网络时，上式可以简化变回式（\ref{con:er_gc1}）。对于$\gamma<3$的无标度网络，我们有$\left<k^2\right>\to\infty$，因此上式指出$g_c\to1$。换言之，如果接触网络有很高的$\left<k^2\right>$，我们几乎需要使所有的节点都免疫才能阻止流行病的传播。 − − == 目标免疫 == − 目标免疫就是希望通过有选择地对少量关键节点进行免疫以获得尽可能好的免疫效果例如,根据无标度网络的度分布的非均匀特性,可以选取度大的部分节点进行免疫。而一旦这些节点被免疫,就意味着它们所连的边可以从网络中去除,使得病毒传播的可能的连接途径大大减少。 − − == 熟人免疫 == − 上面提到的目标免疫因为要知道网络中度大的节点，因此需要网络的全局信息，然而这对于实际情况来说是难以做到的。熟人免疫策略的基本思想是:从$N$个节点中随机选出比例为$p$的节点,再从每到一个被选出的节点中随机选择一个邻居节点进免疫。这种策略只需要知道被随机选择出来的节点以及与它们直接相连的邻居节点,从而巧妙地回避了目标免疫中需要知道全局信息的问题。 − − 由于在无标度网络中,度大的节点意味着有许多节点与之相连;若随机选取个节点,再选择其邻居节点时,度大的节点比度小的节点被选中的概率大很多。因此,熟人免疫策略比随机免疫策略的效果好得多。注意到由于几个随机选择的节点有可能拥有一个共同的邻居节点,从而使得这个邻居节点有可能被几次选中作为免疫节点。假设被免疫节点占总节点数的比例为$g$,图????????比较了幂指数在2到3.5之间变化时幂律度分布网中的随机免疫、目标免疫和熟人免疫所对应的免疫临界值$f_c$。网络规模$N=10^6$。双熟人免疫表示随机选取被选节点的两个邻居节点进行免疫。可以看出目标免疫和熟人免疫的效果远好于随机免疫,而目标免疫的效果仅略好于熟人免疫。实心的圈和三角形是同配网络（Assortative network）的对应结果,其中同配网络指的是度大的节点倾向于和度大的节点相连。对熟人免疫策略还可进一步改进,以使其效率更加接近目标免疫策略。
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