ER随机图模型

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图论的数学理论部分中,ER随机图模型 Erdős–Rényi model可指代两个密切相关的随机图生成模型中的任意一个。ER随机图模型的名字源于最早提出上述模型之一的数学家保尔·厄多斯 Paul Erdős阿尔弗烈德·瑞利 Alfréd Rényi,他们在1959年首次提出了其中一个模型,[1][2]而几乎在同时期,埃德加·吉尔伯特 Edgar Gilbert独立提出了另外一个模型。[3]在Erdős和Rényi的模型中,节点集一定、连边数也一定的所有图是等概率的;在Gilbert的模型中,每个连边存在与否有着固定的概率,与其他连边无关。在概率方法中,这两种模型可用来证明满足各种性质的图的存在,也可为几乎所有图的性质提供严格的定义。

定义

ER随机图模型有两个密切相关的版本。

  • 在模型[math]\displaystyle{ G(n,M) }[/math]中,从[math]\displaystyle{ n }[/math]个节点、[math]\displaystyle{ M }[/math]个连边构成的所有图的集合里随机选择一个图。例如,在[math]\displaystyle{ G(3, 2) }[/math]模型中,3个节点和2个连边能构成三种可能的图,每种图的概率为1/3。
  • 在模型[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]中,随机连接节点构成一个图。图中每个连边彼此独立,连接的概率为[math]\displaystyle{ p }[/math]。等价地,拥有[math]\displaystyle{ n }[/math]个节点、[math]\displaystyle{ M }[/math]个连边的所有图具有相同的概率:
[math]\displaystyle{ p^M (1-p)^{{n \choose 2}-M} }[/math]


此模型中的参数[math]\displaystyle{ p }[/math]可以看成是加权函数;随着[math]\displaystyle{ p }[/math]从0增加到1,模型更倾向于包含拥有更多连边的图,而包含拥有较少连边的图的概率则降低。特别地,与[math]\displaystyle{ p=0.5 }[/math]相对应的情况是,在拥有[math]\displaystyle{ n }[/math]个节点的[math]\displaystyle{ 2^\binom{n}{2} }[/math]个图中,每个图被选择的概率相等。


我们通常研究节点数[math]\displaystyle{ n }[/math]趋于无穷时随机图的表现。尽管在这种情况下,[math]\displaystyle{ p }[/math][math]\displaystyle{ M }[/math]可以固定,但是,它们也可以是关于[math]\displaystyle{ n }[/math]的函数。例如,命题“[math]\displaystyle{ G(n, 2ln(n)/n) }[/math]中几乎每个图都是连通的”的意思是,当[math]\displaystyle{ n }[/math]趋于无穷时,拥有[math]\displaystyle{ n }[/math]个节点、连边概率为[math]\displaystyle{ 2ln(n)/n }[/math]的图连通的概率趋于1。

两种模型的比较

二项分布ER模型生成的一个图[math]\displaystyle{ (p=0.01) }[/math]

[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]中可能的连边数为[math]\displaystyle{ \binom{n}{2}p }[/math],由大数定律[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]中的每个图几乎必有大概这么多连边(假设可能的连边数趋于无穷)。因此,粗略的结果是如果[math]\displaystyle{ pn^2 →∞ }[/math],那么当[math]\displaystyle{ M=\tbinom{n}{2} p }[/math]随着[math]\displaystyle{ n }[/math]的增加而增加时,[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]将与[math]\displaystyle{ G(n,M) }[/math]有相似的表现。许多图的性质都是这样。如果P是满足对子图序单调的任意一种图的性质(即若[math]\displaystyle{ A }[/math][math]\displaystyle{ B }[/math]的子图且[math]\displaystyle{ A }[/math]满足[math]\displaystyle{ P }[/math],则[math]\displaystyle{ B }[/math]也满足[math]\displaystyle{ P }[/math]),那么命题“[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]中几乎所有图满足[math]\displaystyle{ P }[/math]”等价于“[math]\displaystyle{ G(n, \tbinom{n}{2} p) }[/math]中几乎所有图满足[math]\displaystyle{ P }[/math]”(其中[math]\displaystyle{ pn^2 →∞ }[/math])。


例如,当[math]\displaystyle{ P }[/math]连通性时,或[math]\displaystyle{ P }[/math]是包含哈密顿圈的性质时,上述关系就成立。然而,它对非单调性质(如具有偶数连边的性质)未必成立。


如今在实际应用中,[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]模型更加常用,部分原因是通过连边的独立性进行分析较为容易。

[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]的性质

沿用上述符号,[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]中的一个图平均有[math]\displaystyle{ \binom{n}{2}p }[/math]条连边。任意特定节点的度服从二项分布[4]

[math]\displaystyle{ P(\deg(v) = k) = {n-1\choose k}p^k(1-p)^{n-1-k}, }[/math]

其中n为图中节点的总数。由于

[math]\displaystyle{ P(\deg(v) = k) \to \frac{(np)^k \mathrm{e}^{-np}}{k!} \quad \text{ as } n \to \infty \text{ and } np = \text{ constant }, }[/math]

故当[math]\displaystyle{ n }[/math]很大且[math]\displaystyle{ np= }[/math]常数时,服从泊松分布


在1960年的一篇论文中,Erdős和Rényi[5]非常精确地描述了p在不同取值下[math]\displaystyle{ G(n, p) }[/math]的表现。其结论有:

  • [math]\displaystyle{ np\lt 1 }[/math],则[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]中的一个图几乎一定没有连通分量的大小大于[math]\displaystyle{ O(log(n)) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ np=1 }[/math],则[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]中的一个图几乎必有最大的连通分量,其阶为[math]\displaystyle{ n^{2/3} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ np→c\gt 1 }[/math],其中[math]\displaystyle{ c }[/math]为常数,则[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]中的一个图几乎必有唯一的包含节点有限部分的巨连通集团。没有连通分量会有超过[math]\displaystyle{ O(log(n)) }[/math]个节点。
  • [math]\displaystyle{ p\lt \tfrac{(1-\varepsilon)\ln n} n }[/math],则[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]中的一个图几乎必有孤立节点,因而它是不连通的。
  • [math]\displaystyle{ p{\gt }\tfrac{(1+\varepsilon)\ln n} n }[/math],则[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]中的一个图几乎一定是连通的。

因此[math]\displaystyle{ \tfrac{\ln n} n }[/math][math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]连通性的重要临界值。


[math]\displaystyle{ n }[/math]趋于无穷大时,还有许多图的性质几乎处处成立。例如,存在[math]\displaystyle{ k(n) }[/math](近似等于[math]\displaystyle{ 2log^2(n) }[/math])使得[math]\displaystyle{ G(n,0.5) }[/math]中最大团的大小几乎必为[math]\displaystyle{ k(n) }[/math][math]\displaystyle{ k(n)+1 }[/math][6]


因此,尽管确定图中最大团的大小是NP完全的,但“典型”图中最大团的大小(根据此模型)是非常好理解的。 ER图的连边对偶图是几乎有着相同度分布的图,但具有度相关性,且集聚系数更高。[7]

与渗流的关系

渗流理论中,人们研究有限或无限的图,并随机删除连边(或连接)。因此,ER模型的过程实际就是完全图上未加权连接的渗流。(所谓渗流,就是在加权的情况下以不同的权重移除节点和(或)连边)。渗流理论有很深的物理学根源,大部分研究都是在欧几里得空间中的格子上进行的。[math]\displaystyle{ np=1 }[/math]时,由巨连通分量向小连通分量的转变与这些图类似,但对格子来说,确定临界点很难。物理学家通常将对完全图的研究称为平均场理论,因此ER模型的过程就是渗流的平均场情况。


人们在随机图的渗流上也做了许多重要研究。从物理学家的角度看,这仍是一个平均场模型,所以它常被看成一个通信网络,研究结果常用图的鲁棒性来表示。设一个随机图有[math]\displaystyle{ n\gt \gt 1 }[/math]个节点,平均度为[math]\displaystyle{ \lt k\gt }[/math]。从网络中随机删除[math]\displaystyle{ 1-p' }[/math]个节点,仅保留一部分[math]\displaystyle{ p' }[/math]。存在渗流临界值[math]\displaystyle{ p'_c=\tfrac{1}{\langle k\rangle} }[/math],使得低于该值时,网络变得支离破碎,而高于[math]\displaystyle{ p'_c }[/math]时,会有[math]\displaystyle{ n }[/math]阶巨连通分量存在。巨连通分量的相对大小[math]\displaystyle{ P_∞ }[/math]由下式给出:[5][1][2][8]

[math]\displaystyle{ P_\infty= p'[1-\exp(-\langle k \rangle P_\infty)]. \, }[/math]

说明

[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]模型的两个主要假设(连边独立,每条连边可能性相同)可能不适合为某些现实生活中的现象建模。尤其是ER图的度分布没有厚尾,而许多实际网络的分布是厚尾的。此外,与许多社交网络不同,ER图集聚系数较低。其他较好的替代模型可见BA网络模型 Barabási–Albert model和WS小世界网络模型 Watts and Strogatz model。这两个替代模型不是渗流过程,它们分别是生长模型和断边重连模型。布尔德列夫 Buldyrev等人最近又设计了一种用于交互的ER随机图模型[9]

历史

1959年,Edgar Gilbert在研究之前提到的连通性临界值的论文中,首次引入了[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]模型。[3][math]\displaystyle{ G(n,M) }[/math]模型则是Erdős和Rényi在他们1959年的论文中提出来的。与Gilbert一样,他们首先研究的是[math]\displaystyle{ G(n, M) }[/math]的连通性,1960年,他们做了更详细的分析。

另请参阅

  • 拉多图 Rado graph,将[math]\displaystyle{ G(n,p) }[/math]模型扩展到可数无穷个顶点的图。与有限的情况不同,这种趋于无穷过程的结果(概率为1)是相同的图,直到同构。
  • 双相演化 Dual-phase evolution 描述了与ER模型相关的性质推动系统中秩序出现的方式。
  • 指数随机图 Exponential random graph models 描述的是给定网络统计数据和各种相关参数的“n”节点图的一般概率分布。
  • 随机分块模型 Stochastic block model ,是ER模型的推广,是具有潜在社团结构的图。
  • WS小世界模型
  • BA网络模型

参考文献

  1. 1.0 1.1 Erdős, P.; Rényi, A. (1959). "On Random Graphs. I" (PDF). Publicationes Mathematicae. 6: 290–297.
  2. 2.0 2.1 Bollobás, B. (2001). Random Graphs (2nd ed.). Cambridge University Press. ".ISBN 0-521-79722-5" 
  3. 3.0 3.1 E.N. Gilbert (1959). "Random Graphs". Annals of Mathematical Statistics. 30 (4): 1141–1144. .doi:10.1214/aoms/1177706098
  4. Newman, Mark. E. J.; Strogatz, S. H.; Watts, D. J. (2001). "Random graphs with arbitrary degree distributions and their applications". Physical Review E. 64: 026118. arXiv:cond-mat/0007235. Bibcode:2001PhRvE..64b6118N. doi:10.1103/PhysRevE.64.026118. PMID 11497662., Eq. (1)
  5. 5.0 5.1 Erdős, P.; Rényi, A. (1960). "On the evolution of random graphs" (PDF). Magyar Tudományos Akadémia Matematikai Kutató Intézetének Kőzleményei [Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences]. 5: 17–61. 这里的概率p指的是[math]\displaystyle{ N(n) = \tbinom{n}{2} p }[/math]
  6. Matula, David W. (February 1972). "The employee party problem". Notices of the American Mathematical Society. 19: A-382.
  7. Ramezanpour, A.; Karimipour, V.; Mashaghi, A. (April 2003). "Generating correlated networks from uncorrelated ones". Physical Review E. 67 (4): 046107. arXiv:cond-mat/0212469. Bibcode:2003PhRvE..67d6107R. doi:10.1103/PhysRevE.67.046107. PMID 12786436.
  8. Bollobás, B.; Erdős, P. (1976). "Cliques in Random Graphs". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 80 (3): 419–427. Bibcode:1976MPCPS..80..419B. doi:10.1017/S0305004100053056.
  9. Buldyrev, S. V.; Parshani, R.; Paul, G.; Stanley, H. E.; Havlin, S. (2010). "Catastrophic cascade of failures in interdependent networks". Nature. 464 (7291): 1025–8. arXiv:0907.1182. Bibcode:2010Natur.464.1025B. doi:10.1038/nature08932. PMID 20393559.


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