归一化

在数学中，范数是从实向量空间或复向量空间映射到非负实数的函数，它具有类似于"到原点距离"的某些性质：它与标量乘法可交换，满足三角不等式的某种形式，并且只在原点处取零值。特别地，欧几里得空间中的欧几里得距离就是由其相关欧几里得向量空间上的一个范数定义的，这个范数被称为欧几里得范数、2-范数，有时也称为向量的模或长度。我们可以将这个范数定义为向量与其自身的内积的平方根。

半范数满足范数的前两个性质，但在非零向量处也可能取零值。当我们为一个向量空间指定了范数，我们就称其为赋范向量空间。类似地，配备了半范数的向量空间称为半赋范向量空间。

伪范数这个术语在数学中有几种相关但不完全相同的含义。它可能被用作"半范数"的同义词。伪范数可能满足与范数相同的公理，但在齐次性公理中，等号被不等号"≤"所替代。这个术语还可能指代能取无穷值的范数，或者某些由有向集参数化的函数。

这些概念在现代数学分析中发挥着重要作用，它们为我们研究向量空间的度量性质提供了基础工具。范数的概念不仅在纯数学中重要，在应用数学和物理学中也有广泛应用，特别是在研究函数空间和算子理论时经常用到。