标准正交基

在数学中，特别是在线性代数领域，对于一个有限维内积空间[math]\displaystyle{ V }[/math]，标准正交基是[math]\displaystyle{ V }[/math]的一组基，其中的向量都是标准正交的，这意味着这些向量都是单位向量，并且两两正交。举例来说，欧几里得空间[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]的标准基就是一个标准正交基，这里的内积就是向量的点积。我们对标准基进行旋转或反射（或任何正交变换）得到的基也是标准正交的，实际上，[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]中的每个标准正交基都可以通过这种方式得到。我们可以通过对正交基进行归一化来获得标准正交基。选定一个原点和一个标准正交基，就构成了一个称为标准正交标架的坐标系。

对于一般的内积空间[math]\displaystyle{ V }[/math]，我们可以利用标准正交基在[math]\displaystyle{ V }[/math]上定义标准正交坐标。在这些坐标下，内积就简化为向量的点积形式。因此，有了标准正交基，有限维内积空间的研究就可以简化为带点积的[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]的研究。每个有限维内积空间都存在标准正交基，我们可以通过对任意基使用格拉姆-施密特正交化过程来得到这样的基。

在泛函分析中，标准正交基的概念可以推广到任意（无限维）内积空间。对于一个预希尔伯特空间[math]\displaystyle{ H }[/math]，其标准正交基是指一组标准正交向量集，使得空间[math]\displaystyle{ H }[/math]中的每个向量都可以表示为基中向量的无限线性组合。在这种情况下，这样的标准正交基有时也被称为[math]\displaystyle{ H }[/math]的希尔伯特基。需要注意的是，这种意义下的标准正交基通常不是哈梅尔基，因为我们需要用到无限线性组合。具体来说，基的线性张成必须在[math]\displaystyle{ H }[/math]中稠密，但不一定等于整个空间。

当我们进一步研究希尔伯特空间时，会发现一组与标准正交基具有相同线性张成的非标准正交向量集不一定构成一组基。例如，区间[math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math]上的任何平方可积函数都可以（几乎处处）表示为勒让德多项式（一组标准正交基）的无限和，但不一定能表示为单项式[math]\displaystyle{ x^n }[/math]的无限和。

另一种推广是到赝内积空间，这是配备了非退化对称双线性型（称为度量张量）的有限维向量空间[math]\displaystyle{ M }[/math]。在这样的基中，度量具有形式[math]\displaystyle{ \text{diag}(+1,\cdots,+1,-1,\cdots,-1) }[/math]，其中有[math]\displaystyle{ p }[/math]个正1和[math]\displaystyle{ q }[/math]个负1。