正交矩阵

在线性代数中，正交矩阵（或称标准正交矩阵）是一个实方阵，其行向量和列向量都是标准正交向量。

我们可以用数学语言将其表述为：[math]\displaystyle{ Q^{\mathrm{T}}Q = QQ^{\mathrm{T}} = I }[/math]，其中[math]\displaystyle{ Q^{\mathrm{T}} }[/math]是Q的转置矩阵，I是单位矩阵。

这就引出了另一个等价的特征：一个矩阵Q是正交矩阵，当且仅当它的转置矩阵等于它的逆矩阵：[math]\displaystyle{ Q^{\mathrm{T}} = Q^{-1} }[/math]，这里[math]\displaystyle{ Q^{-1} }[/math]是Q的逆矩阵。

正交矩阵Q必然是可逆的（其逆矩阵为[math]\displaystyle{ Q^{-1} = Q^{\mathrm{T}} }[/math]），在实数域上它是酉矩阵（[math]\displaystyle{ Q^{-1} = Q^{} }[/math]，其中[math]\displaystyle{ Q^{} }[/math]是Q的埃尔米特共轭转置），因此也是正规矩阵（[math]\displaystyle{ Q^{}Q = QQ^{} }[/math]）。任何正交矩阵的行列式只能是+1或-1。作为线性变换，正交矩阵保持向量的内积不变，因此在欧几里得空间中起着等距变换的作用，如旋转、反射或旋转反射。换句话说，它是一个酉变换。

所有n×n正交矩阵在矩阵乘法运算下构成正交群O(n)。由行列式为+1的正交矩阵构成的子群被称为特殊正交群SO(n)，其中的每个元素都被称为特殊正交矩阵。作为线性变换，每个特殊正交矩阵都表示一个旋转。