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当α是有理数或实数，且<math>f(x)</math>是连续函数时，由可加性可以推出齐次性。但当α是复数时，可加性不能导出齐次性。例如，反线性映射是可加的，但不是齐次的。可加性和齐次性条件经常组合，称为叠加原理：

当α是有理数或实数，且<math>f(x)</math>是连续函数时，由可加性可以推出齐次性。但当α是复数时，可加性不能导出齐次性。例如，反线性映射是可加的，但不是齐次的。可加性和齐次性条件经常组合，称为叠加原理：

<math>f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)</math>

:<math>f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)</math>

对一个写成

对一个写成

<math>f(x) = C</math>

:<math>f(x) = C</math>

的方程，若 <math> f (x) </math> 是线性映射（如上定义） ，则称其为'''线性的 Linear'''，否则称为'''非线性的 Nonlinear'''。若<math>C = 0</math>，该方程称为是齐次的。

的方程，若 <math> f (x) </math> 是线性映射（如上定义） ，则称其为'''线性的 Linear'''，否则称为'''非线性的 Nonlinear'''。若<math>C = 0</math>，该方程称为是齐次的。

非线性'''代数方程 Algebraic Equation'''，又称'''多项式方程 Polynomial Equation'''，由某多项式（次数大于1）等于零定义。例如：

非线性'''代数方程 Algebraic Equation'''，又称'''多项式方程 Polynomial Equation'''，由某多项式（次数大于1）等于零定义。例如：

<math>x^2 + x - 1 = 0\,.</math>

:<math>x^2 + x - 1 = 0\,.</math>

对于一个单一的多项式方程，'''求根算法 Root-finding Algorithms'''可用于其求解（即找到满足该方程的变量的值集）。而代数方程组则相对复杂，其研究是现代数学的较难分支——'''代数几何 Algebraic Geometry'''领域的动力之一。甚至很难判断一个给定的代数系统是否有复数解（见'''希尔伯特零点定律  Hilbert's Nullstellensatz'''）。不过，对于具有有限个复数解的系统的多项式方程组，我们现在已经有了充分的理解，并且找到了有效的求解方法<ref>{{cite journal |last1= Lazard |first1= D. |title= Thirty years of Polynomial System Solving, and now? |doi= 10.1016/j.jsc.2008.03.004 |journal= Journal of Symbolic Computation |volume= 44 |issue= 3 |pages= 222–231 |year= 2009 |pmid= |pmc=}}</ref>。

对于一个单一的多项式方程，'''求根算法 Root-finding Algorithms'''可用于其求解（即找到满足该方程的变量的值集）。而代数方程组则相对复杂，其研究是现代数学的较难分支——'''代数几何 Algebraic Geometry'''领域的动力之一。甚至很难判断一个给定的代数系统是否有复数解（见'''希尔伯特零点定律  Hilbert's Nullstellensatz'''）。不过，对于具有有限个复数解的系统的多项式方程组，我们现在已经有了充分的理解，并且找到了有效的求解方法<ref>{{cite journal |last1= Lazard |first1= D. |title= Thirty years of Polynomial System Solving, and now? |doi= 10.1016/j.jsc.2008.03.004 |journal= Journal of Symbolic Computation |volume= 44 |issue= 3 |pages= 222–231 |year= 2009 |pmid= |pmc=}}</ref>。

一阶[[常微分方程]]，尤其是自治（自主）方程，通常可以用'''分离变量法  Separation of Variables'''来精确求解。例如，非线性方程

一阶[[常微分方程]]，尤其是自治（自主）方程，通常可以用'''分离变量法  Separation of Variables'''来精确求解。例如，非线性方程

<math>\frac{d u}{d x} = -u^2</math>

:<math>\frac{d u}{d x} = -u^2</math>

将 <math>u=\frac{1}{x+C}</math> 作为一般解（也有特解 ''u'' = 0，对应于 ''C'' 趋于无穷时的一般解的极限)。该方程是非线性的，因为它可以改写成

将 <math>u=\frac{1}{x+C}</math> 作为一般解（也有特解 ''u'' = 0，对应于 ''C'' 趋于无穷时的一般解的极限)。该方程是非线性的，因为它可以改写成

<math>\frac{du}{d x} + u^2=0</math>

:<math>\frac{du}{d x} + u^2=0</math>

方程的左边不是 ''u'' 及其导数的线性函数。注意，若将 ''u''² 项替换为''u''，该问题将变为线性的（'''指数衰减 Exponential Decay'''问题）。

方程的左边不是 ''u'' 及其导数的线性函数。注意，若将 ''u''² 项替换为''u''，该问题将变为线性的（'''指数衰减 Exponential Decay'''问题）。

==进一步阅读==

==进一步阅读==

{{Refbegin|35em}}

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*{{cite book

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| author= Diederich Hinrichsen and Anthony J. Pritchard

| author= {{tsl|en|Diederich Hinrichsen||Diederich Hinrichsen}} and Anthony J. Pritchard

| year= 2005

| year= 2005

| title= Mathematical Systems Theory I - Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness

| title= Mathematical Systems Theory I - Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness

}}

}}

*{{cite book

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| last= Jordan

| last = Jordan

| first= D. W.

| first = D. W.

| last2= Smith

| last2 = Smith

| first2= P.

| first2 = P.

| year= 2007

| year = 2007

| edition= fourth

| edition = fourth

| title= Nonlinear Ordinary Differential Equations

| title = Nonlinear Ordinary Differential Equations

| publisher= Oxford University Press

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| isbn= 978-0-19-920824-1

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}}

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*{{cite book

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| last= Khalil

| last = Khalil

| first= Hassan K.

| first = Hassan K.

| year= 2001

| year = 2001

| title= Nonlinear Systems

| title = Nonlinear Systems

| publisher= Prentice Hall

| publisher = Prentice Hall

| isbn= 978-0-13-067389-3

| isbn = 0-13-067389-7

}}

}}

*{{cite book

*{{cite book

| last= Kreyszig

| last = Kreyszig

| first= Erwin

| first = Erwin

| authorlink= Erwin Kreyszig

| authorlink =  

| year= 1998

| year = 1998

| title= Advanced Engineering Mathematics

| title = Advanced Engineering Mathematics

| publisher = Wiley

| isbn = 0-471-15496-2

| publisher= Wiley

| isbn= 978-0-471-15496-9

}}

}}

*{{cite book

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| last= Sontag

| last = Sontag

| first= Eduardo

| first = Eduardo

| authorlink= Eduardo D. Sontag

| authorlink =  

| year= 1998

| year = 1998

| title= Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition

| title = Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition

| publisher= Springer

| publisher = Springer

| isbn= 978-0-387-98489-6

| isbn = 0-387-98489-5

}}

}}

{{Refend}}

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==外部链接==

==外部链接==

此系列课程由[[斯蒂文·斯特罗加茨 Steven H. Strogatz]]主持，内容包括机械振动，激光，生物节律，超导电路，昆虫爆发，化学振荡器，遗传控制系统，混沌水轮，甚至是使用混乱发送秘密信息的技术。在每种情况下，科学背景都在初级阶段进行解释，并与数学理论紧密结合。

此系列课程由[[斯蒂文·斯特罗加茨 Steven H. Strogatz]]主持，内容包括机械振动，激光，生物节律，超导电路，昆虫爆发，化学振荡器，遗传控制系统，混沌水轮，甚至是使用混乱发送秘密信息的技术。在每种情况下，科学背景都在初级阶段进行解释，并与数学理论紧密结合。

[[Category:Nonlinear systems| ]]

 

[[Category:非线性系统|非线性系统]]

 

[[Category:动力系统]]

[[Category:Dynamical systems]]

[[Category:基本物理概念]]

 

 

类别: 动力系统

 

[[Category:Concepts in physics]]

 

 

 

 

 

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