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当α是有理数或实数，且<math>f(x)</math>是连续函数时，由可加性可以推出齐次性。但当α是复数时，可加性不能导出齐次性。例如，反线性映射是可加的，但不是齐次的。可加性和齐次性条件经常组合，称为叠加原理：
当α是有理数或实数，且<math>f(x)</math>是连续函数时，由可加性可以推出齐次性。但当α是复数时，可加性不能导出齐次性。例如，反线性映射是可加的，但不是齐次的。可加性和齐次性条件经常组合，称为叠加原理：
<math>f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)</math>
:<math>f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)</math>
对一个写成
对一个写成
<math>f(x) = C</math>
:<math>f(x) = C</math>
的方程，若 <math> f (x) </math> 是线性映射（如上定义） ，则称其为'''线性的 Linear'''，否则称为'''非线性的 Nonlinear'''。若<math>C = 0</math>，该方程称为是齐次的。
的方程，若 <math> f (x) </math> 是线性映射（如上定义） ，则称其为'''线性的 Linear'''，否则称为'''非线性的 Nonlinear'''。若<math>C = 0</math>，该方程称为是齐次的。
非线性'''代数方程 Algebraic Equation'''，又称'''多项式方程 Polynomial Equation'''，由某多项式（次数大于1）等于零定义。例如：
非线性'''代数方程 Algebraic Equation'''，又称'''多项式方程 Polynomial Equation'''，由某多项式（次数大于1）等于零定义。例如：
<math>x^2 + x - 1 = 0\,.</math>
:<math>x^2 + x - 1 = 0\,.</math>
对于一个单一的多项式方程，'''求根算法 Root-finding Algorithms'''可用于其求解（即找到满足该方程的变量的值集）。而代数方程组则相对复杂，其研究是现代数学的较难分支——'''代数几何 Algebraic Geometry'''领域的动力之一。甚至很难判断一个给定的代数系统是否有复数解（见'''希尔伯特零点定律 Hilbert's Nullstellensatz'''）。不过，对于具有有限个复数解的系统的多项式方程组，我们现在已经有了充分的理解，并且找到了有效的求解方法<ref>{{cite journal |last1= Lazard |first1= D. |title= Thirty years of Polynomial System Solving, and now? |doi= 10.1016/j.jsc.2008.03.004 |journal= Journal of Symbolic Computation |volume= 44 |issue= 3 |pages= 222–231 |year= 2009 |pmid= |pmc=}}</ref>。
对于一个单一的多项式方程，'''求根算法 Root-finding Algorithms'''可用于其求解（即找到满足该方程的变量的值集）。而代数方程组则相对复杂，其研究是现代数学的较难分支——'''代数几何 Algebraic Geometry'''领域的动力之一。甚至很难判断一个给定的代数系统是否有复数解（见'''希尔伯特零点定律 Hilbert's Nullstellensatz'''）。不过，对于具有有限个复数解的系统的多项式方程组，我们现在已经有了充分的理解，并且找到了有效的求解方法<ref>{{cite journal |last1= Lazard |first1= D. |title= Thirty years of Polynomial System Solving, and now? |doi= 10.1016/j.jsc.2008.03.004 |journal= Journal of Symbolic Computation |volume= 44 |issue= 3 |pages= 222–231 |year= 2009 |pmid= |pmc=}}</ref>。
一阶[[常微分方程]]，尤其是自治（自主）方程，通常可以用'''分离变量法 Separation of Variables'''来精确求解。例如，非线性方程
一阶[[常微分方程]]，尤其是自治（自主）方程，通常可以用'''分离变量法 Separation of Variables'''来精确求解。例如，非线性方程
<math>\frac{d u}{d x} = -u^2</math>
:<math>\frac{d u}{d x} = -u^2</math>
将 <math>u=\frac{1}{x+C}</math> 作为一般解（也有特解 ''u'' = 0，对应于 ''C'' 趋于无穷时的一般解的极限)。该方程是非线性的，因为它可以改写成
将 <math>u=\frac{1}{x+C}</math> 作为一般解（也有特解 ''u'' = 0，对应于 ''C'' 趋于无穷时的一般解的极限)。该方程是非线性的，因为它可以改写成
<math>\frac{du}{d x} + u^2=0</math>
:<math>\frac{du}{d x} + u^2=0</math>
方程的左边不是 ''u'' 及其导数的线性函数。注意，若将 ''u''<sup>2</sup> 项替换为''u''，该问题将变为线性的（'''指数衰减 Exponential Decay'''问题）。
方程的左边不是 ''u'' 及其导数的线性函数。注意，若将 ''u''<sup>2</sup> 项替换为''u''，该问题将变为线性的（'''指数衰减 Exponential Decay'''问题）。
==进一步阅读==
==进一步阅读==
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*{{cite book
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| author= Diederich Hinrichsen and Anthony J. Pritchard
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| year= 2005
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| title= Mathematical Systems Theory I - Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness
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*{{cite book
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| last= Jordan
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| first= D. W.
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| last2= Smith
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| year= 2007
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| edition= fourth
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| title= Nonlinear Ordinary Differential Equations
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| publisher= Oxford University Press
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| isbn= 978-0-19-920824-1
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*{{cite book
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| last= Khalil
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| first= Hassan K.
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| year= 2001
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| title= Nonlinear Systems
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| isbn= 978-0-13-067389-3
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*{{cite book
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| last= Kreyszig
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| first= Erwin
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| authorlink= Erwin Kreyszig
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| year= 1998
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| title= Advanced Engineering Mathematics
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| isbn = 0-471-15496-2
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*{{cite book
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| first= Eduardo
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| year= 1998
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| title= Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition
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| publisher= Springer
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| isbn= 978-0-387-98489-6
| isbn = 0-387-98489-5
}}
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==外部链接==
==外部链接==
此系列课程由[[斯蒂文·斯特罗加茨 Steven H. Strogatz]]主持，内容包括机械振动，激光，生物节律，超导电路，昆虫爆发，化学振荡器，遗传控制系统，混沌水轮，甚至是使用混乱发送秘密信息的技术。在每种情况下，科学背景都在初级阶段进行解释，并与数学理论紧密结合。
此系列课程由[[斯蒂文·斯特罗加茨 Steven H. Strogatz]]主持，内容包括机械振动，激光，生物节律，超导电路，昆虫爆发，化学振荡器，遗传控制系统，混沌水轮，甚至是使用混乱发送秘密信息的技术。在每种情况下，科学背景都在初级阶段进行解释，并与数学理论紧密结合。
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