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→度规
我们知道，在彭加莱圆盘模型中，一小段微元可以写成极坐标形式的度规为：
我们知道，在彭加莱圆盘模型中，一小段微元可以写成极坐标形式的度规为：
<math>
:<math>
ds^2=4\frac{dr^2+r^2d\theta^2}{(1-r^2)^2}=4(dr,d\theta)\begin{pmatrix}\frac{1}{(1-r^2)^2} & 0 \\ 0 & \frac{r^2}{(1-r^2)^2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr\\ d\theta\end{pmatrix}
ds^2=4\frac{dr^2+r^2d\theta^2}{(1-r^2)^2}=4(dr,d\theta)\begin{pmatrix}\frac{1}{(1-r^2)^2} & 0 \\ 0 & \frac{r^2}{(1-r^2)^2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr\\ d\theta\end{pmatrix}
</math>
</math>
我们将坐标变换<math>r=\tanh(r'/2),\theta=\theta'</math>代入上式，并注意到：<math>dr^2=\frac{1}{4\cosh^2(r'/2)}</math>，则得到：
我们将坐标变换<math>r=\tanh(r'/2),\theta=\theta'</math>代入上式，并注意到：<math>dr^2=\frac{1}{4\cosh^2(r'/2)}</math>，则得到：
<math>
:<math>
ds^2=4\frac{\frac{1}{4\cosh(r'/2)} dr'^2+\tanh^2(r'/2)d\theta'^2}{(1-\tanh^2(r'/2))^2}=dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2
ds^2=4\frac{\frac{1}{4\cosh(r'/2)} dr'^2+\tanh^2(r'/2)d\theta'^2}{(1-\tanh^2(r'/2))^2}=dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2
</math>
</math>
如果曲面的曲率为<math>K=-\zeta^2</math>，则彭加莱圆盘的度规为：
如果曲面的曲率为<math>K=-\zeta^2</math>，则彭加莱圆盘的度规为：
<math>
:<math>
ds^2=4 \zeta \frac{dr^2+r^2d\theta^2}{(1-r^2)^2}
ds^2=4 \zeta \frac{dr^2+r^2d\theta^2}{(1-r^2)^2}
</math>
</math>
而扩展的彭加莱圆盘度规为：
而扩展的彭加莱圆盘度规为：
<math>
:<math>
ds^2=\zeta (dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2)
ds^2=\zeta (dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2)
</math>
</math>
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====任意两点距离公式====
====任意两点距离公式====