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无编辑摘要
另外，随机几何图具有高聚集性，即相互临近的节点会连接形成大量的局域三角形。我们可以解析地给出d维欧氏空间中的[[随机几何图]]的聚集系数为：
另外，随机几何图具有高聚集性，即相互临近的节点会连接形成大量的局域三角形。我们可以解析地给出d维欧氏空间中的[[随机几何图]]的聚集系数为：
<math>
:<math>
C_d=\frac{3}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma\left(\frac{d+2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{d+1}{2}\right)}\int_0^{\pi/3}\sin^d\theta d\theta
C_d=\frac{3}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma\left(\frac{d+2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{d+1}{2}\right)}\int_0^{\pi/3}\sin^d\theta d\theta
</math>
</math>
而在网络的双曲空间模型中，作者采用了一种扩展的彭加莱圆盘模型。与彭加莱圆盘最大的不同就在于每个点到原点的距离为双曲距离而不是欧氏距离。如果设彭加莱圆盘中某点的极坐标是<math>(r,\theta)</math>，而新扩展彭加莱圆盘模型下该点的极坐标为<math>(r',\theta')</math>，则根据双曲空间的特性，存在关系：
而在网络的双曲空间模型中，作者采用了一种扩展的彭加莱圆盘模型。与彭加莱圆盘最大的不同就在于每个点到原点的距离为双曲距离而不是欧氏距离。如果设彭加莱圆盘中某点的极坐标是<math>(r,\theta)</math>，而新扩展彭加莱圆盘模型下该点的极坐标为<math>(r',\theta')</math>，则根据双曲空间的特性，存在关系：
<math>
:<math>
r'=2\tanh^{-1}{r},\theta'=\theta
r'=2\tanh^{-1}{r},\theta'=\theta
</math>
</math>
设双曲空间曲率为<math>K=-\zeta^2</math>，任意两点P、Q，它们在扩展彭加莱圆盘中的极坐标为：<math>(r,\theta)</math>， <math>(r',\theta')</math>，设它们之间的双曲距离为x，则：
设双曲空间曲率为<math>K=-\zeta^2</math>，任意两点P、Q，它们在扩展彭加莱圆盘中的极坐标为：<math>(r,\theta)</math>， <math>(r',\theta')</math>，设它们之间的双曲距离为x，则：
<math>
:<math>
\cosh{\zeta x}=\cosh(\zeta r)\cosh(\zeta r')-\sinh(\zeta r)\sinh(\zeta r')\cos(\Delta \theta)
\cosh{\zeta x}=\cosh(\zeta r)\cosh(\zeta r')-\sinh(\zeta r)\sinh(\zeta r')\cos(\Delta \theta)
</math>
</math>
当r和r'都很大，而且x也较大的时候，我们有近似公式：
当r和r'都很大，而且x也较大的时候，我们有近似公式：
<math>x\approx r+r'+\frac{2}{\zeta}\log{\sin(\Delta\theta/2)}</math>
:<math>x\approx r+r'+\frac{2}{\zeta}\log{\sin(\Delta\theta/2)}</math>
当<math>\Delta\theta/2)</math>很小的时候，
当<math>\Delta\theta/2)</math>很小的时候，
<math>x\approx r+r'+\frac{2}{\zeta}\log{\Delta\theta/2}</math>
:<math>x\approx r+r'+\frac{2}{\zeta}\log{\Delta\theta/2}</math>
根据彭加莱圆模型与扩展模型中极坐标之间的关系：
根据彭加莱圆模型与扩展模型中极坐标之间的关系：
<math>
:<math>
r=\tanh(r'/2)
r=\tanh(r'/2)
</math>
</math>
在一般的曲率下<math>K=-\zeta^2</math>，圆的周长计算公式为：
在一般的曲率下<math>K=-\zeta^2</math>，圆的周长计算公式为：
<math>
:<math>
L(r)=2\pi\sinh \zeta r
L(r)=2\pi\sinh \zeta r
</math>
</math>
面积为：
面积为：
<math>
:<math>
A(r)=2\pi(\cosh \zeta r -1)
A(r)=2\pi(\cosh \zeta r -1)
</math>
</math>
这部分面积可以按照如下的方式计算：首先，我们以O为中心，以R-r为半径画一个圆，我们计算这个圆的面积。按照双曲圆面积的计算公式，这部分面积为：
这部分面积可以按照如下的方式计算：首先，我们以O为中心，以R-r为半径画一个圆，我们计算这个圆的面积。按照双曲圆面积的计算公式，这部分面积为：
<math>
:<math>
A_1=2\pi\left(\cosh(R-r)-1\right)
A_1=2\pi\left(\cosh(R-r)-1\right)
</math>
</math>
然后，我们再计算剩下一半的面积：
然后，我们再计算剩下一半的面积：
<math>
:<math>
A_2=2\int_{R-r}^{R}\sinh{y}dy\int_0^{\theta_y}d\theta=2\int_{R-r}^r\theta_y\sinh{y}dy
A_2=2\int_{R-r}^{R}\sinh{y}dy\int_0^{\theta_y}d\theta=2\int_{R-r}^r\theta_y\sinh{y}dy
</math>
</math>
其中<math>\theta_y\in[0,\pi]</math>是如图所示的三角形OXY中OX和OY的夹角（保证|XY|=R），这个角度可以通过解下面的方程而得出：
其中<math>\theta_y\in[0,\pi]</math>是如图所示的三角形OXY中OX和OY的夹角（保证|XY|=R），这个角度可以通过解下面的方程而得出：
<math>
:<math>
\cosh R=\cosh r \cosh y - \sinh r\sinh y\cos \theta_y
\cosh R=\cosh r \cosh y - \sinh r\sinh y\cos \theta_y
</math>
</math>
最后计算得到，总面积：
最后计算得到，总面积：
<math>
:<math>
\begin{align}
\begin{align}
A(r)=A_1+A_2=&2\pi\left(\cosh(R-r)-1\right)-2\cosh R\left(\arcsin\frac{\tanh(r/2)}{\tanh R}+\arctan\frac{\cosh R \sinh(r/2)}{\sqrt{\sinh(R+r/2)\sinh(R-r/2)}}\right)\\
A(r)=A_1+A_2=&2\pi\left(\cosh(R-r)-1\right)-2\cosh R\left(\arcsin\frac{\tanh(r/2)}{\tanh R}+\arctan\frac{\cosh R \sinh(r/2)}{\sqrt{\sinh(R+r/2)\sinh(R-r/2)}}\right)\\
这样，位于r半径处所有节点的平均度就是：
这样，位于r半径处所有节点的平均度就是：
<math>
:<math>
\langle k(r)\rangle = \frac{N}{2\pi (\sinh(R)-1)}A(r)
\langle k(r)\rangle = \frac{N}{2\pi (\sinh(R)-1)}A(r)
</math>
</math>
当R非常大的时候，这个表达式可以近似为：
当R非常大的时候，这个表达式可以近似为：
<math>
:<math>
\langle k(r)\rangle = N\left\{\frac{4}{\pi}e^{-r/2}-\left(\frac{4}{\pi}-1\right)e^{-r}\right\}\approx \frac{4}{\pi}Ne^{-r/2}
\langle k(r)\rangle = N\left\{\frac{4}{\pi}e^{-r/2}-\left(\frac{4}{\pi}-1\right)e^{-r}\right\}\approx \frac{4}{\pi}Ne^{-r/2}
</math>
</math>
也就是说r处节点的平均度随着半径r而以指数衰减。近一步，我们知道了<math>\langle k(r)\rangle</math>为r处节点的平均度，而这一圈节点的度分布是一个泊松分布，因此
也就是说r处节点的平均度随着半径r而以指数衰减。近一步，我们知道了<math>\langle k(r)\rangle</math>为r处节点的平均度，而这一圈节点的度分布是一个泊松分布，因此
<math>
:<math>
g(k|r)=e^{-\langle k(r)\rangle}\langle k(r)\rangle ^k/k!
g(k|r)=e^{-\langle k(r)\rangle}\langle k(r)\rangle ^k/k!
</math>
</math>
这里，g(k|r)表示节点的极径为r位置处，度为k的概率。这样，整个网络的度分布就是：
这里，g(k|r)表示节点的极径为r位置处，度为k的概率。这样，整个网络的度分布就是：
<math>
:<math>
P(k)=\int_0^R g(k|r)\rho(r)dr=2\langle k\rangle^2\frac{\Gamma (k-2,\langle k\rangle /2)}{k!}\sim k^{-3}
P(k)=\int_0^R g(k|r)\rho(r)dr=2\langle k\rangle^2\frac{\Gamma (k-2,\langle k\rangle /2)}{k!}\sim k^{-3}
</math>
</math>
接下来，我们考虑更一般的情况。首先，我们假设节点的密度分布为准均匀的，也就是说位于半径为r处的节点密度为：
接下来，我们考虑更一般的情况。首先，我们假设节点的密度分布为准均匀的，也就是说位于半径为r处的节点密度为：
<math>
:<math>
\rho(r)=\alpha\frac{\sinh \alpha r}{\cosh \alpha R -1 }\approx \alpha R^{\alpha (r - R)}\sim e^{\alpha r}
\rho(r)=\alpha\frac{\sinh \alpha r}{\cosh \alpha R -1 }\approx \alpha R^{\alpha (r - R)}\sim e^{\alpha r}
</math>
</math>
在这种情况下，节点的度分布为：
在这种情况下，节点的度分布为：
<math>
:<math>
P(k)\sim k^{-\gamma}
P(k)\sim k^{-\gamma}
</math>
</math>
这里，
这里，
<math>
:<math>
\gamma=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2\alpha}{\zeta}+1&\text{if } \frac{\alpha}{\zeta} \geq \frac{1}{2}\\2&\text{if } \frac{\alpha}{\zeta} \leq \frac{1}{2} \end{array}\right.
\gamma=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2\alpha}{\zeta}+1&\text{if } \frac{\alpha}{\zeta} \geq \frac{1}{2}\\2&\text{if } \frac{\alpha}{\zeta} \leq \frac{1}{2} \end{array}\right.
</math>
</math>
同时，我们可以计算出平均度为：
同时，我们可以计算出平均度为：
<math>
:<math>
\langle k\rangle=\frac{2}{\pi}\xi^2Ne^{-\zeta R/2}
\langle k\rangle=\frac{2}{\pi}\xi^2Ne^{-\zeta R/2}
</math>
</math>
这里<math>\xi=(\alpha/\zeta)/(\alpha/\zeta-1/2)</math>。因此，如果我们希望网络的平均度刚好是<math>k_0</math>，那么我们需要撒入的节点数就必须为：
这里<math>\xi=(\alpha/\zeta)/(\alpha/\zeta-1/2)</math>。因此，如果我们希望网络的平均度刚好是<math>k_0</math>，那么我们需要撒入的节点数就必须为：
<math>
:<math>
N(k_0)=\pi \frac{k_0}{2 \xi^2} e^{\zeta R/2}
N(k_0)=\pi \frac{k_0}{2 \xi^2} e^{\zeta R/2}
</math>
</math>
在刚刚介绍的随机几何图模型中，只有在半径小于r的时候才发生联系。而且，这个链接条件是硬性的，也就是说只要小于r才连接，不小于就一定不会连接。这在实际情况中条件过于苛刻。于是，作者提出了一种软化的模型，也就是说，任意两点发生连接的概率按照下式计算：
在刚刚介绍的随机几何图模型中，只有在半径小于r的时候才发生联系。而且，这个链接条件是硬性的，也就是说只要小于r才连接，不小于就一定不会连接。这在实际情况中条件过于苛刻。于是，作者提出了一种软化的模型，也就是说，任意两点发生连接的概率按照下式计算：
<math>
:<math>
p(x)=\frac{1}{e^{\beta(\zeta/2)(x-R)}+1}
p(x)=\frac{1}{e^{\beta(\zeta/2)(x-R)}+1}
</math>
</math>
在这个模型中，度分布仍然为幂律分布，而且幂指数为
在这个模型中，度分布仍然为幂律分布，而且幂指数为
<math>
:<math>
\gamma=2\frac{\alpha}{\zeta\beta}+1
\gamma=2\frac{\alpha}{\zeta\beta}+1
</math>
</math>
===聚集系数===
===聚集系数===
复杂网络的双曲模型中有一个很有趣的方面是，它是和一个圆环上的网络模型具有对偶关系的。在介绍这种对偶关系之前，让我们先来看看圆环上的网络模型
复杂网络的双曲模型中有一个很有趣的方面是，它是和一个圆环上的网络模型具有对偶关系的。在介绍这种对偶关系之前，让我们先来看看圆环上的网络模型
===圆环模型===
===圆环模型===
在这个模型中，我们假设所有的节点都有一个隐变量（<math>\kappa</math>），表示该节点预期能够达到的度。另外，我们还假设所有的节点都分配在一个圆环上（我们不妨用区间<math>[0,2\pi]</math>来表示）。这样，任意两个节点X（坐标为<math>\theta_x</math>，隐变量为<math>\kappa</math>）和Y（坐标为<math>\theta_y</math>，隐变量为<math>\kappa'</math>）之间具有距离<math>\theta_{XY}=\pi-|\pi-|\theta_x-\theta_y|)</math>。那么这两点依下面的概率发生联系（即建立连边）：
在这个模型中，我们假设所有的节点都有一个隐变量（<math>\kappa</math>），表示该节点预期能够达到的度。另外，我们还假设所有的节点都分配在一个圆环上（我们不妨用区间<math>[0,2\pi]</math>来表示）。这样，任意两个节点X（坐标为<math>\theta_x</math>，隐变量为<math>\kappa</math>）和Y（坐标为<math>\theta_y</math>，隐变量为<math>\kappa'</math>）之间具有距离<math>\theta_{XY}=\pi-|\pi-|\theta_x-\theta_y|)</math>。那么这两点依下面的概率发生联系（即建立连边）：
<math>
:<math>
\Pi=f(\frac{\theta_{XY}}{\mu\kappa\kappa'})
\Pi=f(\frac{\theta_{XY}}{\mu\kappa\kappa'})
</math>
</math>
我们可以验证，首先，我们假设所有节点的<math>\kappa</math>是一个随机变量，随机变量的概率密度函数为：<math>\rho(\kappa)</math>，则：
我们可以验证，首先，我们假设所有节点的<math>\kappa</math>是一个随机变量，随机变量的概率密度函数为：<math>\rho(\kappa)</math>，则：
<math>
:<math>
\langle k(\kappa)\rangle=\frac{N}{2\pi}\int\int\rho(\kappa')f(\frac{\theta_{XY}}{\mu\kappa\kappa'})d\kappa'd\theta
\langle k(\kappa)\rangle=\frac{N}{2\pi}\int\int\rho(\kappa')f(\frac{\theta_{XY}}{\mu\kappa\kappa'})d\kappa'd\theta
</math>
</math>
为了求这个积分，我们做变量替换，令<math>\xi=\frac{\theta_{XY}}{\mu\kappa\kappa'}</math>，则<math>\theta=\frac{\xi}{\mu\kappa\kappa'}</math>，于是<math>d\theta=\frac{d\xi}{\mu\kappa\kappa'}</math>。这样，上面的积分就变为：
为了求这个积分，我们做变量替换，令<math>\xi=\frac{\theta_{XY}}{\mu\kappa\kappa'}</math>，则<math>\theta=\frac{\xi}{\mu\kappa\kappa'}</math>，于是<math>d\theta=\frac{d\xi}{\mu\kappa\kappa'}</math>。这样，上面的积分就变为：
<math>
:<math>
\langle k(\kappa)\rangle=2\mu\kappa\int_{\kappa_0}^{\infty}\kappa'\rho(\kappa)d\kappa'\int_0^{N/(2\mu \kappa\kappa')}f(\xi)d\xi=2\mu\langle\kappa\rangle\kappa I
\langle k(\kappa)\rangle=2\mu\kappa\int_{\kappa_0}^{\infty}\kappa'\rho(\kappa)d\kappa'\int_0^{N/(2\mu \kappa\kappa')}f(\xi)d\xi=2\mu\langle\kappa\rangle\kappa I
</math>
</math>
这里<math>I=\int f(\xi)d\xi, \langle\kappa\rangle=\int_{\kappa_0}^{\infty}\kappa'\rho(\kappa')d\kappa'</math>是<math>\kappa</math>的平均值。于是，我们可以得到
这里<math>I=\int f(\xi)d\xi, \langle\kappa\rangle=\int_{\kappa_0}^{\infty}\kappa'\rho(\kappa')d\kappa'</math>是<math>\kappa</math>的平均值。于是，我们可以得到
<math>
:<math>
\frac{k(\kappa)}{\langle k\rangle}=\frac{\kappa}{\langle \kappa\rangle}
\frac{k(\kappa)}{\langle k\rangle}=\frac{\kappa}{\langle \kappa\rangle}
</math>
</math>
这样，如果节点满足幂律分布<math>\rho(\kappa)\sim \kappa^{-\gamma}</math>，那么：最后的网络度分布也满足幂律分布。首先，我们可以得到网络的度分布概率密度函数为：
这样，如果节点满足幂律分布<math>\rho(\kappa)\sim \kappa^{-\gamma}</math>，那么：最后的网络度分布也满足幂律分布。首先，我们可以得到网络的度分布概率密度函数为：
<math>
:<math>
P(k)=(\gamma-1)\kappa_0^{\gamma-1}\frac{\Gamma(k+1-\gamma,\kappa_0)}{k!}
P(k)=(\gamma-1)\kappa_0^{\gamma-1}\frac{\Gamma(k+1-\gamma,\kappa_0)}{k!}
</math>
</math>
对于较大的k，这近似是一个幂指数为的<math>\gamma</math>的幂律分布，即：
对于较大的k，这近似是一个幂指数为的<math>\gamma</math>的幂律分布，即：
<math>
:<math>
P(k)\sim k^{-\gamma}
P(k)\sim k^{-\gamma}
</math>
</math>
我们设圆环模型中任意一个节点的隐变量为<math>(\kappa,\theta)</math>。其中<math>\kappa</math>为预期的度，<math>\theta</math>为该节点在圆环上的位置。我们只要定义如下映射：
我们设圆环模型中任意一个节点的隐变量为<math>(\kappa,\theta)</math>。其中<math>\kappa</math>为预期的度，<math>\theta</math>为该节点在圆环上的位置。我们只要定义如下映射：
<math>
:<math>
\kappa=\kappa_0e^{\zeta (R-r)/2}
\kappa=\kappa_0e^{\zeta (R-r)/2}
</math>
</math>
接下来，我们不难验证，只要让圆环模型中的函数f(x)取为特定的形式，则圆环网络模型就与双曲空间的随机几何图模型完全对应一个网络了。即，如果在圆环模型中X和Y存在着链接，那么经过变换后的双曲空间中的两个对应点X',Y'也会按照双曲随机几何图模型发生链接，否则就不链接。这种特殊的函数形式是：
接下来，我们不难验证，只要让圆环模型中的函数f(x)取为特定的形式，则圆环网络模型就与双曲空间的随机几何图模型完全对应一个网络了。即，如果在圆环模型中X和Y存在着链接，那么经过变换后的双曲空间中的两个对应点X',Y'也会按照双曲随机几何图模型发生链接，否则就不链接。这种特殊的函数形式是：
<math>
:<math>
f(x)=\Theta(1-x)
f(x)=\Theta(1-x)
</math>
</math>
近一步，当我们把<math>\kappa,\kappa'</math>按照关系式：<math>\kappa\propto e^{\zeta (R-r)/2}</math>代入，就不难得到，当
近一步，当我们把<math>\kappa,\kappa'</math>按照关系式：<math>\kappa\propto e^{\zeta (R-r)/2}</math>代入，就不难得到，当
<math>\theta_{XY}<\mu\kappa\kappa'\propto e^{\zeta (R-(r+r')/2)}</math>
:<math>\theta_{XY}<\mu\kappa\kappa'\propto e^{\zeta (R-(r+r')/2)}</math>
也就是：
也就是：
<math>
:<math>
r+r'+\frac{2}{\zeta}\log\frac{\theta_{XY}}{2}<R
r+r'+\frac{2}{\zeta}\log\frac{\theta_{XY}}{2}<R
</math>
</math>
因此，我们看到环状的模型刚好与双曲空间中的随机几何图模型形成边界－体对偶。
因此，我们看到环状的模型刚好与双曲空间中的随机几何图模型形成边界－体对偶。
==生长模型==
==生长模型==
在上述模型中，我们看到新节点的链接相当于优化目标是<math>s\Delta \theta_{st}</math>，而s和<math> \Delta \theta_{st}</math>是同等重要的。那么，我们能不能加上一个权重呢？也就是我们可以引入一个调节参数<math>a\in [0,1]</math>使得新节点优化：
在上述模型中，我们看到新节点的链接相当于优化目标是<math>s\Delta \theta_{st}</math>，而s和<math> \Delta \theta_{st}</math>是同等重要的。那么，我们能不能加上一个权重呢？也就是我们可以引入一个调节参数<math>a\in [0,1]</math>使得新节点优化：
<math>s^{a}\Delta\theta_{st}^{1-a}</math>
:<math>s^{a}\Delta\theta_{st}^{1-a}</math>
也就是说，每个已经存在的节点的流行性都有一种所谓的衰减效应，即在t时刻，原本在极径s处的节点将向外移动（参见上图），于是t时刻它的极径将变为：
也就是说，每个已经存在的节点的流行性都有一种所谓的衰减效应，即在t时刻，原本在极径s处的节点将向外移动（参见上图），于是t时刻它的极径将变为：
<math>
:<math>
r_s(t)=\beta r_s+(1-\beta)r_t
r_s(t)=\beta r_s+(1-\beta)r_t
</math>
</math>
这样，新引入节点与该老节点的距离就变为：
这样，新引入节点与该老节点的距离就变为：
<math>
:<math>
d\approx r_t(t)+r_s(t)+\log\Delta\theta_{st}=(2-\beta)r_t+\beta r_s+\log\Delta\theta_{st}=\log(t^{2-\beta}s^{\beta}\Delta\theta_{st})
d\approx r_t(t)+r_s(t)+\log\Delta\theta_{st}=(2-\beta)r_t+\beta r_s+\log\Delta\theta_{st}=\log(t^{2-\beta}s^{\beta}\Delta\theta_{st})
</math>
</math>
于是，这就相当于新节点要最小化<math>s^{\beta}\Delta\theta_{st}</math>，或者最小化<math>s^{a}\theta_{st}^{1-a}</math>，其中<math>a=\beta/(1+\beta)</math>。这样，流行性和相似性之间就构成了竞争的关系。
于是，这就相当于新节点要最小化<math>s^{\beta}\Delta\theta_{st}</math>，或者最小化<math>s^{a}\theta_{st}^{1-a}</math>，其中<math>a=\beta/(1+\beta)</math>。这样，流行性和相似性之间就构成了竞争的关系。
===改进模型2：软化链接===
===改进模型2：软化链接===
同样地，在这个生长模型中，链接也是硬性的每次新建m个链接，而且严格按照最近邻原则。作者同样考虑了软化链接的情况。即假设s与t两个节点以以下的概率发生链接：
同样地，在这个生长模型中，链接也是硬性的每次新建m个链接，而且严格按照最近邻原则。作者同样考虑了软化链接的情况。即假设s与t两个节点以以下的概率发生链接：
<math>
:<math>
p(x_{st})=\frac{1}{1+\exp(x_{st}-R_t)/T}
p(x_{st})=\frac{1}{1+\exp(x_{st}-R_t)/T}
</math>
</math>
当T=0的时候，就变成了经典的双曲空间上的随机几何图。而当T趋于无穷大的时候，该模型就变为欧氏空间的经典随机几何图生长模型。通过改变不同的参数，该模型还能转化为经典的[[随机网络]]、[[BA网络模型]]、[[适应度模型]]等等。
当T=0的时候，就变成了经典的双曲空间上的随机几何图。而当T趋于无穷大的时候，该模型就变为欧氏空间的经典随机几何图生长模型。通过改变不同的参数，该模型还能转化为经典的[[随机网络]]、[[BA网络模型]]、[[适应度模型]]等等。
===网络的性质===
===网络的性质===
下面，我们可以计算这个网络生长模型是否也具有偏好依附效应，也就是计算新加点与任意的s点相连接的概率：
下面，我们可以计算这个网络生长模型是否也具有偏好依附效应，也就是计算新加点与任意的s点相连接的概率：
<math>
:<math>
\Pi(r_s(t))=m\frac{(s/t)^{-\beta}}{\int_1^t(i/t)^{-\beta}di}
\Pi(r_s(t))=m\frac{(s/t)^{-\beta}}{\int_1^t(i/t)^{-\beta}di}
</math>
</math>
它表达的是一个在s时刻建立的节点吸引新节点的概率是正比于(s/t)的β方的。近一步，将这个结论与[[偏好依附]]模型比较就会发现，它们在数学形式上是一样的。这就促使我们近一步推想后续的推导过程也类似于偏好依附模型。其中度为k的节点吸引到新点的概率为：
它表达的是一个在s时刻建立的节点吸引新节点的概率是正比于(s/t)的β方的。近一步，将这个结论与[[偏好依附]]模型比较就会发现，它们在数学形式上是一样的。这就促使我们近一步推想后续的推导过程也类似于偏好依附模型。其中度为k的节点吸引到新点的概率为：
<math>
:<math>
\Pi(k)\propto k+m(\frac{1}{\beta}-1)
\Pi(k)\propto k+m(\frac{1}{\beta}-1)
</math>
</math>
近一步推导可以得出结论，无论是原始模型、流行度衰退模型，还是软化链接模型，它们的偏好依附形式都一样。而由偏好依附概率，我们就可以推出网络最后的的度分布形式为：
近一步推导可以得出结论，无论是原始模型、流行度衰退模型，还是软化链接模型，它们的偏好依附形式都一样。而由偏好依附概率，我们就可以推出网络最后的的度分布形式为：
<math>
:<math>
P(k)\sim k^{-\gamma}
P(k)\sim k^{-\gamma}
</math>
</math>
[[File:双面.gif|300px|缩略图|右|双曲空间的可视化]]
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===集智相关课程===
====[http://wiki.swarma.net/index.php/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%A9%BA%E9%97%B4%E6%A8%A1%E5%9E%8B 复杂的网络与优雅的几何]====
:本课程沿着几何的线路重新梳理复杂网络，包括ER随机网、小世界网络、无标度网络，网络的分形特征等。之后，重点讲述如何利用真实的网络数据来重构系统的空间几何特征。
===相关文章===
====[http://arxiv.org/abs/1812.03002 Scale-free network clustering in hyperbolic and other random graphs 双曲和其他随机图的无标度网络聚类]====
:具有幂律度的随机图可以将无标度网络建模为具有强度异质性的稀疏拓扑。对这种随机图的数学分析证明成功地解释了无弹性网络属性，如弹性，导航性和小距离。引入一个变分原理来解释顶点如何倾向于在三角形中聚类作为其度数的函数。将变分原理应用于双曲线模型，该模型很快成为具有潜在几何和聚类的无标度网络的模型。本文证明了双曲线模型中的聚类是非消失和自平均的，因此单个随机图样本在大网络限制中是一个很好的表示。
====[https://hazyresearch.github.io/hyperE/ HyperE: Hyperbolic Embeddings for Entities 双曲空间中的网络、单词及其知识图谱]====
:康奈尔大学计算机科学系教授Chris De Sa 与斯坦福大学计算机科学系博士生Albert Gu 携手构建出高效的嵌入算法——使用双曲线组合结构嵌入算法，以更低的维度更好地嵌入文本、知识图谱等非结构化的数据。
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