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==闭环传递函数==

==闭环传递函数==

系统的输出 ''y(t)''通过传感器测量''F''反馈给参考值''r(t)''进行比较。然后，控制器''C''利用参考和输出之间的误差''e'' (差)来改变输入''u''到控制 ''P''下的系统。 如图所示。这种控制器是一种闭环控制器或反馈控制器。

系统的输出 <math>y(t)</math> 通过传感器测量值 <math>F</math> 反馈给参考值 <math>r(t)</math> 进行比较。然后，控制器 <math>C</math> 利用参考和输出之间的误差 <math>e</math> （差值）来改变输入 <math>u</math> 到受控系统 <math>P</math> 。 如图所示。这种控制器是一种闭环控制器或反馈控制器。

[[File:simple feedback control loop2.svg|center|一个简单的闭环回路框图]]

[[File:simple feedback control loop2.svg|center|一个简单的闭环回路框图]]

这被称为单输入单输出 SISO 控制系统; 另一种常见的控制系统为 MIMO 即多输入多输出系统，具有多个输入/输出。在这种情况下，变量通过向量表示，而不是简单的标量值。对于一些分布参数系统，向量可能是无限维的(典型的函数)。

上图是一种单输入单输出 (SISO) 控制系统; 另一种常见的控制系统为多输入多输出系统 (MIMO) ，具有多个输入/输出。在这种情况下，变量通过向量表示，而不是简单的标量值。对于一些分布参数系统，向量可能是无限维的(通常为函数)。

如果我们假设控制器 ''C''、被控对象''P''和传感器  ''F''是[[线性时不变]] LMI 的(即，它们的传递函数 ''C(s)''、''P(s)''和 ''F(s)'' 的元素不依赖于时间) ，那么上述系统可以用拉普拉斯 Laplace 变换来分析。这就产生了以下关系:

如果我们假设控制器 <math>C</math>、受控对象 <math>P</math> 和传感器  <math>F</math> 是[[线性时不变 (LMI) ]]的（也即它们的传递函数 <math>C(s)</math>、<math>P(s)</math> 和 <math>F(s)</math> 不依赖于时间），那么上述系统可以用拉普拉斯变换来分析。这就产生了以下关系:

: <math>Y(s) = P(s) U(s)</math>

: <math>Y(s) = P(s) U(s)</math>

: <math>E(s) = R(s) - F(s)Y(s).</math>

: <math>E(s) = R(s) - F(s)Y(s).</math>

用给定的 ''R''(''s'') 解出''Y''(''s'')。

用给定的 <math>R(s)</math> 解出 <math>Y(s)</math>。

: <math>Y(s) = \left( \frac{P(s)C(s)}{1 + P(s)C(s)F(s)} \right) R(s) = H(s)R(s).</math>

: <math>Y(s) = \left( \frac{P(s)C(s)}{1 + P(s)C(s)F(s)} \right) R(s) = H(s)R(s).</math>

表达式<math>H(s) = \frac{P(s)C(s)}{1 + F(s)P(s)C(s)}</math>称为系统的闭回路传递函数。分子是从''r''到''y''的正向(开环)增益，分母是1加上反馈回路中的增益，即所谓的回路增益。如果<math>|P(s)C(s)| \gg 1</math>，也就是说，它有一个很大的范数，每个值都是''s''，且<math>|F(s)| \approx 1</math>，那么''Y(s)''大约等于''R(s)''，且输出紧密跟踪参考输入。

表达式 <math>H(s) = \frac{P(s)C(s)}{1 + F(s)P(s)C(s)}</math> 称为系统的闭路传递函数。分子是从 <math>r</math> 到 <math>y</math> 的正向（开环）增益，分母是1加上反馈回路中的增益，即所谓的回路增益。如果<math>|P(s)C(s)| \gg 1</math>，也即对于每个 <math>s</math> 它都有很大的范数，且 <math>|F(s)| \approx 1</math>，那么 <math>Y(s)</math> 大约等于 <math>R(s)</math>，也即输出紧密跟踪参考输入。

==PID 反馈控制==

==PID 反馈控制==