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第166行：
第166行： + − : <math>{ t } dU + frac { p }{ t } dV-sum { i = 1} ^ s frac { mu _ i }{ t } dN _ i </math > − 表示系统熵的变化 <math>dS</math> 是强度量温度<math>T</math>、压强<math>p</math>、第i个化学势<math>\mu_i</math>以及广延量能量<math>U</math>、体积<math>V</math>、第i个粒子数目<math>N_i</math>的微分的函数。+ + + + − 跟随昂萨格(1931，I)，<ref name="Onsager 1931 I"/>让我们扩展到热力学非平衡系统。作为基础，我们需要定义宏观广延量 <math>U</math>、<math>V</math>、<math>N_i</math>和宏观强度量<math>T</math>, <math>p</math> 、 <math>\mu_i</math>的局部版本。 + + − 在稳态条件下，这样的力和对应的流密度根据定义是不随时间变化的，就像系统的局部定义的熵和熵产生率一样。值得注意的是，根据普利高津和其他人的研究，当一个开放系统处于允许它达到稳定的热力学非平衡状态的条件下时，它会自我组织以使局部定义的总熵产生最小化。下文将进一步讨论这个问题。+ + + + − 在瑞利(1873)<ref name="Rayleigh 1873"/> Onsager (1931, I)<ref name="Onsager 1931 I"/>第三部分之后，昂萨格(1931，i)指出，在流(<math>J_i</math>)较小且热力学力(<math>F_i</math>)变化缓慢的情况下，熵的产生率<math>(\sigma)</math>与流呈线性关系:+ + + + + + + + + +
→流和力
==流和力==
==流和力==
经典平衡态热力学的基本关系为<ref name="W. Greiner et. al. 1997">W. Greiner, L. Neise, and H. Stöcker (1997), ''Thermodynamics and Statistical Mechanics (Classical Theoretical Physics)'' ,Springer-Verlag, New York, '''P85, 91, 101,108,116'''.</ref>
经典平衡态热力学的基本关系为<ref name="W. Greiner et. al. 1997">W. Greiner, L. Neise, and H. Stöcker (1997), ''Thermodynamics and Statistical Mechanics (Classical Theoretical Physics)'' ,Springer-Verlag, New York, '''P85, 91, 101,108,116'''.</ref>
: <math>dS=\frac{1}{T}dU+\frac{p}{T}dV-\sum_{i=1}^s\frac{\mu_i}{T}dN_i</math>
: <math>dS=\frac{1}{T}dU+\frac{p}{T}dV-\sum_{i=1}^s\frac{\mu_i}{T}dN_i</math>
<math>{t}dU + frac{p}{t}dV-sum{i=1}^s frac{mu _ i}{t}dN_i</math>表示系统熵的变化，<math>dS</math> 是强度量温度<math>T</math>、压强<math>p</math>、第i个化学势<math>\mu_i</math>以及广延量能量<math>U</math>、体积<math>V</math>、第i个粒子数目<math>N_i</math>的微分的函数。
跟随拉斯·昂萨格 Lars Onsager，<ref name="Onsager 1931 I"/>让我们扩展到热力学非平衡系统。作为基础，我们需要定义宏观广延量 <math>U</math>、<math>V</math>、<math>N_i</math>和宏观强度量<math>T</math>, <math>p</math> 、 <math>\mu_i</math>的局部版本。
对于经典的非平衡研究，我们将考虑一些新定义的局部宏观强度量。我们可以在适当的条件下，通过局部定义基本局部宏观量的梯度和流密度，导出这些新的变量。
对于经典的非平衡研究，我们将考虑一些新定义的局部宏观强度量。我们可以在适当的条件下，通过局部定义基本局部宏观量的梯度和流密度，导出这些新的变量。
这种局部定义的宏观强度量的梯度被称为“热力学力”。它们“驱动”流密度，也许常被误称为“流” ，这是双重的力。这些量在关于昂萨格倒易关系的文章中有定义。
这种局部定义的宏观强度量的梯度被称为“热力学力”。它们“驱动”流密度，也许常被误称为“流” ，这是双重的力。这些量在关于昂萨格倒易关系的文章中有定义。
建立这种力和流密度之间的关系是一个统计力学的问题。流密度(<math>J_i</math>)可能是耦合的。昂萨格倒易关系的文章考虑了稳定的近定态热力学非平衡态，其中力和流密度具有线性动力学性质。
建立这种力和流密度之间的关系是一个统计力学的问题。流密度(<math>J_i</math>)可能是耦合的。昂萨格倒易关系的文章考虑了稳定的近定态热力学非平衡态，其中力和流密度具有线性动力学性质。
在稳态条件下，这样的力和对应的流密度根据定义是不随时间变化的，就像系统的局部定义的熵和熵产生率一样。值得注意的是，根据Prigogine和其他人的研究，当一个开放系统处于允许它达到稳定的热力学非平衡状态的条件下时，它会自我组织以使局部定义的总熵产生最小化。下文将进一步讨论这个问题。
人们想要进一步分析非静态局部量的表面和体积积分的行为，这些积分是宏观的流和产生率。一般来说，这些积分的动力学用线性方程不能充分描述，尽管在特殊情况下它们可以这样描述。
人们想要进一步分析非静态局部量的表面和体积积分的行为，这些积分是宏观的流和产生率。一般来说，这些积分的动力学用线性方程不能充分描述，尽管在特殊情况下它们可以这样描述。
===昂萨格倒易关系===
===昂萨格倒易关系===
在约翰·威廉·斯特拉特 John William Strutt（尊称瑞利男爵三世 Third Baron Rayleigh）<ref name="Rayleigh 1873"/>，Onsager指出，在流(<math>J_i</math>)较小且热力学力(<math>F_i</math>)变化缓慢的情况下，熵的产生率<math>(\sigma)</math>与流呈线性关系<ref name="Onsager 1931 I"/>:
:<math>\sigma = \sum_i J_i\frac{\partial F_i}{\partial x_i} </math>
:<math>\sigma = \sum_i J_i\frac{\partial F_i}{\partial x_i} </math>
并且流与力的梯度有关，通过一个系数矩阵参数化，通常表示为:
并且流与力的梯度有关，通过一个系数矩阵参数化，通常表示为:
:<math>J_i = \sum_{j} L_{ij} \frac{\partial F_j}{\partial x_j} </math>
:<math>J_i = \sum_{j} L_{ij} \frac{\partial F_j}{\partial x_j} </math>
由此可见:
由此可见:
:<math>\sigma = \sum_{i,j} L_{ij} \frac{\partial F_i}{\partial x_i}\frac{\partial F_j}{\partial x_j} </math>
:<math>\sigma = \sum_{i,j} L_{ij} \frac{\partial F_i}{\partial x_i}\frac{\partial F_j}{\partial x_j} </math>
热力学第二定律要求矩阵<math>L</math>是正定的。统计力学动力学的微观可逆性暗示了矩阵是对称的。这个事实被称为昂萨格倒易关系。
热力学第二定律要求矩阵<math>L</math>是正定的。统计力学动力学的微观可逆性暗示了矩阵是对称的。这个事实被称为昂萨格倒易关系。
上述熵产生率方程的推广由 Pokrovskii 给出。<ref name="dx.doi.org"/>
上述熵产生率方程的推广由 Pokrovskii 给出。<ref name="dx.doi.org"/>
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==推测非平衡过程的极值原理==
==推测非平衡过程的极值原理==