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第1行： − + + + + − − − For certain classes of ODEs, the existence of Lyapunov functions is a necessary and sufficient condition for stability. Whereas there is no general technique for constructing Lyapunov functions for ODEs, in many specific cases the construction of Lyapunov functions is known. For instance, [[quadratic function|quadratic]] functions suffice for systems with one state; the solution of a particular [[linear matrix inequality]] provides Lyapunov functions for linear systems; and [[Conservation law (physics)|conservation law]]s can often be used to construct Lyapunov functions for [[physical system]]s. − − For certain classes of ODEs, the existence of Lyapunov functions is a necessary and sufficient condition for stability. Whereas there is no general technique for constructing Lyapunov functions for ODEs, in many specific cases the construction of Lyapunov functions is known. For instance, quadratic functions suffice for systems with one state; the solution of a particular linear matrix inequality provides Lyapunov functions for linear systems; and conservation laws can often be used to construct Lyapunov functions for physical systems. 第20行：
第18行： − − with an equilibrium point at <math>y=0</math> is a [[scalar function]] <math>V:\R^n\to\R</math> that is continuous, has continuous first derivatives, is locally positive-definite, and for which <math>-\nabla{V}\cdot g</math> is also locally positive definite. The condition that <math>-\nabla{V}\cdot g</math> is locally positive definite is sometimes stated as <math>\nabla{V}\cdot g</math> is locally negative definite. − − with an equilibrium point at A is a scalar function <math>V:\R^n\to\R</math> that is continuous, has continuous first derivatives, is locally positive-definite, and for which B is also locally positive definite. The condition that C is locally positive definite is sometimes stated as D is locally negative definite. − + 第85行：
第79行： − for some neighborhood <math>\mathcal{B}</math> of origin then the equilibrium is proven to be locally asymptotically stable. − − for some neighborhood <math>\mathcal{B}</math> of origin then the equilibrium is proven to be locally asymptotically stable. 第94行：
第85行： − − If <math>V</math> is a Lyapunov function, then the equilibrium is [[Stability theory|Lyapunov stable]]. − − If <math>V</math> is a Lyapunov function, then the equilibrium is Lyapunov stable. − − − The converse is also true, and was proved by [[José Luis Massera|J. L. Massera]]. − − The converse is also true, and was proved by J. L. Massera. 第111行：
第93行： − + − If the Lyapunov-candidate-function <math>V</math> is globally positive definite, [[Radially unbounded function|radially unbounded]], the equilibrium isolated and the time derivative of the Lyapunov-candidate-function is globally negative definite: − If the Lyapunov-candidate-function <math>V</math> is globally positive definite, radially unbounded, the equilibrium isolated and the time derivative of the Lyapunov-candidate-function is globally negative definite:+ − 如果李雅普诺夫候选函数数学<math>V</math> 是全局正定、径向无界的，平衡点是孤立的并且李雅普诺夫候选函数的时间导数是全局负定的： − + − <math>\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \R ^n\setminus\{0\},</math> − − 对于所有的 x 在 r ^ n setminus 0，/ math − − then the equilibrium is proven to be [[Stability theory|globally asymptotically stable]]. − − then the equilibrium is proven to be globally asymptotically stable. + − The Lyapunov-candidate function <math>V(x)</math> is radially unbounded if − − The Lyapunov-candidate function <math>V(x)</math> is radially unbounded if − − 李雅普诺夫候选函数<math>V(x)</math>是径向无界的,如果满足: − <math>\| x \| \to \infty \Rightarrow V(x) \to \infty. </math> − − 数学下划线 v (x)下划线 v (x)。数学 − − (This is also referred to as norm-coercivity.) − − (This is also referred to as norm-coercivity.) − + − ==Example 例子== − Consider the following differential equation with solution <math>x</math> on <math>\R </math>:+ − − Consider the following differential equation with solution <math>x</math> on <math>\R </math>: − − − <math>\dot x = -x.</math> − − Math dot x-x / math − 第173行：
第126行： − + − So let <math>V(x)=x^2</math> on <math>\R </math>. Then, − − So let <math>V(x)=x^2</math> on <math>\R </math>. Then, − − <math>\dot V(x) = V'(x) \dot x = 2x\cdot (-x) = -2x^2< 0.</math> − + + − This correctly shows that the above differential equation, <math>x,</math> is asymptotically stable about the origin. Note that using the same Lyapunov candidate one can show that the equilibrium is also globally asymptotically stable.+ − This correctly shows that the above differential equation, <math>x,</math> is asymptotically stable about the origin. Note that using the same Lyapunov candidate one can show that the equilibrium is also globally asymptotically stable.+ − 这正表明上面的微分方程 <math>x</math>关于原点是渐近稳定的。注意，使用相同的李雅普诺夫候选函数可以证明该平衡点也是全局渐近稳定的。+ − ==See also 参见==+ − + − + − * [[Control-Lyapunov function 控制李雅普诺夫函数]]+ − − * [[Chetaev function 切塔耶夫函数]] − − * [[Foster's theorem 福斯特定律]] − − * [[Lyapunov optimization 李雅普诺夫优化]] − − 第225行：
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第172行： − + − − Category:Stability theory − − 范畴: 稳定性理论 − − <noinclude> − − <small>This page was moved from [[wikipedia:en:Lyapunov function]]. Its edit history can be viewed at [[李雅普诺夫函数/edithistory]]</small></noinclude> − − [[Category:待整理页面]]
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|keywords=李雅普诺夫函数,常微分方程,平衡点,稳定性
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在常微分方程理论中，'''李雅普诺夫函数 Lyapunov functions'''是可用来证明常微分方程'''平衡点 equilibrium point'''稳定性的'''标量函数 scalar function'''。李雅普诺夫函数是以俄罗斯数学家[[亚历山大·李亚普诺夫 Aleksandr Lyapunov]]的名字命名，也称为'''稳定性的李雅普诺夫第二方法'''。对于'''动态系统 dynamical system'''的[[稳定性理论 stability theory]]和[[控制论 control theory]]十分重要。在一般状态空间[[马尔可夫链 Markov chains]]理论中也出现了类似的概念，通常称为'''Foster-Lyapunov 函数'''。
在常微分方程理论中，'''李雅普诺夫函数 Lyapunov functions'''是可用来证明常微分方程'''平衡点 equilibrium point'''稳定性的'''标量函数 scalar function'''。李雅普诺夫函数是以俄罗斯数学家[[亚历山大·李亚普诺夫 Aleksandr Lyapunov]]的名字命名，也称为'''稳定性的李雅普诺夫第二方法'''。对于'''动态系统 dynamical system'''的[[稳定性理论 stability theory]]和[[控制论 control theory]]十分重要。在一般状态空间[[马尔可夫链 Markov chains]]理论中也出现了类似的概念，通常称为'''Foster-Lyapunov 函数'''。
对于某些类型的常微分方程，李雅普诺夫函数的存在性是其稳定性的充要条件。尽管对于常微分方程没有构造李雅普诺夫函数的一般方法，但在许多特定情况下，李雅普诺夫函数的构造是已知的。例如，二次函数满足一个状态的系统的李雅普诺夫函数；一个特定线性矩阵不等式的解为线性系统提供了李雅普诺夫函数；'''<font color="#ff8000">守恒律 Conservation law</font>''通常可以用来构造物理系统的李雅普诺夫函数。
对于某些类型的常微分方程，李雅普诺夫函数的存在性是其稳定性的充要条件。尽管对于常微分方程没有构造李雅普诺夫函数的一般方法，但在许多特定情况下，李雅普诺夫函数的构造是已知的。例如，二次函数满足一个状态的系统的李雅普诺夫函数；一个特定线性矩阵不等式的解为线性系统提供了李雅普诺夫函数；'''<font color="#ff8000">守恒律 Conservation law</font>''通常可以用来构造物理系统的李雅普诺夫函数。
:<math>\begin{cases} g : \R ^n \to \R ^n \\ \dot{y} = g(y) \end{cases}</math>
:<math>\begin{cases} g : \R ^n \to \R ^n \\ \dot{y} = g(y) \end{cases}</math>
<math>y=0</math> 是它的一个平衡点，其李雅普诺夫函数是一个标量函数：<math>V:\R^n\to\R</math>，该函数连续、具有连续的一阶导数且局部正定，<math>-\nabla{V}\cdot g</math>也是局部正定的。有时把 <math>-\nabla{V}\cdot g</math> 局部正定的条件表述为 <math>\nabla{V}\cdot g</math> 是局部负定的。
<math>y=0</math> 是它的一个平衡点，其李雅普诺夫函数是一个标量函数：<math>V:\R^n\to\R</math>，该函数连续、具有连续的一阶导数且局部正定，<math>-\nabla{V}\cdot g</math>也是局部正定的。有时把 <math>-\nabla{V}\cdot g</math> 局部正定的条件表述为 <math>\nabla{V}\cdot g</math> 是局部负定的。
===Further discussion of the terms arising in the definition 定义中出现的术语的进一步讨论===
===相关术语===
李雅普诺夫函数出现在动力系统平衡点的研究中。在 <math>\R^n,</math> 空间中，任意一个自治动力系统都可以被写成：
李雅普诺夫函数出现在动力系统平衡点的研究中。在 <math>\R^n,</math> 空间中，任意一个自治动力系统都可以被写成：
:<math>\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}</math>
:<math>\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}</math>
对于原点的某些邻域<math>\mathcal{B}</math>，可以证明平衡点是局部渐近稳定的。
对于原点的某些邻域<math>\mathcal{B}</math>，可以证明平衡点是局部渐近稳定的。
=== 稳定平衡点 Stable equilibrium===
=== 稳定平衡点 Stable equilibrium===
如果<math>V</math>是李雅普诺夫函数，那么平衡点是李雅普诺夫稳定的。
如果<math>V</math>是李雅普诺夫函数，那么平衡点是李雅普诺夫稳定的。
反之亦然，J. L. Massera证明了这一点。
反之亦然，J. L. Massera证明了这一点。
===Globally asymptotically stable equilibrium 全局渐进稳定平衡点===
===全局渐进稳定平衡点 Globally asymptotically stable equilibrium ===
如果李雅普诺夫候选函数<math>V</math> 是全局正定、径向无界的，平衡点是孤立的，且李雅普诺夫候选函数的时间导数是全局负定的：
:<math>\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \R ^n\setminus\{0\},</math>
:<math>\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \R ^n\setminus\{0\}，</math>
可以证明平衡点是全局渐近稳定的。
可以证明平衡点是全局渐近稳定的。
如果满足：
:<math>\| x \| \to \infty \Rightarrow V(x) \to \infty. </math>
:<math>\| x \| \to \infty \Rightarrow V(x) \to \infty. </math>
(这也被称为范数强制。)
李雅普诺夫候选函数<math>V(x)</math>是径向无界的。(这也被称为'''范数强制'''。)
==例子==
考虑下面具有<math>\R </math>上的解<math>x</math>的微分方程：
考虑下面具有<math>\R </math>上的解<math>x</math>的微分方程：
:<math>\dot x = -x.</math>
:<math>\dot x = -x.</math>
Considering that <math>x^2</math> is always positive around the origin it is a natural candidate to be a Lyapunov function to help us study <math>x</math>.
Considering that <math>x^2</math> is always positive around the origin it is a natural candidate to be a Lyapunov function to help us study <math>x</math>.
考虑到<math>x^2</math>在原点附近总是正的，这是一个帮助我们研究<math>x</math>性质的自然的李雅普诺夫候选函数。
考虑到<math>x^2</math>在原点附近始终为正，因此自然而然地成为帮助我们研究<math>x</math>的李雅普诺夫候选函数。
令<math>V(x)=x^2</math>在<math>\R </math>上。然后有
令<math>V(x)=x^2</math>在<math>\R </math>上。然后有
:<math>\dot V(x) = V'(x) \dot x = 2x\cdot (-x) = -2x^2< 0.</math>
:<math>\dot V(x) = V'(x) \dot x = 2x\cdot (-x) = -2x^2< 0.</math>
math dot v (x) v’(x) dot x2x cdot (- x-rrb--2 x ^ 20. / math
这正表明上面的微分方程 <math>x</math>关于原点是渐近稳定的。注意，使用相同的李雅普诺夫候选函数可以证明该平衡点也是全局渐近稳定的。
==参见==
* [[李雅普诺夫稳定性 Lyapunov stability]]
* [[常微分方程 Ordinary differential equations]]
* [[控制李雅普诺夫函数 Control-Lyapunov function]]
* [[切塔耶夫函数 Chetaev function]]
* [[Lyapunov stability 李雅普诺夫稳定性]]
* [[福斯特定律 Foster's theorem]]
* [[Ordinary differential equations 常微分方程]]
* [[李雅普诺夫优化 Lyapunov optimization]]
==参考文献==
==References==
{{Reflist}}
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==External links==
==其他链接==
* [https://web.archive.org/web/20110926230621/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/ODELF1 Example] of determining the stability of the equilibrium solution of a system of ODEs with a Lyapunov function
* [https://web.archive.org/web/20110926230621/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/ODELF1 Example] of determining the stability of the equilibrium solution of a system of ODEs with a Lyapunov function
[[Category:Stability theory]]
[[Category:稳定性理论]]