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从一组 n 个孤立的顶点开始，在它们之间随机添加连续的边，这样就得到一个随机图。这个领域的研究的目的是确定在什么阶段图形的特殊性质可能出现<ref name = "Random Graphs2">[[Béla Bollobás]], ''Random Graphs'', 1985, Academic Press Inc., London Ltd.</ref>。不同的随机图模型在图上产生不同的概率分布。最常见的研究是由埃德加 · 吉尔伯特提出的，表示<math>G(n,M)</math> ，其中每个可能的边独立出现的概率为<math>0 <p< 1</math>。获得任意一个 m 边随机图的概率是 <math>p^m (1-p)^(N-m)</math > ，记号是 <math>N=\tbinom{n}{2}</math > 。<ref name = "Random Graphs3">[[Béla Bollobás]], ''Probabilistic Combinatorics and Its Applications'', 1991, Providence, RI: American Mathematical Society.</ref>

从一组 n 个孤立的顶点开始，在它们之间随机添加连续的边，这样就得到一个随机图。这个领域的研究的目的是确定在什么阶段图形的特殊性质可能出现<ref name = "Random Graphs2">[[Béla Bollobás]], ''Random Graphs'', 1985, Academic Press Inc., London Ltd.</ref>。不同的随机图模型在图上产生不同的概率分布。最常见的研究是由埃德加 · 吉尔伯特提出的，表示<math>G(n,M)</math> ，其中每个可能的边独立出现的概率为<math>0 <p< 1</math>。获得任意一个 m 边随机图的概率是 <math>p^m (1-p)^(N-m)</math > ，记号是 <math>N=\tbinom{n}{2}</math > 。<ref name = "Random Graphs3">[[Béla Bollobás]], ''Probabilistic Combinatorics and Its Applications'', 1991, Providence, RI: American Mathematical Society.</ref>

一个相关性强的模型，Erdős-Rényi模型表示<math>G(n,M)</math> ，给每一个正好有''M''条边的图赋予等概率。当<math>0≤ M ≤ N</math>时，<math>G(n,M)</math>具有 <math>\tbinom{N}{M}</math> 元素，且每个元素都以概率<math>1/\tbinom{N}{M}</math> 出现。后一个模型可以看作是随机图过程<math>\tilde{G}_n</math>某个特定时间(''M'')的一个快照，这个时间(''M'')是从 <math>n</math> 个顶点开始没有边的一个随机过程，每个步骤均匀地从缺失的边集中选择一个新的边。

一个相关性强的模型，Erdős-Rényi模型表示<math>G(n,M)</math> ，给每一个正好有''M''条边的图赋予等概率。当<math>0≤ M ≤ N</math>时，<math>G(n,M)</math>具有 <math>\tbinom{N}{M}</math> 元素，且每个元素都以概率<math>1/\tbinom{N}{M}</math> 出现。后一个模型可以看作是随机图过程<math>\tilde{G}_n</math>某个特定时间（'' M ''）的一个快照，这个时间（'' M ''）是从 <math>n</math> 个顶点开始没有边的一个随机过程，每个步骤均匀地从缺失的边集中选择一个新的边。

如果我们从一个无限的顶点集合开始，然后再次让每个可能的边以概率<math>0<p< 1</math>独立出现，那么我们得到一个对象 <math>G</math> 称为'''无限随机图 Infinite Graph'''。除了在 <math>p = 0</math>或1的平凡情况下，这样的 <math>G</math> 在大多数情况下肯定具有以下性质:

如果我们从一个无限的顶点集合开始，然后再次让每个可能的边以概率<math>0<p< 1</math>独立出现，那么我们得到一个对象 <math>G</math> 称为'''无限随机图 Infinite Graph'''。除了在 <math>p = 0</math>或1的平凡情况下，这样的 <math>G</math> 在大多数情况下肯定具有以下性质:

随机图理论研究随机图的典型性质，即从特定分布中抽取的图的高概率性质。例如，我们可以要求一个给定的值 <math>n</math> 和 <math>p</math>来表示<math>G(n，p)</math> 连接的概率。在研究这些问题时，研究人员往往集中在随机图的趋近行为上——各种概率收敛到的值变得非常大。'''[[渗流理论]] [[Percolation Theory]]'''刻画了随机图，特别是无穷大图的'''连通性 Connectedness'''。

随机图理论研究随机图的典型性质，即从特定分布中抽取的图的高概率性质。例如，我们可以要求一个给定的值 <math>n</math> 和 <math>p</math>来表示<math>G(n，p)</math> 连接的概率。在研究这些问题时，研究人员往往集中在随机图的趋近行为上——各种概率收敛到的值变得非常大。'''[[渗流理论]] [[Percolation Theory]]'''刻画了随机图，特别是无穷大图的'''连通性 Connectedness'''。

'''[[渗流]] [[Percolation]]''' 与图形(也称为网络)的'''鲁棒性 Robustness'''有关。给定一个随机图形，其中的节点是 <math>n</math> 和一个平均度 <math>\langle k\rangle</math> 。接下来我们随机移除一部分概率为 <math>1-p</math> 的节点，只留下一部分概率为 <math>p</math> 的节点。存在一个'''临界渗透阈值 Critical Percolation Threshold'''<math>p_c=\tfrac{1}{\langle k\rangle}</math>，当低于这个临界渗透阈值，网络变得支离破碎，而高于临界渗透阈值 <math>p_c</math> 的网络则存在一个巨大的'''连接元件 Connected Component'''(图论)<ref>{{cite book  |title=Networks: An Introduction |last= Newman |first=M. E. J. |year= 2010 |publisher=  Oxford}}</ref><ref>{{cite book |title= Complex Networks: Structure, Robustness and Function |authors= Reuven Cohen and [[Shlomo Havlin]] |year= 2010 |url= http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Havlin%20books_com_net.php |publisher= Cambridge University Press}}</ref>。

'''[[渗流]] [[Percolation]]''' 与图形（也称为网络）的'''鲁棒性 Robustness'''有关。给定一个随机图形，其中的节点是 <math>n</math> 和一个平均度 <math>\langle k\rangle</math> 。接下来我们随机移除一部分概率为 <math>1-p</math> 的节点，只留下一部分概率为 <math>p</math> 的节点。存在一个'''临界渗透阈值 Critical Percolation Threshold'''<math>p_c=\tfrac{1}{\langle k\rangle}</math>，当低于这个临界渗透阈值，网络变得支离破碎，而高于临界渗透阈值 <math>p_c</math> 的网络则存在一个巨大的'''连接元件 Connected Component'''（图论）<ref>{{cite book  |title=Networks: An Introduction |last= Newman |first=M. E. J. |year= 2010 |publisher=  Oxford}}</ref><ref>{{cite book |title= Complex Networks: Structure, Robustness and Function |authors= Reuven Cohen and [[Shlomo Havlin]] |year= 2010 |url= http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Havlin%20books_com_net.php |publisher= Cambridge University Press}}</ref>。

'''局部渗滤 Localized Percolation'''指的是去除一个节点的邻居、次近邻等。直到网络中概率为 <math>1-p</math> 的一部分节点被移除。结果表明，对于服从[[泊松分布]]的随机图，其度分布为 <math>p_c=\tfrac{1}{\langle k\rangle}</math> ，和随机删除是一样的。对于其他类型的度分布<math>p_c</math>，局部攻击和随机攻击是不同的。<ref name="ShaoHuang2015">{{cite journal|last1=Shao|first1=Shuai|last2=Huang|first2=Xuqing|last3=Stanley|first3=H Eugene|last4=Havlin|first4=Shlomo|title=Percolation of localized attack on complex networks|journal=New Journal of Physics|volume=17|issue=2|year=2015|pages=023049|issn=1367-2630|doi=10.1088/1367-2630/17/2/023049|arxiv=1412.3124|bibcode=2015NJPh...17b3049S}}</ref>

'''局部渗滤 Localized Percolation'''指的是去除一个节点的邻居、次近邻等。直到网络中概率为 <math>1-p</math> 的一部分节点被移除。结果表明，对于服从[[泊松分布]]的随机图，其度分布为 <math>p_c=\tfrac{1}{\langle k\rangle}</math> ，和随机删除是一样的。对于其他类型的度分布<math>p_c</math>，局部攻击和随机攻击是不同的。<ref name="ShaoHuang2015">{{cite journal|last1=Shao|first1=Shuai|last2=Huang|first2=Xuqing|last3=Stanley|first3=H Eugene|last4=Havlin|first4=Shlomo|title=Percolation of localized attack on complex networks|journal=New Journal of Physics|volume=17|issue=2|year=2015|pages=023049|issn=1367-2630|doi=10.1088/1367-2630/17/2/023049|arxiv=1412.3124|bibcode=2015NJPh...17b3049S}}</ref>

对于某些常数 <math>c</math> ，几乎所有带有 <math>n</math> 顶点和至少 <math>cn\log(n)</math> 边的标记图都是 '''哈密尔顿环 Hamiltonian Cycle'''的。在概率趋于1的情况下，将最小度增加到2的特殊边会使图成为哈密尔顿图。

对于某些常数 <math>c</math> ，几乎所有带有 <math>n</math> 顶点和至少 <math>cn\log(n)</math> 边的标记图都是 '''哈密尔顿环 Hamiltonian Cycle'''的。在概率趋于1的情况下，将最小度增加到2的特殊边会使图成为哈密尔顿图。

在图变换下，随机图的性质可以改变或保持不变。例如，Mashaghi A.等人证明了将随机图转换为其 '''边-对偶图 Edge-Dual Graphs'''(或 '''线图 Liner Graph''')的变换会产生一个度分布几乎相同，但具有 '''度相关性 Degree Correlations''' 和显著更高的 '''[[聚类系数]] Clustering Coefficent'''的图的集合。<ref>{{cite journal|first1=A.|last1=Ramezanpour|first2=V.|last2=Karimipour|first3=A.|last3=Mashaghi|title=Generating correlated networks from uncorrelated ones|journal=Phys. Rev. E|volume=67|issue=46107|pages=046107|year=2003|doi=10.1103/PhysRevE.67.046107|pmid=12786436|bibcode=2003PhRvE..67d6107R|arxiv=cond-mat/0212469}}</ref>

在图变换下，随机图的性质可以改变或保持不变。例如，Mashaghi A.等人证明了将随机图转换为其 '''边-对偶图 Edge-Dual Graphs'''（或 '''线图 Liner Graph'''）的变换会产生一个度分布几乎相同，但具有 '''度相关性 Degree Correlations''' 和显著更高的 '''[[聚类系数]] Clustering Coefficent'''的图的集合。<ref>{{cite journal|first1=A.|last1=Ramezanpour|first2=V.|last2=Karimipour|first3=A.|last3=Mashaghi|title=Generating correlated networks from uncorrelated ones|journal=Phys. Rev. E|volume=67|issue=46107|pages=046107|year=2003|doi=10.1103/PhysRevE.67.046107|pmid=12786436|bibcode=2003PhRvE..67d6107R|arxiv=cond-mat/0212469}}</ref>

==着色==

==着色==

给定一个 ''n'' 阶随机图 ''G''，其顶点 ''V''(''G'') = {1，... ，''n'' } ，通过关于颜色数的'''[[贪婪算法]] Greedy Algorithm'''，可以用颜色1,2... (如果顶点1与顶点2不相邻，则顶点1与顶点2为染相同的颜色，否则染不同的颜色，以此类推。).

给定一个 ''n'' 阶随机图 ''G''，其顶点 ''V''(''G'') = {1，... ，''n'' } ，通过关于颜色数的'''[[贪婪算法]] Greedy Algorithm'''，可以用颜色1,2... （如果顶点1与顶点2不相邻，则顶点1与顶点2为染相同的颜色，否则染不同的颜色，以此类推。）

给定一个 ''q'' 颜色的随机图的真染色数，称为它的'''染色多项式 Chormatic Polynomial'''（到目前为止还没有确定的正式名称）。利用'''符号模式匹配算法 Algorithm Based On Symbolic Pattern Matching''' ，对参数为 ''n'' 、边数为 ''m'' 或连接概率为 ''p'' 的随机图的染色多项式零点的标度进行了实验研究。<ref name = "Chromatic Polynomials of Random Graphs">{{cite journal | last1 = Van Bussel | first1 = Frank | last2 = Ehrlich | first2 = Christoph | last3 = Fliegner | first3 = Denny | last4 = Stolzenberg | first4 = Sebastian | last5 = Timme | first5 = Marc | year = 2010 | title = Chromatic Polynomials of Random Graphs | url = | journal = J. Phys. A: Math. Theor. | volume = 43 | issue = 17| page = 175002 | doi = 10.1088/1751-8113/43/17/175002 | arxiv = 1709.06209 | bibcode = 2010JPhA...43q5002V }}</ref>

给定一个 ''q'' 颜色的随机图的真染色数，称为它的'''染色多项式 Chormatic Polynomial'''（到目前为止还没有确定的正式名称）。利用'''符号模式匹配算法 Algorithm Based On Symbolic Pattern Matching''' ，对参数为 ''n'' 、边数为 ''m'' 或连接概率为 ''p'' 的随机图的染色多项式零点的标度进行了实验研究。<ref name = "Chromatic Polynomials of Random Graphs">{{cite journal | last1 = Van Bussel | first1 = Frank | last2 = Ehrlich | first2 = Christoph | last3 = Fliegner | first3 = Denny | last4 = Stolzenberg | first4 = Sebastian | last5 = Timme | first5 = Marc | year = 2010 | title = Chromatic Polynomials of Random Graphs | url = | journal = J. Phys. A: Math. Theor. | volume = 43 | issue = 17| page = 175002 | doi = 10.1088/1751-8113/43/17/175002 | arxiv = 1709.06209 | bibcode = 2010JPhA...43q5002V }}</ref>

==历史==

==历史==

最早使用随机图模型的是海伦·霍尔·詹宁斯和雅各布·莫雷诺，他们在1938年提出了一个“偶然社会记录模型”(一个有向的 Erdős-Rényi 模型)<ref>{{cite journal |last1=Moreno |first1=Jacob L |last2=Jennings |first2=Helen Hall |title=Statistics of Social Configurations |journal=Sociometry |date=Jan 1938 |volume=1 |issue=3/4 |pages=342–374 |doi=10.2307/2785588 }}</ref> ，用来比较他们的网络数据中的回传链接的比例和随机模型。另一个被称为“'''随机网络 Random Net'''”的随机图模型应用是1951年 Solomonoff 和 Rapoport 使用的有向图模型，这些有向图具有固定的出度，并且随机选择附加到其他顶点。<ref>{{cite journal |last1=Solomonoff |first1=Ray |last2=Rapopst |first2=Anatol |title=Connectivity of random nets |journal=Bulletin of Mathematical Biophysics |date=June 1951 |volume=13 |issue=2 |pages=107–117 |doi=10.1007/BF02478357}}</ref>

最早使用随机图模型的是海伦·霍尔·詹宁斯和雅各布·莫雷诺，他们在1938年提出了一个“偶然社会记录模型”（一个有向的 Erdős-Rényi 模型）<ref>{{cite journal |last1=Moreno |first1=Jacob L |last2=Jennings |first2=Helen Hall |title=Statistics of Social Configurations |journal=Sociometry |date=Jan 1938 |volume=1 |issue=3/4 |pages=342–374 |doi=10.2307/2785588 }}</ref> ，用来比较他们的网络数据中的回传链接的比例和随机模型。另一个被称为“'''随机网络 Random Net'''”的随机图模型应用是1951年 Solomonoff 和 Rapoport 使用的有向图模型，这些有向图具有固定的出度，并且随机选择附加到其他顶点。<ref>{{cite journal |last1=Solomonoff |first1=Ray |last2=Rapopst |first2=Anatol |title=Connectivity of random nets |journal=Bulletin of Mathematical Biophysics |date=June 1951 |volume=13 |issue=2 |pages=107–117 |doi=10.1007/BF02478357}}</ref>

[[随机图]]的Erdős–Rényi 模型是由Paul Erdős和Alfréd Rényi于1959年发表的论文《随机图论》中首次提出的，Gilbert 在他的论文《随机图论》中独立定义了这一模型。<ref name ="On Random Graphs">[[Paul Erdős|Erdős, P.]] [[Alfréd Rényi|Rényi, A]] (1959) "On Random Graphs I" in Publ. Math. Debrecen 6, p.&nbsp;290&ndash;297 [http://www.renyi.hu/~p_erdos/1959-11.pdf]</ref><ref name = "Random graphs">{{citation |last= Gilbert |first= E. N. |authorlink=Edgar Gilbert|year=1959 |title=Random graphs |journal=Annals of Mathematical Statistics |volume= 30|issue= 4 |pages=1141–1144|doi=10.1214/aoms/1177706098 |doi-access=free }}.</ref>

[[随机图]]的Erdős–Rényi 模型是由Paul Erdős和Alfréd Rényi于1959年发表的论文《随机图论》中首次提出的，Gilbert 在他的论文《随机图论》中独立定义了这一模型。<ref name ="On Random Graphs">[[Paul Erdős|Erdős, P.]] [[Alfréd Rényi|Rényi, A]] (1959) "On Random Graphs I" in Publ. Math. Debrecen 6, p.&nbsp;290&ndash;297 [http://www.renyi.hu/~p_erdos/1959-11.pdf]</ref><ref name = "Random graphs">{{citation |last= Gilbert |first= E. N. |authorlink=Edgar Gilbert|year=1959 |title=Random graphs |journal=Annals of Mathematical Statistics |volume= 30|issue= 4 |pages=1141–1144|doi=10.1214/aoms/1177706098 |doi-access=free }}.</ref>

===[https://swarma.org/?p=19788 ER随机图模型]===

===[https://swarma.org/?p=19788 ER随机图模型]===

===集智相关课程===

===集智相关课程===

[[Category:图论]]

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[[Category:随机图]]

[[Category:随机图|*]]