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第57行： − 定义：设M是映射<math> f^{t}</math>的状态空间：如果对于任何<math> x∈M</math>和<math> δ> 0</math>，都存在<math> y∈M</math>和距离<math>d(. , .)</math>使得 <math> 0<d(x,y)<δ</math> 且对于某个正数 <math>a</math> 有 <math>d(f^{t}(x),f^{t}(y))>e^{at}d(x,y) </math>，则映射 <math> f^{t}</math> 表现出对初始条件的敏感依赖性。该定义不要求邻域中的所有点都与基点x分开，而是需要一个正的[[李雅普诺夫指数 Lyapunov exponent]]。+ + + + + + − 逻辑图映射的特定参数化提供了表现出对初始条件敏感依赖的最简单的数学框架：+ + − ::<math>x_{n+1} = 4x_n(1-x_n),\quad 0≤x_{0}≤1.</math>+ + − 与大多数混沌图映射不同，该图映射具有封闭形式的解决方案：+ + + − ::<math>x_{n} = sin^{2}(2^{n}θπ).</math>+ − 其中初始状态<math>θ=\frac{1}{π} sin^{-1}(x_{0}^{\frac{1}{2}}) </math>，对于有理数 <math>θ</math> ，在有限次数的迭代之后，<math>x_{n}</math> 映射为周期序列。但是几乎所有的 <math>θ</math> 都是无理数的，那么对于无理数的 <math>θ</math> ，<math>x_{n}</math> 永远不会自我重复——因为它是非周期性的。该解决方案方程式清楚地说明了混沌的两个关键特征–拉伸 stretching和折叠 folding ：因子 ，<math>2^{n}</math> 显示拉伸的指数增长，这导致对初始条件的敏感依赖（即蝴蝶效应），而正弦平方函数将 ，<math>x_{n}</math> 折叠在[0,1]范围内。+ + +
→数学定义
==== 数学定义====
==== 数学定义====
动力系统理论是数学的分支，动力系统的初始条件敏感依赖性自然就是一个数学性质。数学上，为了保持一般性，我们在度量空间中考虑动力系统的初始条件敏感依赖性。
考虑度量空间<math>(M,d)</math>，<math>M</math>是集合，<math>d:M \times M \to \mathbb R</math>是定义<math>M</math>上的二元函数，<math>\forall x,y,z\in M</math>其满足
# <math>d(x,y)\geq 0</math>, <math>d(x,y)=0</math>当且仅当 <math>x=y</math> （正定性）
# <math>d(x,y) = d(y,x)</math> （对称性）
# <math>d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)</math> （三角不等式）
我们一般在欧式空间Euclidean space或希尔伯特空间Hilbert space中考虑动力系统，这两种空间均为度量空间。
考虑度量空间<math>(M,d)</math>中动力系统<math>f^t:M \to M</math>，其把初始状态<math>x_0\in M</math>映射为$t>0$时刻的系统状态<math>x_t\in M</math>。动力系统的初始条件敏感依赖性被(Devaney, 2003)定义为，存在正数<math>\delta >0</math> 满足：对于任意 <math>x\in M</math>以及<math>x</math>的任意邻域<math>N(x)</math>都存在<math>t\geq 0</math>以及<math>y\in N(x)</math> 满足:
<math>d(f^t(x),f^t(y))>\delta</math>.
这里的中心思想是，只要动力系统对于任意初始状态<math>x</math>，存在一个任意接近$x$的系统状态量<math>y</math>，它能逐渐演化远离<math>x</math>，那么这个动力系统就具备初始条件的敏感依赖性。这里要强调，没有必要要求<math>x</math>附近的所有<math>y</math>都最终<math>f^t(y)</math>不趋近<math>f^t(x)</math>；只要至少有一个这样的<math>y</math>就可以了。
如果对于<math>x</math>附近的所有<math>y</math>都满足，最终<math>f^t(y)</math>不趋近<math>f^t(x)</math>，那么我们称这个系统具有扩张性(expansiveness)我们也用李雅普诺夫指数 Lyapunov exponent 来定义初始条件敏感依赖性。
考虑度量空间<math>(M,d)</math>中动力系统<math>f^t:M \to M</math>，其把初始状态<math>x_0\in M</math>映射为<math>t>0</math>时刻的系统状态</math>x_t\in M</math>。动力系统的初始条件敏感依赖性被定义为，存在正数</math>\lambda >0</math> 满足：对于任意 <math>x\in M</math>以及<math>\delta >0</math>都存在满足<math>d(x,y)<\delta</math>的<math>y</math>以及时刻<math>t\geq 0</math>满足:
<math>d(f^t(x),f^t(y))>e^{\lambda t}d(x,y)</math>
这里的$\lambda$就被称为李雅普诺夫指数。我们也称具有正李雅普诺夫指数的动力系统，具有初始条件敏感依赖性。
由此我们可以得知，初始条件敏感依赖性，并没有约束系统的长期行为是不是趋近于某一平衡态或者周期轨道；而仅仅要求了，任意从任意两个任意接近的初始状态出发，系统的两条演化轨迹在一定时间内快速分开。
于是，对于具有初始条件敏感依赖性的系统（如天气系统），由于无法完全准确地测量和初始条件，以及仿真计算系统的演化，因此我们难以进行超过特定时间范围的预测，例如对于天气预测暂时无法超过一个月。不仅如此，李雅普诺夫指数还反映出，误差在一定范围内是指数增加的。这也意味着，只有我们的测量精度和计算精度指数增长，我们能预测的时长才只能线性增长。参阅(Strogatz, 2018)第329-330页的例子，以及(Lighthill, 1986)中的精彩讨论。
当然，对于既不发散也不收敛、初始条件敏感、非周期变化、确定性混沌系统而言，这样的误差一般不是无限指数增加的，而是会有个限度。对于存在奇怪吸引子 strange attractor的混沌系统，例如洛伦茨发现的系统(Tucker, 1999)，其最大误差不会大于奇怪吸引子的直径。对于给定动力系统的李雅普诺夫指数计算，参阅(Strogatz, 2018)第373-376页。
== 洛伦茨系统演化的仿真图示 ==
== 洛伦茨系统演化的仿真图示 ==