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[[File:Scaling sandpile identity.gif|thumb|沙堆标识在方形网格不断增加的动画。 黑色表示沙粒数为0的顶点，绿色表示沙粒数为1，紫色表示沙粒数为2，金色表示沙粒数为3。]]
[[File:Scaling sandpile identity.gif|thumb|沙堆标识在方形网格不断增加的动画。 黑色表示沙粒数为0的顶点，绿色表示沙粒数为1，紫色表示沙粒数为2，金色表示沙粒数为3。]]
动画显示了对应网格尺寸<math>N\geq 1</math>不断增大，不同大小的<math>N\times N</math>正方形网格上的沙堆群标识的重复构型，从而重新缩放构型，使其最终具有相同的物理尺度。从视觉上看，更大网格上的标识似乎变得越来越详细，并且“收敛到一个连续的图像”。从数学上讲，这表明基于弱收敛的概念（或其他一些广义的收敛概念），正方形网格上沙堆恒等式存在缩放极限。事实上，Wesley-Pegden和Charles-Smart已经证明了循环沙堆结构缩放极限的存在性。<ref name=Pegden2016>{{cite arxiv |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Stability of patterns in the Abelian sandpile.|eprint=1708.09432 | date=2017 | ref=Pegden2017|class=math.AP }}</ref>
动画显示了对应网格尺寸<math>N\geq 1</math>不断增大，不同大小的<math>N\times N</math>正方形网格上的沙堆群标识的重复构型，因此，配置被重新缩放，以始终具有相同的物理尺寸。从视觉上看，更大网格上的标识似乎变得越来越详细，并且“收敛到一个连续的图像”。从数学上讲，这表明基于弱收敛的概念（或其他一些广义的收敛概念），正方形网格上沙堆恒等式存在缩放极限。事实上，Wesley-Pegden和Charles-Smart已经证明了循环沙堆结构缩放极限的存在性。<ref name=Pegden2016>{{cite arxiv |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Stability of patterns in the Abelian sandpile.|eprint=1708.09432 | date=2017 | ref=Pegden2017|class=math.AP }}</ref>
.<ref name=Pegden2013>{{cite journal |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Convergence of the Abelian sandpile |journal=Duke Mathematical Journal |date=2013 |volume=162 |issue=4 |pages=627–642 |doi=10.1215/00127094-2079677 |ref=Pegden2013|arxiv=1105.0111 |s2cid=13027232 }}</ref>在与Lionel Levine的进一步合作中，他们使用缩放极限来解释方形网格上沙堆的分形结构。<ref name=Levine2016>{{cite journal |last1=Levine |first1=Lionel |last2=Pegden |first2=Wesley |title=Apollonian structure in the Abelian sandpile |journal=Geometric and Functional Analysis |date=2016 |volume=26 |issue=1 |pages=306–336 |doi=10.1007/s00039-016-0358-7 |ref=Levine2016|hdl=1721.1/106972 |s2cid=119626417 |hdl-access=free }}</ref>
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