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→瞬态和循环构型
==瞬态和循环构型==
==瞬态和循环构型==
在上面定义的沙堆自动机的动力学过程中，一些稳定状态的构型（对于所有<math>v\in G\setminus\{s\}</math>，<math>0\leq z(v)<4</math>）经常无限次出现，而另一些则只能出现有限次（如果真的发生的话）。前者被称为“循环构型”，而后者被称为“瞬态构型”。因此，周期性构型由所有稳定的非负构型组成，这些构型可以从任何其他稳定构型中，通过反复向顶点添加沙粒，产生崩塌而得到。很容易看出，“最小稳定构型”<math>zum</math>，其中每个顶点放置<math>z_m(v)=deg(v)-1</math>颗沙粒，可从任何其他稳定构型得到（通过向每个顶点添加<math>deg(v)-z(v)-1\geq 0</math>颗沙粒）。因此，也就是说，周期性构型可以从最小稳定构型开始，通过添加沙粒，再稳定化得到。
在上面定义的沙堆自动机的动力学过程中，一些稳定状态的构型（对于所有<math>v\in G\setminus\{s\}</math>，<math>0\leq z(v)<4</math>）会无限频繁的出现，而另一些则只能出现有限次（如果真的发生的话）。前者被称为“常返构型”，而后者被称为“瞬态构型”。因此，常返性构型由包含一类稳定的非负构型组成，这些构型可以从任何其他稳定构型中，通过反复向顶点添加沙粒，产生崩塌而得到。很容易看出，“最差稳定构型”（马上就不稳定了）<math>zum</math>就是每个顶点都有<math>z_m(v)=deg(v)-1</math>颗沙粒的情况，这可从任何其他稳定构型得到（通过向每个顶点添加<math>deg(v)-z(v)-1\geq 0</math>颗沙粒）。因此，也就是说，所有常返构型可以从最差稳定构型开始，通过添加沙粒，崩塌再稳定后得到。
并非所有非负稳定构型都是常返的。例如，在一个至少包含由两个连通的非吸收顶点的图结构的沙堆模型中，如果这两个顶点没有放置沙粒，那么这个稳定结构是非循环的。为了证明这一点，首先要注意的是，沙粒的增加只能增加两个顶点放置的沙粒的总数。为了达到两个顶点都不放置沙粒的构型，从一个不是这种情况的构型出发，必然涉及到两个顶点中至少有一个崩塌的步骤。考虑这些步骤中的最后一个，在这个步骤中，两个顶点中的一个必须最后崩塌。由于崩塌会将对每个相邻的顶点转移一颗沙粒，这意味着两个顶点共同放置的沙粒总数不能低于一颗，因而得证。
==沙堆群==
==沙堆群==