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第205行：
第205行： − 在这种情况下，拉普拉斯矩阵是不对称的。如果我们指定一个沉没顶点<math>s</math>，使得每一个顶点都有一条到<math>s</math>的路径，那么有限图上的稳定操作是定义良好的，并且沙堆群可以像之前一样被写出来 − + − The order of the sandpile group is again the determinant of <math>\Delta'</math>, which by the general version of the [[Kirchhoff's theorem|matrix tree theorem]] is the number of oriented [[spanning tree]]s rooted at the sink. − 沙堆群的阶又是<math>\Delta'</math>的行列式，根据[[矩阵树定理]]的一般版本，它是根在沉没顶点的有向[[生成树]]生成树的数目。+ − − ==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）The order of the sandpile group翻译存疑。==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）
→有向图上的沙堆模型
:<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>
在这种情况下，拉普拉斯矩阵是不对称的。如果我们设定一个吸收顶点<math>s</math>，使得每一个顶点都有一条到<math>s</math>的路径，那么在有限图上的稳定化操作是可以定义好的，并且沙堆群可以写出来，你会发现和之前是一样的:<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>
沙堆群的阶还是<math>\Delta'</math>的行列式，根据矩阵树定理的一般版本，它是以吸收顶点为根的有向生成树的个数。
===扩展沙堆模型===
===扩展沙堆模型===