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==沙堆群==
==沙堆群==
给定一个构型<math>z</math>，<math>z(v)\in\mathbb{N}_0</math>对于所有<math>v\in G\setminus\{s\}</math>，在有限连通图上使不稳定的非吸收顶点崩塌，直到没有剩下稳定的非汇顶点，这将导致唯一的“稳定”构型<math>z^\circ</math>，这就是<math>z</math>的“稳定化”。给定两个稳定构型<math>z</math>和<math>w</math>，我们可以定义运算<math>z*w \to (z+w)^\circ</math>，对应于沙粒在各个顶点加起来后得到的稳定沙堆。<font color="#ff8000">corresponding to the vertex-wise addition of grains followed by the stabilization of the resulting sandpile.</font>
给定一个构型<math>z</math>，<math>z(v)\in\mathbb{N}_0</math>对于所有<math>v\in G\setminus\{s\}</math>，在有限连通图上使不稳定的非吸收顶点崩塌，直到没有剩下稳定的非汇顶点，这将导致唯一的“稳定”构型<math>z^\circ</math>，这就是<math>z</math>的“稳定化”。给定两个稳定构型<math>z</math>和<math>w</math>，我们可以定义运算<math>z*w \to (z+w)^\circ</math>，对应于沙粒在各个顶点加起来后得到的稳定沙堆。
给定一个任意但固定的非吸收顶点的顺序，进行多个崩塌操作，可以通过使用拉普拉斯矩阵<math>\Delta=D-A</math>高效地编码不稳定构型的稳定过程中的多个崩塌操作，其中<math>D</math>是图的度矩阵，<math>A</math>是图的[[邻接矩阵]]。
给定一个任意但固定的非吸收顶点的顺序，进行多个崩塌操作，可以通过使用拉普拉斯矩阵<math>\Delta=D-A</math>高效地编码不稳定构型的稳定过程中的多个崩塌操作，其中<math>D</math>是图的度矩阵，<math>A</math>是图的[[邻接矩阵]]。