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'''<font color="#ff8000"> 阿贝尔沙堆模型 Abelian sandpile model</font>'''，也被称为 Bak-Tang-Wiesenfeld 模型，是第一个发现的动力系统展现[[自组织临界性]]的例子。它是由 Per Bak,Chao Tang 和 Kurt Wiesenfeld 在1987年的一篇论文<ref name=Bak1987>

''' 阿贝尔沙堆模型 Abelian sandpile model'''，也被称为 Bak-Tang-Wiesenfeld 模型，是第一个发现的动力系统展现[[自组织临界性]]的例子。它是由 Per Bak,Chao Tang 和 Kurt Wiesenfeld 在1987年的一篇论文<ref name=Bak1987>

{{cite journal

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  | author = Bak, P. |author2=Tang, C. |author3-link=Kurt Wiesenfeld |author3=Wiesenfeld, K.

  | author = Bak, P. |author2=Tang, C. |author3-link=Kurt Wiesenfeld |author3=Wiesenfeld, K.

这个模型是一种<font color="#ff8000"> [[元胞自动机]]模型 Cellular automaton</font>。在最初的公式中，有限网格上的每个位置都有一个与沙堆的坡度相对应的关联值。当“沙粒”（或“碎片”）被随机放置在沙堆上时，被放置位置的坡度就会不断累加，直到坡度超过一个特定的阈值时，这个位置便发生崩塌，沙子就会转移到其邻近的位置，而增加后者的坡度。Bak, Tang和 Wiesenfeld考虑了在网格上持续随机放置沙粒的过程; 每次这样在某个位置放置沙粒有可能不会产生影响，也有可能会引起[[级联反应]]而影响一大片位置。

这个模型是一种 [[元胞自动机]]模型 Cellular automaton。在最初的公式中，有限网格上的每个位置都有一个与沙堆的坡度相对应的关联值。当“沙粒”（或“碎片”）被随机放置在沙堆上时，被放置位置的坡度就会不断累加，直到坡度超过一个特定的阈值时，这个位置便发生崩塌，沙子就会转移到其邻近的位置，而增加后者的坡度。Bak, Tang和 Wiesenfeld考虑了在网格上持续随机放置沙粒的过程; 每次这样在某个位置放置沙粒有可能不会产生影响，也有可能会引起[[级联反应]]而影响一大片位置。

  | doi = 10.1007/978-3-7643-8786-0_17

  | doi = 10.1007/978-3-7643-8786-0_17

| bibcode=1987PhRvL..59..381B

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|arxiv=0801.3306|isbn=978-3-7643-8785-3 |s2cid=7313023 }}</ref>。它与美元博弈游戏密切相关，这个游戏是Biggs提出的一种<font color="#ff8000">开除碎片 chip-firing 游戏的变体</font>。<ref>{{cite journal|last=Biggs|first=Norman L.|date=25 June 1997|title=Chip-Firing and the Critical Group of a Graph|url=ftp://ftp.math.ethz.ch/hg/EMIS/journals/JACO/Volume9_1/m6g7032786582625.fulltext.pdf|journal=Journal of Algebraic Combinatorics|pages=25–45|accessdate=10 May 2014}}</ref>

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沙堆模型起初是一个定义在<math> N\times M </math>矩形网格（棋盘格）上的'''<font color="#ff8000">元胞自动机cellular automaton </font>'''。

沙堆模型起初是一个定义在<math> N\times M </math>矩形网格（棋盘格）上的'''元胞自动机cellular automaton '''。

在这种情况下，<math>\mathbf{x}</math>被称为<math>z</math>的稳定过程的崩塌或计程函数 <font color="#ff8000">odometer function</font>。

在这种情况下，<math>\mathbf{x}</math>被称为<math>z</math>的稳定过程的崩塌或计程函数 odometer function。

在<math>*</math>运算下，常返构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群，即<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括吸收顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和常返）在<math>*</math>.运算下形成'''<font color="#ff8000"> 交换幺半群Commutative monoid</font>'''。这个幺半群的最小理想同构于常返构型群。

在<math>*</math>运算下，常返构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群，即<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括吸收顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和常返）在<math>*</math>.运算下形成''' 交换幺半群Commutative monoid'''。这个幺半群的最小理想同构于常返构型群。

由常返构型形成的群，以及与之同构的群<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，通常被称为'''<font color="#ff8000"> 沙堆群Sandpile group</font>'''。同样的群也常被称作为“临界群”、“Jacobian群”或（比较不常见的）“Picard群”。

由常返构型形成的群，以及与之同构的群<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，通常被称为''' 沙堆群Sandpile group'''。同样的群也常被称作为“临界群”、“Jacobian群”或（比较不常见的）“Picard群”。

然而，要注意的是，有些作者只把常返构型形成的组称为沙堆组，而为由<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>（或相关的同构定义）定义的同构群保留Jacobian群或临界群的称呼。最后，一些作者使用Picard群来指代沙堆群和<math>\mathbb{Z}</math>的直积，后者出现在与沙堆模型密切相关的[[元胞自动机]]中，被称为'''<font color="#ff8000"> 开除碎片或美元博弈游戏Chip firing or Dollar game</font>'''。

然而，要注意的是，有些作者只把常返构型形成的组称为沙堆组，而为由<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>（或相关的同构定义）定义的同构群保留Jacobian群或临界群的称呼。最后，一些作者使用Picard群来指代沙堆群和<math>\mathbb{Z}</math>的直积，后者出现在与沙堆模型密切相关的[[元胞自动机]]中，被称为''' 开除碎片或美元博弈游戏Chip firing or Dollar game'''。

给定上述同构，沙堆群的阶是<math>\Delta'</math>的行列式，根据矩阵树定理，它是图的生成树的个数。

给定上述同构，沙堆群的阶是<math>\Delta'</math>的行列式，根据矩阵树定理，它是图的生成树的个数。