7,129
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第79行：
第79行： + − 1932年，哥德尔在获得了学位，1933年，他在那里成为一名无薪讲师。1933年，Adolf Hitler在德国掌权，随后几年，纳粹在奥地利和维也纳的数学家中的影响力不断上升。1936年6月，Moritz Schlick的研讨会引起了哥德尔对逻辑学的兴趣，却被他以前的学生Johann Nelböck暗杀。这对哥德尔引发了“一场严重的神经危机”。他出现了偏执症状，包括害怕中毒，并因神经疾病在疗养院度过了几个月。+ − − − 1933年，哥德尔第一次来到美国，在那里他遇到了[[阿尔伯特·爱因斯坦 Albert Einstein]]，爱因斯坦成了他的好朋友。他在美国数学学会的年会上发表了演讲。在这一年里，哥德尔还发展了可计算性和递归函数的概念，以至于他能够提出一个关于一般递归函数和真理概念的演讲。这项工作是在数论中发展起来的，使用了哥德尔编码 Gödel numbering。 − − − 1934年，哥德尔在新泽西州普林斯顿的高级研究所(IAS)做了一系列演讲，题目是关于正式数学系统的不可判定命题。斯蒂芬·克莱恩 Stephen Kleene刚刚在普林斯顿大学完成了他的博士学位，他记下了这些讲座的笔记，这些讲座随后被出版。 − − − 哥德尔在1935年秋天再次参观了国际会计准则。旅行和艰苦的工作使他筋疲力尽，第二年他休息一下，从抑郁症中恢复过来。他于1937年重返教学岗位。在此期间，他致力于证明选择公理和连续统假设公理的一致性; 他继续表明，这些假设不能从集合论公理系统的共同体系中被证伪。 + − + − {{quote|Kurt Gödel's achievement in modern logic is singular and monumental—indeed it is more than a monument, it is a landmark which will remain visible far in space and time. ... The subject of logic has certainly completely changed its nature and possibilities with Gödel's achievement.|[[John von Neumann]]<ref>{{Cite journal |last=Halmos |first=P.R. |title=The Legend of von Neumann |journal=The American Mathematical Monthly |volume=80 |number=4 |date=April 1973 |pages=382–94|doi=10.1080/00029890.1973.11993293 }}</ref>}} − − {{引述|库尔特·哥德尔在现代逻辑方面的成就是独一无二的和具有纪念意义的——事实上它不仅仅是一座纪念碑，它是一座里程碑，它将在遥远的时空中保持可见。。。随着哥德尔的成就，逻辑学的学科无疑已经完全改变了它的性质和可能性[[John von Neumann]]<ref>{{Cite journal |last=Halmos |first=P.R. |title=The Legend of von Neumann |journal=The American Mathematical Monthly |volume=80 |number=4 |date=April 1973 |pages=382–94|doi=10.1080/00029890.1973.11993293 }}</ref>}} + − Gödel published his incompleteness theorems in {{lang|de|Über formal unentscheidbare Sätze der {{lang|la|Principia Mathematica}} und verwandter Systeme}} (called in English "[[On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems|On Formally Undecidable Propositions of {{lang|la|Principia Mathematica|nocat=y}} and Related Systems]]"). In that article, he proved for any [[recursion theory|computable]] [[axiomatic system]] that is powerful enough to describe the arithmetic of the [[natural numbers]] (e.g., the [[Peano axioms]] or [[ZFC|Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice]]), that:+ − 哥德尔把他的不完全性定理发表在{{lang|de|Über formal unentscheidbare Sätze der {{lang|la|Principia Mathematica}} und verwandter Systeme}} （英文名为“[[关于数学原理和相关系统的形式不可判定命题{lang | la | Principia Mathematica | nocat=y}}和相关系统的形式不可判定命题]”）。在这篇文章中，他证明了任何强大到足以描述[[自然数]]算术的[[递归理论|可计算]][[公理系统]（例如，[[Peano公理]]或[[ZFC | Zermelo–Fraenkel集理论与选择公理]]）：+ 第113行：
第104行： − 事后看来，不完全性定理的核心思想相当简单。哥德尔基本上构造了一个公式，证明它在给定的形式系统中是不可证明的。如果这是可以证明的，那就错了。+ − − − 因此，总会有至少一个真实但无法证明的陈述。 − − − 也就是说，对于任何[[可计算可枚举]]的算术公理集（也就是说，一个原则上可以由一台具有无限资源的理想计算机打印出来的集合），都有一个公式是正确的，但在该系统中是不可证明的。 − − − 然而，为了精确起见，哥德尔需要产生一种方法来编码（作为自然数）语句、证明和可证明性的概念；他使用一种哥德尔编码来实现这一点。 第131行：
第113行： − + − Gödel earned his [[habilitation]] at Vienna in 1932, and in 1933 he became a {{lang|de|[[Privatdozent]]}} (unpaid lecturer) there. In 1933 [[Adolf Hitler]] came to power in Germany, and over the following years the Nazis rose in influence in Austria, and among Vienna's mathematicians. In June 1936, [[Moritz Schlick]], whose seminar had aroused Gödel's interest in logic, was assassinated by one of his former students, [[Johann Nelböck]]. This triggered "a severe nervous crisis" in Gödel.<ref name=Casti2001>{{Cite book |last1=Casti |first1=John L. |last2=Depauli |first2=Werner |year=2001 |title=Gödel : a life of logic |doi=10.1287/moor.1050.0169 |isbn=978-0-7382-0518-2 |location=Cambridge, Mass. |publisher=Basic Books |journal=Mathematics of Operations Research |volume=31 |page=147 |last3=Koppe |first3=Matthias |last4=Weismantel |first4=Robert |arxiv=math/0410111 |s2cid=9054486 }}. From p. 80, which quotes Rudolf Gödel, Kurt's brother and a medical doctor. The words "a severe nervous crisis", and the judgement that the Schlick assassination was its trigger, are from the Rudolf Gödel quote. Rudolf knew Kurt well in those years.</ref> He developed paranoid symptoms, including a fear of being poisoned, and spent several months in a sanitarium for nervous diseases.<ref>Dawson 1997, pp. 110–12</ref> − 1932年，哥德尔在维也纳为人熟知（获得了[[习惯化]]），1933年他成为了{lang | de |[[Privatdozent]]}}（无薪讲师）。1933年[[阿道夫希特勒]在德国掌权，在接下来的几年里，纳粹在奥地利和维也纳数学家中的影响力不断上升。1936年6月，[[Moritz Schlick]]的研讨会引起了哥德尔对逻辑学的兴趣，他被他的一个前学生[[Johann Nelböck]]暗杀。这在哥德尔引发了“严重的神经危机”。<ref name="Casti2001">{{Cite book |last1=Casti |first1=John L. |last2=Depauli |first2=Werner |year=2001 |title=Gödel : a life of logic |doi=10.1287/moor.1050.0169 |isbn=978-0-7382-0518-2 |location=Cambridge, Mass. |publisher=Basic Books |journal=Mathematics of Operations Research |volume=31 |page=147 |last3=Koppe |first3=Matthias |last4=Weismantel |first4=Robert |arxiv=math/0410111 |s2cid=9054486 }}摘自第80页，其中引用了库尔特的哥哥、医生鲁道夫·哥德尔的话。这句话引述了索尔夫的话：“这是一次严重的刺杀，这是鲁德的一次严重的刺杀。”。鲁道夫在那几年很了解库尔特。</ref>他出现了偏执症状，包括害怕中毒，并在一所治疗神经疾病的疗养院呆了几个月。<ref>Dawson 1997, pp. 110–12</ref>+ − 随后，他又前往美国，在国际会计准则所度过了1938年秋天，并出版了选择公理和广义连续统一体假设与集合论公理的一致性，集合论是现代数学的经典。在这部著作中，他提出了可构造的宇宙，这是一个集合论模型，在这个模型中，只有那些可以由简单集合构造出来的集合存在。哥德尔指出，选择公理(AC)和广义连续统假设公理(GCH)在可构造的宇宙中都是正确的，因此必须与集合论的 Zermelo-Fraenkel 公理(ZF)一致。这个结果对从事数学工作的人来说有相当大的影响，因为这意味着他们在证明哈恩-巴纳赫定理时可以假定选择公理。保罗 · 科恩后来构造了一个 ZF 模型，其中 AC 和 GCH 是假的; 这些证明一起意味着 AC 和 GCH 是独立于集合论的 ZF 公理的。+ − Gödel spent the spring of 1939 at the University of Notre Dame.+ − 1939年春天，哥德尔在圣母大学度过。 − In 1934, Gödel gave a series of lectures at the [[Institute for Advanced Study]] (IAS) in [[Princeton, New Jersey|Princeton]], New Jersey, entitled ''On undecidable propositions of formal mathematical systems''. [[Stephen Kleene]], who had just completed his PhD at Princeton, took notes of these lectures that have been subsequently published.+ − Gödel visited the IAS again in the autumn of 1935. The travelling and the hard work had exhausted him and the next year he took a break to recover from a depressive episode. He returned to teaching in 1937. During this time, he worked on the proof of consistency of the [[axiom of choice]] and of the [[continuum hypothesis]]; he went on to show that these hypotheses cannot be disproved from the common system of axioms of set theory. − 1934年，哥德尔在新泽西州的[[普林斯顿，新泽西州|普林斯顿]]的[[高等研究所]]（IAS）做了一系列讲座，题目是“关于形式数学系统的不可判定命题”。刚刚在普林斯顿完成博士学位的[[Stephen Kleene]]记下了随后出版的这些讲座。 − 1935年秋，哥德尔再次访问了国际会计学院。旅行和艰苦的工作使他筋疲力尽，第二年他休息一下，从抑郁中恢复过来。他于1937年重返教书岗位。在这段时间里，他致力于证明[[选择公理]]和[[连续统假设]]的一致性；他接着指出，这些假设不能从集合论公理的共同体系中被证伪。+ − After the Anschluss on 12 March 1938, Austria had become a part of Nazi Germany. − 1938年3月12日德国合并后，奥地利成为纳粹德国的一部分。+ − − 德国废除了这个头衔，因此哥德尔不得不在新的秩序下申请一个不同的职位。他以前与维也纳学派的犹太成员，特别是与哈恩的关系对他不利。维也纳大学拒绝了他的申请。 + + − His predicament intensified when the German army found him fit for conscription. World War II started in September 1939.+ − − 当德国军队发现他适合征兵时，他的困境加剧了。第二次世界大战开始于1939年9月。 − − Subsequently, he left for another visit to the United States, spending the autumn of 1938 at the IAS and publishing ''Consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory,''<ref>{{Cite journal |last=Gödel |first=Kurt |date=November 9, 1938 |title=The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America |volume=24 |issue=12 |pages=556–57 |issn=0027-8424 |pmc=1077160 |pmid=16577857 |bibcode=1938PNAS...24..556G |doi=10.1073/pnas.24.12.556 }}</ref> a classic of modern mathematics. In that work he introduced the [[constructible universe]], a model of [[set theory]] in which the only sets that exist are those that can be constructed from simpler sets. Gödel showed that both the [[axiom of choice]] (AC) and the [[generalized continuum hypothesis]] (GCH) are true in the constructible universe, and therefore must be consistent with the [[Zermelo–Fraenkel axioms]] for set theory (ZF). This result has had considerable consequences for working mathematicians, as it means they can assume the axiom of choice when proving the [[Hahn–Banach theorem]]. [[Paul Cohen]] later constructed a [[structure (mathematical logic)|model]] of ZF in which AC and GCH are false; together these proofs mean that AC and GCH are independent of the ZF axioms for set theory. − − 随后，他又去了美国，在1938年秋天在国际会计准则学会（IAS）上度过，出版了“选择公理和广义连续统假设与集合论公理的一致性”<ref>{{Cite journal |last=Gödel |first=Kurt |date=November 9, 1938 |title=The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America |volume=24 |issue=12 |pages=556–57 |issn=0027-8424 |pmc=1077160 |pmid=16577857 |bibcode=1938PNAS...24..556G |doi=10.1073/pnas.24.12.556 }}</ref>成为现代数学的经典。在那部著作中，他引入了[[可构造宇宙]]，这是一个[[集合论]]的模型，其中唯一存在的集合是那些可以从更简单的集合中构造出来的集合。哥德尔证明了[[选择公理]（AC）和[[广义连续统假设]]（GCH）在可构造的宇宙中都是正确的，因此必须与集合论的[[Zermelo–Fraenkel公理]]一致。这个结果对工作的数学家产生了相当大的影响，因为这意味着他们在证明[[Hahn–Banach定理]]时可以假设选择公理。[[Paul Cohen]]后来构造了ZF的[[结构（数学逻辑）|模型]，其中AC和GCH都是假的；这些证明一起意味着AC和GCH独立于集论的ZF公理。 − − Before the year was up, Gödel and his wife left Vienna for Princeton. To avoid the difficulty of an Atlantic crossing, the Gödels took the Trans-Siberian Railway to the Pacific, sailed from Japan to San Francisco (which they reached on March 4, 1940), then crossed the US by train to Princeton. There Gödel accepted a position at the Institute for Advanced Study (IAS), which he had previously visited during 1933–34. − − 年底前，哥德尔和他的妻子离开维也纳去了普林斯顿。为了避免横渡大西洋的困难，哥德尔夫妇乘坐西伯利亚铁路航行到太平洋，从日本到旧金山(他们在1940年3月4日到达) ，然后乘火车横渡美国到达普林斯顿。在那里，哥德尔接受了高级研究学院(IAS)的一个职位，他在1933-34年期间曾到过这个学院。 − − − − Gödel spent the spring of 1939 at the University of Notre Dame.<ref>{{cite web |url=https://math.nd.edu/assets/13975/logicatndweb.pdf |title=Kurt Gödel at Notre Dame |last=Dawson |first=John W. Jr |date= |page=4 |quote=the Mathematics department at the University of Notre Dame was host ... for a single semester in the spring of 1939 [to] Kurt Gödel }}</ref>]][[Index.php?title=库尔特·哥德尔 Kurt Gödel#cite%20note-31|<span class="mw-reflink-text">[31]</span>]][[Index.php?title=库尔特·哥德尔 Kurt Gödel#cite%20note-31|<span class="mw-reflink-text">[31]</span>]] − − 1939年春，哥德尔在圣母大学度过。<ref>{{cite web |url=https://math.nd.edu/assets/13975/logicatndweb.pdf |title=Kurt Gödel at Notre Dame |last=Dawson |first=John W. Jr |date= |page=4 |quote=the Mathematics department at the University of Notre Dame was host ... for a single semester in the spring of 1939 [to] Kurt Gödel }}</ref> − − Albert Einstein was also living at Princeton during this time. Gödel and Einstein developed a strong friendship, and were known to take long walks together to and from the Institute for Advanced Study. The nature of their conversations was a mystery to the other Institute members. Economist Oskar Morgenstern recounts that toward the end of his life Einstein confided that his "own work no longer meant much, that he came to the Institute merely ... to have the privilege of walking home with Gödel". − − 阿尔伯特 · 爱因斯坦在这段时间也住在普林斯顿。哥德尔和爱因斯坦建立了深厚的友谊，他们一起在高等研究院进行长距离的散步。他们谈话的性质对研究所的其他成员来说是个谜。经济学家约翰 · 奥斯卡·摩根斯腾回忆说，在他生命的最后时刻，他曾坦言自己的工作不再意味着什么，他来到这个研究所仅仅是为了... ... 享受和哥德尔一起走回家的特权。 − − ===普林斯顿，爱因斯坦，美国公民=== − Gödel and his wife, Adele, spent the summer of 1942 in Blue Hill, Maine, at the Blue Hill Inn at the top of the bay. Gödel was not merely vacationing but had a very productive summer of work. Using [volume 15] of Gödel's still-unpublished [working notebooks], John W. Dawson Jr. conjectures that Gödel discovered a proof for the independence of the axiom of choice from finite type theory, a weakened form of set theory, while in Blue Hill in 1942. Gödel's close friend Hao Wang supports this conjecture, noting that Gödel's Blue Hill notebooks contain his most extensive treatment of the problem. − 1942年的夏天，哥德尔和他的妻子阿黛尔在缅因州的蓝山海湾顶端的蓝山旅馆度过。哥德尔不仅仅是在度假，而且还有一个非常富有成效的夏季工作。小约翰 · w · 道森(John w. Dawson jr.)利用哥德尔尚未出版的[工作笔记本][卷15]推测，哥德尔在1942年《布鲁希尔》(Blue Hill)一书中发现了选择公理独立于集合论弱化形式——有限型理论的证明。哥德尔的密友王支持这一猜想，指出哥德尔的蓝山笔记本包含了他对这一问题最广泛的论述。+ − After the Anschluss on 12 March 1938, Austria had become a part of Nazi Germany. − Germany abolished the title {{lang|de|[[Privatdozent]]}}<nowiki>, so Gödel had to apply for a different position under the new order. His former association with Jewish members of the Vienna Circle, especially with Hahn, weighed against him. The University of Vienna turned his application down.+ − 在1938年3月12日的[纳粹德国]之后，奥地利成为了[纳粹德国]的一部分。+ − 德国废除了{lang | de |Privatdozent}}的头衔，因此哥德尔不得不根据新秩序申请另一个职位。他以前与维也纳圈子里的犹太成员，特别是与哈恩的交往，对他不利。维也纳大学拒绝了他的申请。 − On December 5, 1947, Einstein and Morgenstern accompanied Gödel to his U.S. citizenship exam, where they acted as witnesses. Gödel had confided in them that he had discovered an inconsistency in the U.S. Constitution that could allow the U.S. to become a dictatorship. Einstein and Morgenstern were concerned that their friend's unpredictable behavior might jeopardize his application. The judge turned out to be Phillip Forman, who knew Einstein and had administered the oath at Einstein's own citizenship hearing. Everything went smoothly until Forman happened to ask Gödel if he thought a dictatorship like the Nazi regime could happen in the U.S. Gödel then started to explain his discovery to Forman. Forman understood what was going on, cut Gödel off, and moved the hearing on to other questions and a routine conclusion.
→职业生涯
==职业生涯==
==职业生涯==
===不完全性定理===
{{quote|Kurt Gödel's achievement in modern logic is singular and monumental—indeed it is more than a monument, it is a landmark which will remain visible far in space and time. ... The subject of logic has certainly completely changed its nature and possibilities with Gödel's achievement.|[[John von Neumann]]<ref>{{Cite journal |last=Halmos |first=P.R. |title=The Legend of von Neumann |journal=The American Mathematical Monthly |volume=80 |number=4 |date=April 1973 |pages=382–94|doi=10.1080/00029890.1973.11993293 }}</ref>}}
{{引述|库尔特·哥德尔在现代逻辑方面的成就是独一无二的和具有纪念意义的——事实上它不仅仅是一座纪念碑，它是一座里程碑，它将在遥远的时空中保持可见。。。随着哥德尔的成就，逻辑学的学科无疑已经完全改变了它的性质和可能性[[John von Neumann]]<ref>{{Cite journal |last=Halmos |first=P.R. |title=The Legend of von Neumann |journal=The American Mathematical Monthly |volume=80 |number=4 |date=April 1973 |pages=382–94|doi=10.1080/00029890.1973.11993293 }}</ref>}}
===不完全性定理===
1930年，哥德尔参加了9月5日至7日在柯尼斯堡举行的第二届精确科学认识论会议。在这里，他发表了他的<font color="#ff8000"> 不完备性定理</font>。<ref name="Stadler">{{cite book |last1=Stadler |first1=Friedrich |title=The Vienna Circle: Studies in the Origins, Development, and Influence of Logical Empiricism |date=2015 |publisher=Springer |isbn=9783319165615 |url=https://books.google.com/books?id=2rAlCQAAQBAJ&q=Erkenntnis+1930+Konigsberg&pg=PA161 |language=en}}</ref>在那篇文章中，他证明了任何强大到足以描述自然数算术的可计算公理系统(例如，Peano 公理或 Zermelo-Fraenkel 集合论与选择公理) :
If a (logical or axiomatic formal) system is consistent, it cannot be complete.
如果一个(逻辑或公理化的正式)系统是一致的，那么它就不能是完整的。
哥德尔把他的不完全性定理发表在Überformal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme（英文名为“On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems”）。在这篇文章中，他证明了任何强大到足以描述自然数算术的可计算[[公理系统]（例如，'''[[皮亚诺公理 Peano axioms]]'''或'''[[包含选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论 Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice（ZFC）]]''' ）：
1. 如果一个（逻辑或公理形式）形式系统是一致性的，它的逻辑就不可能是完整的。
1. 如果一个（逻辑或公理形式）形式系统是一致性的，它的逻辑就不可能是完整的。
事后看来，不完全性定理的核心思想相当简单。哥德尔基本上构造了一个公式，证明它在给定的形式系统中是不可证明的。如果这是可以证明的，那就错了。因此，总会有至少一个真实但无法证明的陈述。也就是说，对于任何可计算可枚举的算术公理集（也就是说，一个原则上可以由一台具有无限资源的理想计算机打印出来的集合），都有一个公式是正确的，但在该系统中是不可证明的。然而，为了精确起见，哥德尔需要产生一种方法来编码（作为自然数）语句、证明和可证明性的概念；他使用一种称为'''哥德尔编码 Gödel numbering'''来实现这一点。
The consistency of axioms cannot be proved within their own system.
The consistency of axioms cannot be proved within their own system.
这些定理结束了半个世纪的努力，从Frege的工作开始，到Hilbert的形式主义，他们都试图找到一套足以适用于所有数学的公理。
这些定理结束了半个世纪的努力，从Frege的工作开始，到Hilbert的形式主义，他们都试图找到一套足以适用于所有数学的公理。
<br>
===20世纪30年代中期：进一步的工作和美国访问===
===20世纪30年代中期：进一步的工作和美国访问===
1932年，哥德尔在获得了学位，1933年，他在那里成为一名无薪讲师。1933年，Adolf Hitler在德国掌权，随后几年，纳粹在奥地利和维也纳的数学家中的影响力不断上升。1936年6月，Moritz Schlick的研讨会引起了哥德尔对逻辑学的兴趣，却被他以前的学生Johann Nelböck暗杀。这对哥德尔引发了“一场严重的神经危机”。<ref name="Casti2001">{{Cite book |last1=Casti |first1=John L. |last2=Depauli |first2=Werner |year=2001 |title=Gödel : a life of logic |doi=10.1287/moor.1050.0169 |isbn=978-0-7382-0518-2 |location=Cambridge, Mass. |publisher=Basic Books |journal=Mathematics of Operations Research |volume=31 |page=147 |last3=Koppe |first3=Matthias |last4=Weismantel |first4=Robert |arxiv=math/0410111 |s2cid=9054486 }}他出现了偏执症状，包括害怕中毒，并因神经疾病在疗养院度过了几个月。<ref>Dawson 1997, pp. 110–12</ref>
1933年，哥德尔第一次来到美国，在那里他遇到了[[阿尔伯特·爱因斯坦 Albert Einstein]]，爱因斯坦成了他的好朋友。他在美国数学学会的年会上发表了演讲。在这一年里，哥德尔还发展了可计算性和递归函数的概念，以至于他能够提出一个关于一般递归函数和真理概念的演讲。这项工作是在数论中发展起来的，使用了哥德尔编码 Gödel numbering。
1934年，哥德尔在新泽西州普林斯顿的高级研究所做了一系列演讲，题目是关于正式数学系统的不可判定命题。斯蒂芬·克莱恩 Stephen Kleene刚刚在普林斯顿大学完成了他的博士学位，他记下了这些讲座的笔记，这些讲座随后被出版。
哥德尔在1935年秋天再次参观了国际会计准则。旅行和艰苦的工作使他筋疲力尽，第二年他休息一下，从抑郁症中恢复过来。他于1937年重返教学岗位。在此期间，他致力于证明选择公理和连续统假设公理的一致性; 他继续表明，这些假设不能从集合论公理系统的共同体系中被证伪。
随后，他又去了美国，在1938年秋天在国际会计准则学会上度过，出版了“选择公理和广义连续统假设与集合论公理的一致性”<ref>{{Cite journal |last=Gödel |first=Kurt |date=November 9, 1938 |title=The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America |volume=24 |issue=12 |pages=556–57 |issn=0027-8424 |pmc=1077160 |pmid=16577857 |bibcode=1938PNAS...24..556G |doi=10.1073/pnas.24.12.556 }}</ref>成为现代数学的经典。在那部著作中，他引入了[[可构造宇宙]]，这是一个[[集合论]]的模型，其中唯一存在的集合是那些可以从更简单的集合中构造出来的集合。哥德尔证明了[[选择公理]和[[广义连续统假设]]在可构造的宇宙中都是正确的，因此必须与集合论的[[Zermelo–Fraenkel公理]]一致。这个结果对工作的数学家产生了相当大的影响，因为这意味着他们在证明[[Hahn–Banach定理]]时可以假设选择公理。Paul Cohen后来构造了ZF的[[结构（数学逻辑）|模型]，其中AC和GCH都是假的；这些证明一起意味着AC和GCH独立于集论的ZF公理。
1939年春天，哥德尔在圣母大学度过。<ref>{{cite web |url=https://math.nd.edu/assets/13975/logicatndweb.pdf |title=Kurt Gödel at Notre Dame |last=Dawson |first=John W. Jr |date= |page=4 }}</ref>
<br>
===普林斯顿，爱因斯坦，美国公民===
1938年 3 月 12 日合并后，奥地利成为纳粹德国的一部分。德国废除了Privatdozent的头衔，因此哥德尔不得不在新的命令下申请一个不同的职位。他以前与维也纳圈的犹太成员，特别是与哈恩的联系，对他不利。维也纳大学拒绝了他的申请。
当德国军队发现他适合征兵时，他的困境加剧了。第二次世界大战于 1939 年 9 月开始。这一年还没有结束，哥德尔和他的妻子离开维也纳前往普林斯顿。为了避免穿越大西洋的困难，哥德尔夫妇乘坐西伯利亚大铁路到达太平洋，从日本航行到旧金山（他们于1940年3月4日到达），然后乘火车穿越美国到达普林斯顿。在那里，哥德尔接受了高级研究所 (IAS) 的一个职位，他之前曾在 1933-34 年访问过该研究所。<ref>{{Cite web|url=https://www.ias.edu/scholars/godel|title=Kurt Gödel|website=Institute for Advanced Study}}</ref>
在此期间，阿尔伯特·爱因斯坦 Albert Einstein也住在普林斯顿。哥德尔和爱因斯坦建立了深厚的友谊，众所周知，他们经常一起长途跋涉往返于高等研究院。他们谈话的性质对其他研究所成员来说是个谜。经济学家Oskar Morgenstern回忆说，在爱因斯坦生命的最后时刻，他坦言“自己的工作不再有意义，他来到研究所只是为了……有幸与哥德尔一起步行回家”。<ref>Goldstein (2005), p. 33.</ref>
1942年的夏天，哥德尔和他的妻子Adele在缅因州的蓝山海湾顶端的蓝山旅馆度过。哥德尔不仅仅是在度假，而且还有一个非常富有成效的夏季工作。John w. Dawson jr.利用哥德尔尚未出版的工作笔记本中的卷15推测哥德尔发现了选择公理独立于有限类型理论（集合论的弱化形式）的证明， 1942 年在蓝山时。哥德尔的密友Hao Wang支持这个猜想，并指出哥德尔的蓝山笔记本包含了他对这个问题最广泛的处理。
1947年12月5日，爱因斯坦和摩根斯坦陪同哥德尔参加了他的美国公民身份考试，他们在考试中充当了见证人。哥德尔曾向他们透露，他发现美国宪法存在不一致之处，这可能使美国成为一个独裁国家。爱因斯坦和摩根斯坦担心他们的朋友不可预测的行为可能会危及他的申请。法官原来是菲利普 · 福曼，他认识爱因斯坦，并在爱因斯坦自己的公民听证会上主持了宣誓。一切都很顺利，直到 Forman 碰巧问哥德尔，他是否认为像纳粹政权一样的独裁会在美国发生，然后哥德尔开始向 Forman 解释他的发现。福尔曼明白发生了什么事，打断了哥德尔的话，把听证会转移到其他问题和例行结论上。
1947年12月5日，爱因斯坦和摩根斯坦陪同哥德尔参加了他的美国公民身份考试，他们在考试中充当了见证人。哥德尔曾向他们透露，他发现美国宪法存在不一致之处，这可能使美国成为一个独裁国家。爱因斯坦和摩根斯坦担心他们的朋友不可预测的行为可能会危及他的申请。法官原来是菲利普 · 福曼，他认识爱因斯坦，并在爱因斯坦自己的公民听证会上主持了宣誓。一切都很顺利，直到 Forman 碰巧问哥德尔，他是否认为像纳粹政权一样的独裁会在美国发生，然后哥德尔开始向 Forman 解释他的发现。福尔曼明白发生了什么事，打断了哥德尔的话，把听证会转移到其他问题和例行结论上。