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网络可控性 (查看源代码)

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<math>N \times N</math> 的矩阵 <math>\mathbf{A}</math> 描述了系统的连接图以及各组分之间的交互强度。<math>N \times M</math> 矩阵 <math>\mathbf{B}</math> 列出了由外部控制器控制的节点。控制器通过施加给系统的时间相关向量 <math>\mathbf{u}(t) = (u_1(t),\cdots,u_M(t))^\mathrm{T}</math> 来实现对系统的控制。为了确定驱动节点的最小数目，<math>N_\mathrm{D}</math>，亦即确定对最少几个节点施加控制便足以完全控制系统的动力学进程，在这方面，Liu等人尝试了'''将结构控制理论 Structural Control Theory '''、'''图论 Graph Theory '''和'''统计物理 Statistical Physics '''的工具的结合。<ref name="Liu-Nature-11">{{cite journal | last=Liu | first=Yang-Yu | last2=Slotine | first2=Jean-Jacques | last3=Barabási | first3=Albert-László | title=Controllability of complex networks | journal=Nature | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=473 | issue=7346 | year=2011 | issn=0028-0836 | doi=10.1038/nature10011 | pages=167–173}}</ref> 他们发现<ref name="Liu-Nature-11"/>，完全控制一个网络所需要的最少输入或驱动节点，取决于网络的'''最大匹配 maximum matching'''，也就是不共享起始顶点和终止顶点的最大边集。从这个结论出发，一个基于''入-出度分布''的分析框架被开发出来，用于预测'''无标度网络 scale-free network'''和'''ER随即图 Erdős–Rényi Graph<ref name="Liu-Nature-11"/> '''的<math>n_\mathrm{D} =N_\mathrm{D}/N </math>值。<ref name="gates_rocha_scirep">{{cite journal | last=Gates | first=Alexander J. | last2=Rocha | first2=Luis M. | title=Control of complex networks requires both structure and dynamics | journal=Scientific Reports | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=6 | issue=1 | date=2016-04-18 | issn=2045-2322 | doi=10.1038/srep24456 | page=24456|doi-access=free}}</ref>

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同样值得关注的是，刘等人的工作<ref name="Liu-Nature-11"/>提出了这么一个问题<ref name = "Arxiv_Close_Betw">{{cite arXiv|first=SJ |last=Banerjee |first2=S |last2=Roy|title=Key to Network Controllability|eprint=1209.3737}}</ref> ：'''度 Degree ''',作为网络中一种纯粹的局部度量，能否完全描述网络的可控性？是不是即便稍微远一点的节点，就对网络的可控性没有影响？事实上，对于许多'''现实世界里的网络 Real-World Networks '''，像'''食物网络 Food Webs '''、'''神经元网络 Neuronal Network ''' 和'''代谢网络 Metabolic Network '''，Liu等人计算的<math>{n_\mathrm{D}}^{real}</math><math> 和 {n_\mathrm{D}}^\mathrm{rand\_degree}</math> 的值并不匹配<ref name="Liu-Nature-11"/>。值得注意的是。如果可控性主要是由度决定，那么为什么对于许多现实世界的网络来说，<math>{n_\mathrm{D}}^{real}</math> 和 <math>{n_\mathrm{D}}^\mathrm{rand\_degree}</math> 如此不同？他们认为<ref name="Liu-Nature-11"/>，这可能是由于度相关性的影响。然而，已有的研究表明<ref name = "Arxiv_Close_Betw"/>，网络的可控性只能通过中间性和封闭性来改变，而完全不需要使用度（图论）或'''度相关性 Degree Correlations '''。(arXiv:1203.5161v1)

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同样值得关注的是，刘等人的工作<ref name="Liu-Nature-11"/>提出了这么一个问题<ref name = "Arxiv_Close_Betw">{{cite arXiv|first=SJ |last=Banerjee |first2=S |last2=Roy|title=Key to Network Controllability|eprint=1209.3737}}</ref> ：'''度 Degree ''',作为网络中一种纯粹的局部度量，能否完全描述网络的可控性？是不是即便稍微远一点的节点，就对网络的可控性没有影响？事实上，对于许多'''现实世界里的网络 Real-World Networks '''，像'''食物网络 Food Webs '''、'''神经元网络 Neuronal Network ''' 和'''代谢网络 Metabolic Network '''，Liu等人计算的<math>{n_\mathrm{D}}^{real}</math><math>和{n_\mathrm{D}}^\mathrm{rand\_degree}</math> 的值并不匹配<ref name="Liu-Nature-11"/>。值得注意的是。如果可控性主要是由度决定，那么为什么对于许多现实世界的网络来说，<math>{n_\mathrm{D}}^{real}</math> 和 <math>{n_\mathrm{D}}^\mathrm{rand\_degree}</math> 如此不同？他们认为<ref name="Liu-Nature-11"/>，这可能是由于度相关性的影响。然而，已有的研究表明<ref name = "Arxiv_Close_Betw"/>，网络的可控性只能通过中间性和封闭性来改变，而完全不需要使用度（图论）或'''度相关性 Degree Correlations '''。(arXiv:1203.5161v1)

[[File:YYL2.pdf|right|thumb|示意图显示了一个有向向网络的控制。对于给定的有向网络（图a），可以计算其最大匹配：没有共同头部或尾部的最大边集。最大匹配将由一组顶点不相交的有向路径和有向环组成（请参见图b中的红色边缘）。如果一个节点是匹配边的头部，则该节点是匹配的（图b中的绿色节点）。否则，它是不匹配的（图b中的白色节点）。那些不匹配的节点是需要施加控制的节点，即驱动节点。通过向这些驱动节点注入信号，可以得到一组以起点为输入的有向路径（见图c）。这些路径被称为“茎”。得到的有向图称为U根因子连接。通过将定向周期“嫁接”到那些“茎”，人们就会得到“芽”。得到的有向图称为'''仙人掌 cacti'''（见图d）。根据结构可控性定理，由于存在跨越受控网络的cacti结构（参见图e），因此该系统是可控的。受控网络（图e）下的cacti结构（图d）是维持可控性的“骨架”。]]

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虽然'''稀疏图 Sparser Graph '''更难以控制<ref name="Liu-Nature-11"/><ref name = "Arxiv_Close_Betw"/> ，但是，中介中心性和紧密度中心性<ref name = "Arxiv_Close_Betw"/>，或'''度异质性 Degree Heterogeneity '''<ref name="Liu-Nature-11"/>在决定具有几乎相似的度分布的稀疏图的可控性中是否起更重要的作用？这是个有趣的问题。

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== 复合量子系统的控制与代数图论 ==

唐糖糖

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