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第117行： + − == 属性 ==+ − − 第345行：
第221行： − + − − * 任何中位数''m''都必须满足⌊''np''⌋ ≤ ''m'' ≤ ⌈''np''⌉。<ref name="KaasBuhrman">{{cite journal|first1=R.|last1=Kaas|first2=J.M.|last2=Buhrman|title=Mean, Median and Mode in Binomial Distributions|journal=Statistica Neerlandica|year=1980|volume=34|issue=1|pages=13–18|doi=10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x}}</ref> + 第385行：
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此词条暂由南风翻译。已由Smile审校
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{{NoteTA|G1=Math
{{short description|Probability distribution}}
|T=zh-tw:二項式分布;zh-cn:二项分布
|1=zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數
|2= zh-cn:泊松; zh-tw:卜瓦松; zh-hk:泊松;
|3=zh-hant:二項分布;zh-tw:二項式分布;zh-cn:二项分布
|4= zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩
}}
{{Infobox 機率分佈
|name =二項分布
|type =質量
-->
-->
-->
{{Probability distribution
| pdf_image = [[File:Binomial distribution pmf.svg|300px|Probability mass function for the binomial distribution]]
| pdf_image = [[File:Binomial distribution pmf.svg|300px|Probability mass function for the binomial distribution]]
| cdf_image = [[File:Binomial distribution cdf.svg|300px|Cumulative distribution function for the binomial distribution]]
| cdf_image = [[File:Binomial distribution cdf.svg|300px|Cumulative distribution function for the binomial distribution]]
| notation = ''B''(''n'', ''p'')
| cdf_image = Cumulative distribution function for the binomial distribution
|parameters =<math>n \geq 0</math> 试验次数 ([[整数]])<br /><math>0\leq p \leq 1</math> 成功概率 ([[实数]])
|support =<math>k \in \{0,\dots,n\}\!</math>
|pdf =<math>{n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!</math>
|cdf =<math>I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!</math>
|mean =<math>n\,p\!</math>
|median =<math>\{\lfloor np\rfloor, \lceil (n+1)p \rceil\}</math>之一
|mode =<math>\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!</math>或<math>\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!-1</math>
|variance =<math>n\,p\,(1-p)\!</math>
|skewness =<math>\frac{1-2\,p}{\sqrt{n\,p\,(1-p)}}\!</math>
|kurtosis =<math>\frac{1-6\,p\,(1-p)}{n\,p\,(1-p)}\!</math>
|entropy =<math>\frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)\!</math>
|mgf =<math>(1-p + p\,e^t)^n \!</math>
|char =<math>(1-p + p\,e^{i\,t})^n \!</math>
}}
}}
===例子 ===
===例子===
假设抛出一枚<font color="#ff8000">有偏硬币 biased coin </font>时，正面朝上的概率为0.3。在6次抛掷中恰好看到4个正面的概率是
假设抛出一枚<font color="#ff8000">有偏硬币 biased coin </font>时，正面朝上的概率为0.3。在6次抛掷中恰好看到4个正面的概率是
==属性==
===期望值和方差===
===期望值和方差 ===
如果''X'' ~ ''B''(''n'', ''p'')，即''X''是一个服从二项分布的随机变量，n 是实验的总数，p 是每个实验得到成功结果的概率，那么''X''的期望值是:
如果''X'' ~ ''B''(''n'', ''p'')，即''X''是一个服从二项分布的随机变量，n 是实验的总数，p 是每个实验得到成功结果的概率，那么''X''的期望值是:
一般来说，没有单一的公式可以找到一个二项分布的中位数，甚至可能不是唯一的。然而，几个特殊的结果是已经确定的:
一般来说，没有单一的公式可以找到一个二项分布的中位数，甚至可能不是唯一的。然而，几个特殊的结果是已经确定的:
* 如果''np''是一个整数，那么它的均值，中位数和模相同且等于''np''。<ref>{{cite journal|last=Neumann|first=P.|year=1966|title=Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung|journal=Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden|volume=19|pages=29–33|language=German}}</ref><ref>Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", [[The Mathematical Gazette]] 94, 331-332.</ref>
*如果''np''是一个整数，那么它的均值，中位数和模相同且等于''np''。<ref>{{cite journal|last=Neumann|first=P.|year=1966|title=Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung|journal=Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden|volume=19|pages=29–33|language=German}}</ref><ref>Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", [[The Mathematical Gazette]] 94, 331-332.</ref>
*任何中位数''m''都必须满足⌊''np''⌋ ≤ ''m'' ≤ ⌈''np''⌉。<ref name="KaasBuhrman">{{cite journal|first1=R.|last1=Kaas|first2=J.M.|last2=Buhrman|title=Mean, Median and Mode in Binomial Distributions|journal=Statistica Neerlandica|year=1980|volume=34|issue=1|pages=13–18|doi=10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x}}</ref>
}}</ref>
}}</ref>
F(k;n,p) \geq \frac{1}{\sqrt{8n\tfrac{k}{n}(1-\tfrac{k}{n})}} \exp\left(-nD\left(\frac{k}{n}\parallel p\right)\right),
<nowiki>F(k;n,p) \geq \frac{1}{\sqrt{8n\tfrac{k}{n}(1-\tfrac{k}{n})}} \exp\left(-nD\left(\frac{k}{n}\parallel p\right)\right),</nowiki>
* 中位数是唯一的并且等于''m'' = [[Rounding|round]](''np'')，此时|''m'' − ''np''| ≤ min{''p'', 1 − ''p''}（<math>''p'' = {{sfrac|1|2}}</math>和 ''n'' 是奇数的情况除外）
*中位数是唯一的并且等于''m'' = [[Rounding|round]](''np'')，此时|''m'' − ''np''| ≤ min{''p'', 1 − ''p''}（<math>''p'' = {{sfrac|1|2}}</math>和 ''n'' 是奇数的情况除外）
这意味着更简单但更宽松的界限
这意味着更简单但更宽松的界限
F(k;n,p) \geq \frac1{\sqrt{2n}} \exp\left(-nD\left(\frac{k}{n}\parallel p\right)\right).
<nowiki>F(k;n,p) \geq \frac1{\sqrt{2n}} \exp\left(-nD\left(\frac{k}{n}\parallel p\right)\right).</nowiki>
For p = 1/2 and k ≥ 3n/8 for even n, it is possible to make the denominator constant:
For p = 1/2 and k ≥ 3n/8 for even n, it is possible to make the denominator constant:
对于''p'' = 1/2且''n''是奇数，任意''m''满足{{sfrac|1|2}} (''n'' − 1) ≤ ''m'' ≤ {{sfrac|1|2}} (''n'' + 1)是一个二项分布的中位数。如果''p'' = 1/2且''n'' 是偶数，那么''m'' = ''n''/2是唯一的中位数:
对于''p'' = 1/2且''n''是奇数，任意''m''满足 (''n'' − 1) ≤ ''m'' ≤ (''n'' + 1)是一个二项分布的中位数。如果''p'' = 1/2且''n'' 是偶数，那么''m'' = ''n''/2是唯一的中位数:
<math>F(k;n,p) \geq \frac1{\sqrt{2n}} \exp\left(-nD\left(\frac{k}{n}\parallel p\right)\right);</math>
<math>F(k;n,p) \geq \frac1{\sqrt{2n}} \exp\left(-nD\left(\frac{k}{n}\parallel p\right)\right);</math>
== 统计推断 ==
==统计推断==
可以加上0.5/n 的连续校正。
可以加上0.5/n 的连续校正。
=== 参数估计 ===
===参数估计===
当''n''已知时，参数''p''可以用成功的比例来估计：<math> \widehat{p} = \frac{x}{n}.</math>。这个估计是用极大似然估计法和矩估计方法来计算的。这个估计是无偏的、一致的且有最小的方差，由Lehmann-Scheffé定理证明，因为它是基于最小充分完备统计量（即：''x''）。它的概率和均方误差（MSE）也是一致估计。
当''n''已知时，参数''p''可以用成功的比例来估计：<math> \widehat{p} = \frac{x}{n}.</math>。这个估计是用极大似然估计法和矩估计方法来计算的。这个估计是无偏的、一致的且有最小的方差，由Lehmann-Scheffé定理证明，因为它是基于最小充分完备统计量（即：''x''）。它的概率和均方误差（MSE）也是一致估计。
对于使用标准均匀分布作为非信息性的先验概率的特殊情况(<math>\operatorname{Beta}(\alpha=1, \beta=1) = U(0,1)</math>)，后验均值估计变为<math>\widehat{p_b} = \frac{x+1}{n+2}</math> (后验模式应只能得出标准估计量)。这种方法被称为继承法则，它是18世纪 Pierre-Simon Laplace提出的。
对于使用标准均匀分布作为非信息性的先验概率的特殊情况(<math>\operatorname{Beta}(\alpha=1, \beta=1) = U(0,1)</math>)，后验均值估计变为<math>\widehat{p_b} = \frac{x+1}{n+2}</math> (后验模式应只能得出标准估计量)。这种方法被称为继承法则，它是18世纪 Pierre-Simon Laplace提出的。
===值信区间 ===
=== 值信区间 ===
{{Main|Binomial proportion confidence interval}}
{{Main|Binomial proportion confidence interval}}
<nowiki>\sin^2 \left(\arcsin \left(\sqrt{\widehat{p\,}}\right) \pm \frac{z}{2\sqrt{n}} \right).</nowiki>
\sin^2 \left(\arcsin \left(\sqrt{\widehat{p\,}}\right) \pm \frac{z}{2\sqrt{n}} \right).
:<math>\sin^2 \left(\arcsin \left(\sqrt{\widehat{p\,}}\right) \pm \frac{z}{2\sqrt{n}} \right).</math>
:<math>\sin^2 \left(\arcsin \left(\sqrt{\widehat{p\,}}\right) \pm \frac{z}{2\sqrt{n}} \right).</math>
在下面的置信区间公式中，变量具有以下含义
在下面的置信区间公式中，变量具有以下含义
* ''n''<sub>1</sub> is the number of successes out of ''n'', the total number of trials
*''n''<sub>1</sub> is the number of successes out of ''n'', the total number of trials
* ''n''<sub>1</sub>是''n''中的成功次数，即试验的总次数。
*''n''<sub>1</sub>是''n''中的成功次数，即试验的总次数。
* <math> \widehat{p\,} = \frac{n_1}{n}</math> is the proportion of successes
*<math> \widehat{p\,} = \frac{n_1}{n}</math> is the proportion of successes
*<math> \widehat{p\,} = \frac{n_1}{n}</math>是成功的比例。
*<math> \widehat{p\,} = \frac{n_1}{n}</math>是成功的比例。
下列公式中的符号在两个地方不同于以前的公式:
下列公式中的符号在两个地方不同于以前的公式:
* <math>z</math> is the <math>1 - \tfrac{1}{2}\alpha</math> [[quantile]] of a [[standard normal distribution]] (i.e., [[probit]]) corresponding to the target error rate <math>\alpha</math>. For example, for a 95% confidence level the error <math>\alpha</math> = 0.05, so <math>1 - \tfrac{1}{2}\alpha</math> = 0.975 and <math>z</math> = 1.96.
*<math>z</math> is the <math>1 - \tfrac{1}{2}\alpha</math> [[quantile]] of a [[standard normal distribution]] (i.e., [[probit]]) corresponding to the target error rate <math>\alpha</math>. For example, for a 95% confidence level the error <math>\alpha</math> = 0.05, so <math>1 - \tfrac{1}{2}\alpha</math> = 0.975 and <math>z</math> = 1.96.
* <math>z</math>是<font color="#ff8000">标准正态分布 standard normal distribution </font>的<math>1 - \tfrac{1}{2}\alpha</math>分位数(即概率)对应的目标错误率 <math>\alpha</math>。例如，95%的<font color="#ff8000">置信度 confidence level </font>的错误率为<math>\alpha</math> = 0.05，因此 <math>1 - \tfrac{1}{2}\alpha</math> = 0.975 并且<math>z</math> = 1.96.
*<math>z</math>是<font color="#ff8000">标准正态分布 standard normal distribution </font>的<math>1 - \tfrac{1}{2}\alpha</math>分位数(即概率)对应的目标错误率 <math>\alpha</math>。例如，95%的<font color="#ff8000">置信度 confidence level </font>的错误率为<math>\alpha</math> = 0.05，因此 <math>1 - \tfrac{1}{2}\alpha</math> = 0.975 并且<math>z</math> = 1.96.
==== Wald 法 ====
====Wald 法====
<math>\frac{p}{z^2}{2n}\widehat{p\,} + \frac{z^2}{2n} + z</math>
<math>\frac{p}{z^2}{2n}\widehat{p\,} + \frac{z^2}{2n} + z</math>
<math> \sqrt{\frac{p}{n}\widehat{p\,}(1 - \widehat{p\,}){n} </math>
<math> \sqrt{\frac{p}{n}\widehat{p\,}(1 - \widehat{p\,}){n} </math>
==== 阿格里斯蒂-库尔方法 ====
====阿格里斯蒂-库尔方法====
<math> \frac{z^2}{4 n^2}</math>
<math> \frac{z^2}{4 n^2}</math>
<ref name=Agresti1988>{{Citation |last1=Agresti |first1=Alan |last2=Coull |first2=Brent A. |date=May 1998 |title=Approximate is better than 'exact' for interval estimation of binomial proportions |url = http://www.stat.ufl.edu/~aa/articles/agresti_coull_1998.pdf |journal=The American Statistician |volume=52 |issue=2 |pages=119–126 |accessdate=2015-01-05 |doi=10.2307/2685469 |jstor=2685469 }}</ref>
<ref name="Agresti1988">{{Citation |last1=Agresti |first1=Alan |last2=Coull |first2=Brent A. |date=May 1998 |title=Approximate is better than 'exact' for interval estimation of binomial proportions |url = http://www.stat.ufl.edu/~aa/articles/agresti_coull_1998.pdf |journal=The American Statistician |volume=52 |issue=2 |pages=119–126 |accessdate=2015-01-05 |doi=10.2307/2685469 |jstor=2685469 }}</ref>
{
{
:: <math> \tilde{p} \pm z \sqrt{ \frac{ \tilde{p} ( 1 - \tilde{p} )}{ n + z^2 } } .</math>
::<math> \tilde{p} \pm z \sqrt{ \frac{ \tilde{p} ( 1 - \tilde{p} )}{ n + z^2 } } .</math>
<math>1 + \frac{z^2}{n}</math>
<math>1 + \frac{z^2}{n}</math>
:: <math> \tilde{p}= \frac{ n_1 + \frac{1}{2} z^2}{ n + z^2 } </math>
::<math> \tilde{p}= \frac{ n_1 + \frac{1}{2} z^2}{ n + z^2 } </math>
确切的(克洛佩尔-皮尔森)方法是最保守的。
确切的(克洛佩尔-皮尔森)方法是最保守的。
==== 弧线法 ====
====弧线法====
设X ~ B(n,p1)和Y ~ B(m,p2)是独立的。设T = (X/n)/(Y/m)。
设X ~ B(n,p1)和Y ~ B(m,p2)是独立的。设T = (X/n)/(Y/m)。
====威尔逊法====
==== 威尔逊法 ====
If X ~ B(n, p) and Y | X ~ B(X, q) (the conditional distribution of Y, given X), then Y is a simple binomial random variable with distribution Y ~ B(n, pq).
If X ~ B(n, p) and Y | X ~ B(X, q) (the conditional distribution of Y, given X), then Y is a simple binomial random variable with distribution Y ~ B(n, pq).
<math> 1 + \frac{z^2}{n}</math>
<math> 1 + \frac{z^2}{n}</math>
<math>\Pr[Y = m] &= \binom{n}{m} p^m q^m \left( \sum_{k=m}^n \binom{n-m}{k-m} p^{k-m} (1-p)^{n-k} (1-q)^{k-m} \right) \\[2pt]}</math><ref>{{cite book
<math>\Pr[Y = m] &= \binom{n}{m} p^m q^m \left( \sum_{k=m}^n \binom{n-m}{k-m} p^{k-m} (1-p)^{n-k} (1-q)^{k-m} \right) \\[2pt]}</math><ref><nowiki>{{cite book</nowiki>
<math> &= \binom{n}{m} (pq)^m \left( \sum_{k=m}^n \binom{n-m}{k-m} \left(p(1-q)\right)^{k-m} (1-p)^{n-k} \right)</math>
<math> &= \binom{n}{m} (pq)^m \left( \sum_{k=m}^n \binom{n-m}{k-m} \left(p(1-q)\right)^{k-m} (1-p)^{n-k} \right)</math>
| chapter = Confidence intervals
| chapter =Confidence intervals
| chapter-url = http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section2/prc241.htm
| chapter-url =http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section2/prc241.htm
After substituting i = k - m in the expression above, we get
After substituting i = k - m in the expression above, we get
| title = Engineering Statistics Handbook
| title =Engineering Statistics Handbook
\Pr[Y = m] = \binom{n}{m} (pq)^m \left( \sum_{i=0}^{n-m} \binom{n-m}{i} (p - pq)^i (1-p)^{n-m - i} \right)
\Pr[Y = m] = \binom{n}{m} (pq)^m \left( \sum_{i=0}^{n-m} \binom{n-m}{i} (p - pq)^i (1-p)^{n-m - i} \right)
| publisher = NIST/Sematech
| publisher =NIST/Sematech
Notice that the sum (in the parentheses) above equals (p - pq + 1 - p)^{n-m} by the binomial theorem. Substituting this in finally yields
Notice that the sum (in the parentheses) above equals (p - pq + 1 - p)^{n-m} by the binomial theorem. Substituting this in finally yields
| year = 2012
| year =2012
1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.4.3
1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.4.3
| access-date = 2017-07-23
| access-date =2017-07-23
<math> \Pr[Y=m] &= \binom{n}{m} (pq)^m (p - pq + 1 - p)^{n-m}\\[4pt]</math>
<math> \Pr[Y=m] &= \binom{n}{m} (pq)^m (p - pq + 1 - p)^{n-m}\\[4pt]</math>
}}</ref>
<nowiki>}}</nowiki></ref>
<math> &= \binom{n}{m} (pq)^m (1-pq)^{n-m}</math>
<math> &= \binom{n}{m} (pq)^m (1-pq)^{n-m}</math>
==== 比较 ====
====比较====
因此<math>Y \sim B(n, pq)</math>为所需值。
因此<math>Y \sim B(n, pq)</math>为所需值。
伯努利分布是二项分布的一个特例，其中n = 1。在符号上，X ~ B(1, p)与X ~ Bernoulli(p)具有相同的意义。反之，任何二项分布B(n, p)是 n 个伯努利试验和的分布，每个试验的概率 p 相同。
伯努利分布是二项分布的一个特例，其中n = 1。在符号上，X ~ B(1, p)与X ~ Bernoulli(p)具有相同的意义。反之，任何二项分布B(n, p)是 n 个伯努利试验和的分布，每个试验的概率 p 相同。
==相关分布==
== 相关分布==
<math>\mathcal{N}(np,\,np(1-p))</math>
<math>\mathcal{N}(np,\,np(1-p))</math>
基本近似通常随着 n 的增加而改进(至少20) ，当 p 不接近0或1时更好。经验法则可以用来判断 n 是否足够大，p的极值是否远离0或1:
基本近似通常随着 n 的增加而改进(至少20) ，当 p 不接近0或1时更好。经验法则可以用来判断 n 是否足够大，p的极值是否远离0或1:
This result was first derived by Katz and coauthors in 1978.<ref name=Katz1978>{{cite journal |last1=Katz |first1=D. |displayauthors=1 |first2=J. |last2=Baptista |first3=S. P. |last3=Azen |first4=M. C. |last4=Pike |year=1978 |title=Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies |journal=Biometrics |volume=34 |issue=3 |pages=469–474 |doi=10.2307/2530610 |jstor=2530610 }}</ref>
This result was first derived by Katz and coauthors in 1978.<ref name="Katz1978">{{cite journal |last1=Katz |first1=D. |displayauthors=1 |first2=J. |last2=Baptista |first3=S. P. |last3=Azen |first4=M. C. |last4=Pike |year=1978 |title=Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies |journal=Biometrics |volume=34 |issue=3 |pages=469–474 |doi=10.2307/2530610 |jstor=2530610 }}</ref>
这个结果最早是由卡兹 Katz和合著者在1978年得出的。<ref name=Katz1978>{{cite journal |last1=Katz |first1=D. |displayauthors=1 |first2=J. |last2=Baptista |first3=S. P. |last3=Azen |first4=M. C. |last4=Pike |year=1978 |title=Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies |journal=Biometrics |volume=34 |issue=3 |pages=469–474 |doi=10.2307/2530610 |jstor=2530610 }}</ref>
这个结果最早是由卡兹 Katz和合著者在1978年得出的。<ref name="Katz1978">{{cite journal |last1=Katz |first1=D. |displayauthors=1 |first2=J. |last2=Baptista |first3=S. P. |last3=Azen |first4=M. C. |last4=Pike |year=1978 |title=Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies |journal=Biometrics |volume=34 |issue=3 |pages=469–474 |doi=10.2307/2530610 |jstor=2530610 }}</ref>
则log(''T'')近似正态分布，均值为log(''p''<sub>1</sub>/''p''<sub>2</sub>)，方差为((1/''p''<sub>1</sub>) - 1)/''n'' + ((1/''p''<sub>2</sub>) - 1)/''m''。
则log(''T'')近似正态分布，均值为log(''p''<sub>1</sub>/''p''<sub>2</sub>)，方差为((1/''p''<sub>1</sub>) - 1)/''n'' + ((1/''p''<sub>2</sub>) - 1)/''m''。
伯努利分布是二项分布的特例，其中''n'' = 1.从符号上看，''X'' ~ B(1, ''p'')与''X'' ~ Bernoulli(''p'')具有相同的意义。相反，任何二项分布，B(''n'', ''p'')是''n''个伯努利试验的和的分布，每个概率''p''相同。<ref>{{cite web|last1=Taboga|first1=Marco|title=Lectures on Probability Theory and Mathematical Statistics|url=https://www.statlect.com/probability-distributions/binomial-distribution#hid3|website=statlect.com|accessdate=18 December 2017}}</ref>
伯努利分布是二项分布的特例，其中''n'' = 1.从符号上看，''X'' ~ B(1, ''p'')与''X'' ~ Bernoulli(''p'')具有相同的意义。相反，任何二项分布，B(''n'', ''p'')是''n''个伯努利试验的和的分布，每个概率''p''相同。<ref>{{cite web|last1=Taboga|first1=Marco|title=Lectures on Probability Theory and Mathematical Statistics|url=https://www.statlect.com/probability-distributions/binomial-distribution#hid3|website=statlect.com|accessdate=18 December 2017}}</ref>
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<references />