更改

重整化方法的出发点是基于Ising模型在临界状态下具有广泛的不同标度之间的相似性。然而，这种自相似性具体指的是什么呢？

重整化方法的出发点是基于Ising模型在临界状态下具有广泛的不同标度之间的相似性。然而，这种自相似性具体指的是什么呢？

首先，我们需要从不同的尺度来观察Ising模型。然而，Ising模型本身就是一个N个小磁针构成的晶格系统，晶格之间的距离已经是最小尺度了，我们无法再观察更小尺度的系统。但是，我们可以从更大的尺度来观察Ising模型。这就意味着，我们需要对一些小磁针进行'''信息的忽略'''，从而获得对系统的更粗的描述。这一过程就成为“[[粗粒化]]”（Coase Graining）过程。

首先，我们需要从不同的尺度来观察Ising模型。然而，Ising模型本身就是一个N个小磁针构成的晶格系统，晶格之间的距离已经是最小尺度了，我们无法再观察更小尺度的系统。但是，我们可以从更大的尺度来观察Ising模型。这就意味着，我们需要对一些小磁针进行'''信息的忽略'''，从而获得对系统的更粗的描述。这一过程就成为“[[粗粒化]]”（Coase Graining）过程。

其次，我们应如何定义同一个Ising模型不同的尺度下的相似性呢？我们知道，Ising模型是一个包含了随机演化的动力学过程，而不是一个简单的静态图形，因此，我们并不能简单地套用[[分形]]的方法来处理Ising模型。那么，在诸多因素中，哪一个是制约Ising模型最核心的因素呢？根据统计力学，我们知道，这个核心因素就是[[配分函数]]Z(H,T)。这是因为，从配分函数出发，我们可以得到一切热力学量。

其次，我们应如何定义同一个Ising模型不同的尺度下的相似性呢？我们知道，Ising模型是一个包含了随机演化的动力学过程，而不是一个简单的静态图形，因此，我们并不能简单地套用[[分形]]的方法来处理Ising模型。那么，在诸多因素中，哪一个是制约Ising模型最核心的因素呢？根据统计力学，我们知道，这个核心因素就是[[配分函数]]Z(H,T)。这是因为，从配分函数出发，我们可以得到一切热力学量。

我们已知，Ising模型的稳态分布为：

我们已知，Ising模型的稳态分布为：

<math>

<math>

这是著名的[[玻尔兹曼分布]]，其中Z为概率归一化常数，也是H和T的函数，因此成为配分函数，它可以写为：

这是著名的[[玻尔兹曼分布]]，其中Z为概率归一化常数，也是H和T的函数，因此成为配分函数，它可以写为：

<math>

<math>

Z(H,T)=\sum_{\{s_i\}}\exp(-\frac{E_{\{s_i\}}}{kT})

Z(H,T)=\sum_{\{s_i\}}\exp(-\frac{E_{\{s_i\}}}{kT})

</math>

</math>

通过Z(H,T)，我们可以求出一切Ising模型的热力学量。例如，配分函数对外场H求导就可以得出平均磁场强度。

通过Z(H,T)，我们可以求出一切Ising模型的热力学量。例如，配分函数对外场H求导就可以得出平均磁场强度。

\frac{\partial{\ln{Z(T,H)}}}{\partial{H}}=\frac{1}{Z}\sum_{\{s_i\}}{\frac{\sum_{i=1}^N {s_i}}{kT}}\exp{(-\frac{\sum_{\{s_i\}}E_{\{s_i\}}}{kT})}=\frac{\langle M\rangle}{kT}

\frac{\partial{\ln{Z(T,H)}}}{\partial{H}}=\frac{1}{Z}\sum_{\{s_i\}}{\frac{\sum_{i=1}^N {s_i}}{kT}}\exp{(-\frac{\sum_{\{s_i\}}E_{\{s_i\}}}{kT})}=\frac{\langle M\rangle}{kT}

</math>

</math>

对H的二阶导数就是磁导率：

对H的二阶导数就是磁导率：

\chi=kT\frac{\partial {^2\ln{Z(T,H)}}}{\partial{H^2}}

\chi=kT\frac{\partial {^2\ln{Z(T,H)}}}{\partial{H^2}}

</math>

</math>

对温度T求二阶导数就是比热：

对温度T求二阶导数就是比热：

c=-T\frac{\partial^2{\ln{Z}}}{\partial{T^2}}

c=-T\frac{\partial^2{\ln{Z}}}{\partial{T^2}}

</math>

</math>

因此，只要配分函数的函数形式确定之后，系统的一切热力学性质就都确定下来了。这样，当我们说Ising模型在两个尺度彼此相似的时候，实际上是在说两个不同尺度下的配分函数形式相同。

因此，只要配分函数的函数形式确定之后，系统的一切热力学性质就都确定下来了。这样，当我们说Ising模型在两个尺度彼此相似的时候，实际上是在说两个不同尺度下的配分函数形式相同。

总结来看，重整化操作实际上包含两大步骤，（1）对系统进行粗粒化，从两个不同的尺度上描述Ising模型；（2）写出两个不同尺度下的配分函数，让它们的形式彼此相同。根据这个条件，我们就可以写出重整化群方程，从而计算出我们想要的值。

总结来看，重整化操作实际上包含两大步骤，（1）对系统进行粗粒化，从两个不同的尺度上描述Ising模型；（2）写出两个不同尺度下的配分函数，让它们的形式彼此相同。根据这个条件，我们就可以写出重整化群方程，从而计算出我们想要的值。

===一维ISING模型的重整化===

===一维ISING模型的重整化===