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{{#seo:
|keywords=伊辛模型,统计物理,相变与临界现象
|description=是用来解释铁磁系统相变的一个简单模型
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有关于Ising模型的介绍，请参看[[ISING模型]]。在Ising模型的介绍中，我们给出了模型的模拟结果，但是，我们仍然不知道临界温度<math>T_C</math>是如何求出的。另外，在[[临界状态]]中，系统的热力学量呈现出一系列的标度行为，它们可以由幂指数<math>\alpha,\beta,\gamma,\eta</math>等来刻画，但是我们仍然不知道如何求出它们的数值。尽管对Ising求解有很多种方法，[[重整化]]则是这些方法中最独特的一个。它一反传统方法的讨论，即从模型的动力学性质或者统计性质出发，求出临界温度和幂律指数，而是直接从模型处于临界时候所展现出来的自相似性出发直接对模型进行重整化计算，而忽略模型的详细规则。
有关于Ising模型的介绍，请参看[[ISING模型]]。在Ising模型的介绍中，我们给出了模型的模拟结果，但是，我们仍然不知道临界温度<math>T_C</math>是如何求出的。另外，在[[临界状态]]中，系统的热力学量呈现出一系列的标度行为，它们可以由幂指数<math>\alpha,\beta,\gamma,\eta</math>等来刻画，但是我们仍然不知道如何求出它们的数值。尽管对Ising求解有很多种方法，[[重整化]]则是这些方法中最独特的一个。它一反传统方法的讨论，即从模型的动力学性质或者统计性质出发，求出临界温度和幂律指数，而是直接从模型处于临界时候所展现出来的自相似性出发直接对模型进行重整化计算，而忽略模型的详细规则。
对于Ising模型的重整化方法主要包括：实空间的重整化和波数空间（或者叫动量空间）的重整化两种方法。前者比较直观，即从对Ising所在的空间进行不同尺度的缩放操作，从而得到模型的尺度不变性质。后者虽然比较抽象，而且依赖于Ising模型配分函数的空间积分形式，但是却可以得到比较精确，而且不依赖于[[粗粒化]]方法的解。
对于Ising模型的重整化方法主要包括：实空间的重整化和波数空间（或者叫动量空间）的重整化两种方法。前者比较直观，即从对Ising所在的空间进行不同尺度的缩放操作，从而得到模型的尺度不变性质。后者虽然比较抽象，而且依赖于Ising模型配分函数的空间积分形式，但是却可以得到比较精确，而且不依赖于[[粗粒化]]方法的解。
</br>
===实空间的重整化===
===实空间的重整化===
一维Ising不存在临界相变点，因此重整化群方程也不能得到非平凡的解。但是，由于一维Ising模型的重整化操作简单易懂，所以我们还是先用一维模型来讨论重整化的整体思路。
一维Ising不存在临界相变点，因此重整化群方程也不能得到非平凡的解。但是，由于一维Ising模型的重整化操作简单易懂，所以我们还是先用一维模型来讨论重整化的整体思路。
首先，一维Ising形成了一条链，并且相邻的两个小磁针彼此有相互作用如下图第一行所示，其中a表示两个磁针之间的间隔。
首先，一维Ising形成了一条链，并且相邻的两个小磁针彼此有相互作用如下图第一行所示，其中a表示两个磁针之间的间隔。
然后，我们要对该系统进行粗粒化描述。即观察者站在更远的距离来观察这个模型，忽略了一些微观信息。具体过程如下图所示。
然后，我们要对该系统进行粗粒化描述。即观察者站在更远的距离来观察这个模型，忽略了一些微观信息。具体过程如下图所示。
[[File:1drenormalization.png||一维ISING模型的重整化]]
[[File:1drenormalization.png||一维ISING模型的重整化]]
在图中的第一行是原始的模型，第二行是对原始模型的粗粒化，我们把小磁针两两分组，然后简单的忽略了偶数位置上的小磁针的信息，而将奇数位置的小磁针的状态值作为相邻两个小磁针作为一个粗粒化的“大磁针”的整体状态。其中某一个大磁针的状态就用<math>s_I</math>，它也仅仅取-1或者+1，并且数值上与奇数位置的小磁针一样。
在图中的第一行是原始的模型，第二行是对原始模型的粗粒化，我们把小磁针两两分组，然后简单的忽略了偶数位置上的小磁针的信息，而将奇数位置的小磁针的状态值作为相邻两个小磁针作为一个粗粒化的“大磁针”的整体状态。其中某一个大磁针的状态就用<math>s_I</math>，它也仅仅取-1或者+1，并且数值上与奇数位置的小磁针一样。
这样，第二行所表示的新的Ising模型就是将原系统缩小b=2倍之后的粗粒化描述。为了将这个粗糙的Ising模型与原模型相比较，我们将新的模型再画到原始尺寸上（相当于又将每个小磁针的尺寸缩小了b=2倍）就得到了第三行的图。
这样，第二行所表示的新的Ising模型就是将原系统缩小b=2倍之后的粗粒化描述。为了将这个粗糙的Ising模型与原模型相比较，我们将新的模型再画到原始尺寸上（相当于又将每个小磁针的尺寸缩小了b=2倍）就得到了第三行的图。
我们猜想，当系统处于临界温度的时候，这两个不同尺度的模型应该彼此相似，也就是说它们的配分函数应该具有相同的形式。为了讨论简单，我们设外场H=0，这样原始的Ising模型的配分函数可以写成：
我们猜想，当系统处于临界温度的时候，这两个不同尺度的模型应该彼此相似，也就是说它们的配分函数应该具有相同的形式。为了讨论简单，我们设外场H=0，这样原始的Ising模型的配分函数可以写成：
<math>
<math>
其中<math>\sum_{odd}</math>表示对所有的奇数位置的小磁针的所有可能状态组合进行求和，同理，<math>\sum_{odd}</math>表示对所有偶数位置的小磁针的状态组合进行取和。当我们忽略所有的奇数位置上的小磁针信息，根据统计力学，我们应该将上式中偶数小磁针部分的求和号显示地算出来：
其中<math>\sum_{odd}</math>表示对所有的奇数位置的小磁针的所有可能状态组合进行求和，同理，<math>\sum_{odd}</math>表示对所有偶数位置的小磁针的状态组合进行取和。当我们忽略所有的奇数位置上的小磁针信息，根据统计力学，我们应该将上式中偶数小磁针部分的求和号显示地算出来：
<math>
<math>
因为所有小磁针仅仅跟左右两个邻居相互作用，所以指数中的每一项可以写成相邻小磁针状态之和。然后，我们再让每一个变量<math>s_i</math>遍历+1和-1并将它们对配分函数的贡献求和，并且注意到：
因为所有小磁针仅仅跟左右两个邻居相互作用，所以指数中的每一项可以写成相邻小磁针状态之和。然后，我们再让每一个变量<math>s_i</math>遍历+1和-1并将它们对配分函数的贡献求和，并且注意到：
<math>
<math>
其中，<math>\cosh(x)=(\exp(x)+\exp(-x))/2</math>为双曲余弦函数。
其中，<math>\cosh(x)=(\exp(x)+\exp(-x))/2</math>为双曲余弦函数。
我们知道，新尺度下的配分函数应该与原来的配分函数具有同样的形式，即对于任意的i有：
我们知道，新尺度下的配分函数应该与原来的配分函数具有同样的形式，即对于任意的i有：
<math>
<math>
其中，<math>k_0</math>和新的温度<math>T'</math>是待定系数，我们可以通过代入<math>s_{i-1},s_{i+1}</math>以特殊的值（注意它们只能取+1，-1两个可能值），利用待定系数法就可以把位置的系数<math>k_0,T'</math>求出来，即求解下列两个联立方程('''*''')：
其中，<math>k_0</math>和新的温度<math>T'</math>是待定系数，我们可以通过代入<math>s_{i-1},s_{i+1}</math>以特殊的值（注意它们只能取+1，-1两个可能值），利用待定系数法就可以把位置的系数<math>k_0,T'</math>求出来，即求解下列两个联立方程('''*''')：
<math>
<math>
只要参数<math>k_0,T'</math>满足这两个方程，我们代回到原来的粗粒化后的ISING模型的配分函数，就可以得到：
只要参数<math>k_0,T'</math>满足这两个方程，我们代回到原来的粗粒化后的ISING模型的配分函数，就可以得到：
<math>
<math>
在进行了无穷大次重整化操作以后，得到不动点(令<math>s\rightarrow \infty</math>)：
在进行了无穷大次重整化操作以后，得到不动点(令<math>s\rightarrow \infty</math>)：
<math>\frac{1}{kT^{*}}=\frac{1}{2}\log (\cosh (\frac{2}{kT^{*}}))</math>
这个方程就是温度T所要满足的重整化群不动点方程，从中求解出T*，得到唯一的稳定解：
这个方程就是温度T所要满足的重整化群不动点方程，从中求解出T*，得到唯一的稳定解：
<math>T^*=0</math>
<math>T^*=0</math>
就是临界温度。因此，我们用重整化群的方法求解出了一维Ising模型的临界温度为0。但是，温度为0这一点并不是系统的相变点。但却是一维模型中的一个平凡的满足自相似性的点(因为配分函数在标度变换下保持不变)。所以，重整化群方法进行了成功的预测。
就是临界温度。因此，我们用重整化群的方法求解出了一维Ising模型的临界温度为0。但是，温度为0这一点并不是系统的相变点。但却是一维模型中的一个平凡的满足自相似性的点(因为配分函数在标度变换下保持不变)。所以，重整化群方法进行了成功的预测。
===二维ISING模型的重整化===
===二维ISING模型的重整化===
我们可以采用类似的思路对二维网格上面的Ising模型进行重整化，写出重整化群方程。但是，由于二维模型的邻域结构远比一维模型复杂，因此，重整化方法也变得复杂。我们可以按照直观的方法对空间网格进行归并，但是这样计算写出的式子非常繁琐。为了让重整化方程简单，我们不得不增加自由参数的个数（类似一维模型中的k0和T'），在二维模型中，我们需要考虑至少4个自由待定参数，即<math>K_1,K_2,K_3,K_4</math>。
我们可以采用类似的思路对二维网格上面的Ising模型进行重整化，写出重整化群方程。但是，由于二维模型的邻域结构远比一维模型复杂，因此，重整化方法也变得复杂。我们可以按照直观的方法对空间网格进行归并，但是这样计算写出的式子非常繁琐。为了让重整化方程简单，我们不得不增加自由参数的个数（类似一维模型中的k0和T'），在二维模型中，我们需要考虑至少4个自由待定参数，即<math>K_1,K_2,K_3,K_4</math>。
首先，我们对二维网格ISING模型进行粗粒化描述，见下图：
首先，我们对二维网格ISING模型进行粗粒化描述，见下图：
为了使得后面的计算尽量简单，我们并没有直接将二维网格划分成<math>b\times b</math>的大网格，而是按照上图(a)所示方法进行忽略信息。即将图(a)中的灰色方格的小磁针忽略掉，只保留白色格子的小磁针。接下来得到的图(b)就是保留下白色方格小磁针之后的ISING模型。注意原模型中的<math>s_5</math>去掉了，在新模型图(b)中，小磁针1,2,3,4成为了邻居。将图(b)顺时针旋转45度，并将尺度缩小<math>1/\sqrt(2)</math>就可以得到跟原模型（图(a)）一致的Ising模型。图b和c中的虚线为二维Ising模型重整化群过程引入的非近邻相互作用（参见下文）。
为了使得后面的计算尽量简单，我们并没有直接将二维网格划分成<math>b\times b</math>的大网格，而是按照上图(a)所示方法进行忽略信息。即将图(a)中的灰色方格的小磁针忽略掉，只保留白色格子的小磁针。接下来得到的图(b)就是保留下白色方格小磁针之后的ISING模型。注意原模型中的<math>s_5</math>去掉了，在新模型图(b)中，小磁针1,2,3,4成为了邻居。将图(b)顺时针旋转45度，并将尺度缩小<math>1/\sqrt(2)</math>就可以得到跟原模型（图(a)）一致的Ising模型。图b和c中的虚线为二维Ising模型重整化群过程引入的非近邻相互作用（参见下文）。
同样地，我们可以将原系统的配分函数写成两部分，一部分为去掉的黑色方格的，另一部分为剩下的白色格子的。另外，为了记号方便，我们记<math>K_1=\frac{1}{kT}</math>：
同样地，我们可以将原系统的配分函数写成两部分，一部分为去掉的黑色方格的，另一部分为剩下的白色格子的。另外，为了记号方便，我们记<math>K_1=\frac{1}{kT}</math>：
<math>
<math>
把黑色部分的求和求出来，既得到了新标度的Ising模型（图(c)）的配分函数：
把黑色部分的求和求出来，既得到了新标度的Ising模型（图(c)）的配分函数：
<math>
<math>
期中<math>s_{i,1},s_{i,2},s_{i,3},s_{i,4}</math>为第i个小磁针的上下左右4个邻居。为了让这个新的配分函数保持与原来的配分函数一致，需要引入<math>K_0',K_1',K_2',K_3'</math>四个待定系数使得如下方程成立：
期中<math>s_{i,1},s_{i,2},s_{i,3},s_{i,4}</math>为第i个小磁针的上下左右4个邻居。为了让这个新的配分函数保持与原来的配分函数一致，需要引入<math>K_0',K_1',K_2',K_3'</math>四个待定系数使得如下方程成立：
<math>
<math>
在其中，我们主要关心参数<math>K_1'</math>，因为只有它与温度有关，经过一系列计算和近似，我们可以写出该参数的重整化群不动点方程：
在其中，我们主要关心参数<math>K_1'</math>，因为只有它与温度有关，经过一系列计算和近似，我们可以写出该参数的重整化群不动点方程：
<math>
<math>
求解这个方程的迭代不动点，我们得到了一个非0解：<math>K_1^{*}=0.507</math>，这是一个非平凡的不动点。因此，我们通过<math>K_1=\frac{1}{kT^{*}}</math>得到了二维Ising模型的临界温度。
求解这个方程的迭代不动点，我们得到了一个非0解：<math>K_1^{*}=0.507</math>，这是一个非平凡的不动点。因此，我们通过<math>K_1=\frac{1}{kT^{*}}</math>得到了二维Ising模型的临界温度。
===Wilson的重整化群理论===
===Wilson的重整化群理论===
上面讨论了一维和二维ISING模型的重整化方法，其中用到的粗粒化操作和重整化方程显得过于任意。尤其是对于二维Ising模型进行重整化，为了得到合理的重整化的配分函数，必须引入次近邻的相互作用，而这种相互作用在原始的模型中是不存在的。
上面讨论了一维和二维ISING模型的重整化方法，其中用到的粗粒化操作和重整化方程显得过于任意。尤其是对于二维Ising模型进行重整化，为了得到合理的重整化的配分函数，必须引入次近邻的相互作用，而这种相互作用在原始的模型中是不存在的。
为了避免这个矛盾，Wilson首先提出了广义的Ising模型，其中，次近邻、次次近邻相互作用在原始模型中都是允许的。其次，Wilson讨论了更一般的对于广义ISING模型的重整化操作，和广义的重整化群方程。这种重整化并不牵扯到具体的粗粒化方法，因此是一种高度的概括。但是，在这种抽象的重整化操作下，我们还能计算出各种热力学变量随温度幂律变化的幂指数。总之，Wilson为重整化群操作奠定了坚实的数学基础。
为了避免这个矛盾，Wilson首先提出了广义的Ising模型，其中，次近邻、次次近邻相互作用在原始模型中都是允许的。其次，Wilson讨论了更一般的对于广义ISING模型的重整化操作，和广义的重整化群方程。这种重整化并不牵扯到具体的粗粒化方法，因此是一种高度的概括。但是，在这种抽象的重整化操作下，我们还能计算出各种热力学变量随温度幂律变化的幂指数。总之，Wilson为重整化群操作奠定了坚实的数学基础。
Wilson重整化方法的核心观点是，首先，针对广义的Ising模型，我们用一个参数向量<math>(K_0,K_1,K_2,\cdot\cdot\cdot)</math>来刻画，这是最广义的Ising模型，它包含了近邻、次近邻、三体、四体等等各种相互作用。其次，Wilson讨论一般的重整化算符R，把它反复应用在Ising模型上，就得到了广义参数空间<math>(K_0,K_1,K_2,\cdot\cdot\cdot)</math>中的一个重整化流。而这个重整化流的最终吸引子就是临界点（对应临界参数K*）。最后，将重整化算子R在临界点K*附近泰勒展开，就可以把R进行线性化，而线性化算子的特征根的对数就对应了相关的临界指数，而特征向量就是重整化操作中重要的参数。
Wilson重整化方法的核心观点是，首先，针对广义的Ising模型，我们用一个参数向量<math>(K_0,K_1,K_2,\cdot\cdot\cdot)</math>来刻画，这是最广义的Ising模型，它包含了近邻、次近邻、三体、四体等等各种相互作用。其次，Wilson讨论一般的重整化算符R，把它反复应用在Ising模型上，就得到了广义参数空间<math>(K_0,K_1,K_2,\cdot\cdot\cdot)</math>中的一个重整化流。而这个重整化流的最终吸引子就是临界点（对应临界参数K*）。最后，将重整化算子R在临界点K*附近泰勒展开，就可以把R进行线性化，而线性化算子的特征根的对数就对应了相关的临界指数，而特征向量就是重整化操作中重要的参数。
====广义的ISING模型====
====广义的ISING模型====
广义的Ising允许次近邻相互作用、三体相互作用、四体相互作用……。也就是说，广义Ising模型的能量可以写成如下的形式：
广义的Ising允许次近邻相互作用、三体相互作用、四体相互作用……。也就是说，广义Ising模型的能量可以写成如下的形式：
<math>
<math>
其中nnn表示次近邻（next nearest neighbors），three表示任意的三体相互作用。因此，广义Ising模型就由一组参数（构成了一个向量）来刻画：
其中nnn表示次近邻（next nearest neighbors），three表示任意的三体相互作用。因此，广义Ising模型就由一组参数（构成了一个向量）来刻画：
<math>
<math>
这种广义模型当然涵盖了原始的Ising模型，只要令相应的次近邻相互作用、三体相互作用、四体相互作用等系数为0就可以了。
这种广义模型当然涵盖了原始的Ising模型，只要令相应的次近邻相互作用、三体相互作用、四体相互作用等系数为0就可以了。
====重整化群算符====
====重整化群算符====
所谓的重整化群操作实际上就是通过两个不同的尺度来刻画系统，并且让它们的配分函数保持形式不变。假设我们对原始模型放大尺度<math>b_1</math>倍，我们通过原始模型的配分函数，求和掉忽略的小磁针状态，而得到新的尺度<math>b_1</math>下的Ising模型。假设原始的模型和新尺度下的模型分别可以用参数向量<math>{K},{K'}</math>来刻画，为了保证两个尺度的配分函数形式不变，我们会得到这两个参数向量的重整化方程：
所谓的重整化群操作实际上就是通过两个不同的尺度来刻画系统，并且让它们的配分函数保持形式不变。假设我们对原始模型放大尺度<math>b_1</math>倍，我们通过原始模型的配分函数，求和掉忽略的小磁针状态，而得到新的尺度<math>b_1</math>下的Ising模型。假设原始的模型和新尺度下的模型分别可以用参数向量<math>{K},{K'}</math>来刻画，为了保证两个尺度的配分函数形式不变，我们会得到这两个参数向量的重整化方程：
<math>
<math>
其中，<math>R_{b_1}</math>就是一个广义的重整化算符。例如在一维模型中，这个算符写成（*）式，在二维模型中，这个算符就是(**)对应的映射。实际上，只要我们按照恰当的方法进行粗粒化操作，都可以表达成广义的算符R。
其中，<math>R_{b_1}</math>就是一个广义的重整化算符。例如在一维模型中，这个算符写成（*）式，在二维模型中，这个算符就是(**)对应的映射。实际上，只要我们按照恰当的方法进行粗粒化操作，都可以表达成广义的算符R。
接下来，我们还可以反复地将系统扩大<math>b_2</math>倍<math>b_3</math>倍等等。这就相当于我们得到了一系列参数向量：
接下来，我们还可以反复地将系统扩大<math>b_2</math>倍<math>b_3</math>倍等等。这就相当于我们得到了一系列参数向量：
<math>
<math>
K''=R_{b_2}(K')=R_{b_2b_1}(K),
K''=R_{b_2}(K')=R_{b_2b_1}(K),
</math>
</math>
<math>
<math>
K'''=R_{b_3}(K'')=R_{b_3b_2}(K')=R_{b_3b_2b_1}(K)
K'''=R_{b_3}(K'')=R_{b_3b_2}(K')=R_{b_3b_2b_1}(K)
等等。同时，我们知道将一个系统放大<math>b_2 b_3</math>与先放大<math>b_2</math>，再放大<math>b_3</math>倍没有区别，也就是重整化算符满足：
等等。同时，我们知道将一个系统放大<math>b_2 b_3</math>与先放大<math>b_2</math>，再放大<math>b_3</math>倍没有区别，也就是重整化算符满足：
<math>
<math>
所以，R构成了一个单参数化的[[半群]]，也叫重整化群。
所以，R构成了一个单参数化的[[半群]]，也叫重整化群。
====重整化流====
====重整化流====
其次，对同一个Ising模型上反复做重整化就会得到一系列的参数：
其次，对同一个Ising模型上反复做重整化就会得到一系列的参数：
<math>
<math>
图中所示的折线就表示重整化流构成的参数空间中的轨迹。这个轨迹可能最终会收敛到一个不动点<math>K^*</math>（图中红色点所示）。当到达不动点的时候，系统处于临界状态。因此，所谓的临界状态就是重整化操作的一个不动点。即一个特殊的参数向量K*，满足：
图中所示的折线就表示重整化流构成的参数空间中的轨迹。这个轨迹可能最终会收敛到一个不动点<math>K^*</math>（图中红色点所示）。当到达不动点的时候，系统处于临界状态。因此，所谓的临界状态就是重整化操作的一个不动点。即一个特殊的参数向量K*，满足：
<math>
<math>
====普适类====
====普适类====
更有趣的是，由于<math>K^*</math>是吸引子，所以参数空间中的其他参数点在重整化群操作下也有可能会收敛到K*点。这些最终可能被吸收到K*的所有参数点集合就构成了一个普适类(universality class)。如上图中曲面就是这个集合，以这些参数组合为基本参数的Ising模型经过相同的一系列重整化算符R操作，都会收敛到K*点，所以这些Ising模型就都属于同一种普适类。
更有趣的是，由于<math>K^*</math>是吸引子，所以参数空间中的其他参数点在重整化群操作下也有可能会收敛到K*点。这些最终可能被吸收到K*的所有参数点集合就构成了一个普适类(universality class)。如上图中曲面就是这个集合，以这些参数组合为基本参数的Ising模型经过相同的一系列重整化算符R操作，都会收敛到K*点，所以这些Ising模型就都属于同一种普适类。
除了四方网格的Ising模型以外，还有三角划分的Ising模型、六角格的Ising模型等，它们都属于同一个普适类，并且这些Ising模型具有同样的临界温度，同样的普适类幂指数（例如<math>\alpha,\beta,\gamma</math>等）。
除了四方网格的Ising模型以外，还有三角划分的Ising模型、六角格的Ising模型等，它们都属于同一个普适类，并且这些Ising模型具有同样的临界温度，同样的普适类幂指数（例如<math>\alpha,\beta,\gamma</math>等）。
====临界指数====
====临界指数====
我们下面来对重整化算符R做线性近似。首先我们可以将算子R在不动点K*附近做泰勒展开：
我们下面来对重整化算符R做线性近似。首先我们可以将算子R在不动点K*附近做泰勒展开：
<math>
<math>
另一方面，我们可以把R(K)写成：
另一方面，我们可以把R(K)写成：
<math>
<math>
因为K*是不动点，所以：
因为K*是不动点，所以：
<math>
<math>
这样代入上两式就有：
这样代入上两式就有：
<math>
<math>
其中，<math>L_R=\frac{\partial{R}}{\partial{K}}</math>为R在K*点附近的的线性化算子，如果忽略二阶小项就有：
其中，<math>L_R=\frac{\partial{R}}{\partial{K}}</math>为R在K*点附近的的线性化算子，如果忽略二阶小项就有：
<math>
<math>
所以：
所以：
<math>
<math>
我们知道<math>L_R</math>是一个线性化算子，而所有的线性化算子都有特征值<math>\lambda_1,\lambda_2,\cdot\cdot\cdot,\lambda_l</math>和特征向量<math>(\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdot\cdot\cdot,\mathbf{v_l})</math>。<math>L_R</math>的特征向量就张出了参数空间K中的一组基（其中l为维数）。在这组基中，线性化算子<math>L_R</math>可以写成对角阵：
我们知道<math>L_R</math>是一个线性化算子，而所有的线性化算子都有特征值<math>\lambda_1,\lambda_2,\cdot\cdot\cdot,\lambda_l</math>和特征向量<math>(\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdot\cdot\cdot,\mathbf{v_l})</math>。<math>L_R</math>的特征向量就张出了参数空间K中的一组基（其中l为维数）。在这组基中，线性化算子<math>L_R</math>可以写成对角阵：
<math>
<math>
这样，方程<math>\delta K'=L_R\delta K</math>可以在特征向量张成的空间中写成：
这样，方程<math>\delta K'=L_R\delta K</math>可以在特征向量张成的空间中写成：
<math>
<math>
其中<math>\Delta K=K-K_C</math>，即相关参数与临界值之差。这样，我们就可以得到l个相互独立的方程，其中任意一个可以写为：
其中<math>\Delta K=K-K_C</math>，即相关参数与临界值之差。这样，我们就可以得到l个相互独立的方程，其中任意一个可以写为：
<math>
<math>
我们知道算符R满足性质<math>R(b_1)R(b_2)=R(b_1b_2)</math>，所以线性化算符也应该满足<math>L_R(b_1)L_R(b_2)=L_R(b_1b_2)</math>，转到特征向量空间下，就要求任意特征值也应该满足：
我们知道算符R满足性质<math>R(b_1)R(b_2)=R(b_1b_2)</math>，所以线性化算符也应该满足<math>L_R(b_1)L_R(b_2)=L_R(b_1b_2)</math>，转到特征向量空间下，就要求任意特征值也应该满足：
<math>
<math>
其中<math>\lambda_i(b)</math>是关于任意正数b的函数，而满足这个关系的函数只有幂律函数，所以
其中<math>\lambda_i(b)</math>是关于任意正数b的函数，而满足这个关系的函数只有幂律函数，所以
<math>
<math>
其中<math>y_i</math>就是对应特征根的幂律指数。代入到<math>\Delta K_i'=\lambda_i(b)\Delta K_i</math>
其中<math>y_i</math>就是对应特征根的幂律指数。代入到<math>\Delta K_i'=\lambda_i(b)\Delta K_i</math>
中就得到：
中就得到：
<math>
<math>
\Delta K_i'=b^{y_i}\Delta K_i
\Delta K_i'=b^{y_i}\Delta K_i
</math>
</math>
也就是说，在连续进行重整化操作的时候，只有那些相关的参数会逐渐被放大，对系统的行为起到主导作用。因此相应的相关参数的临界指数<math>y_i</math>刻画了系统在重整化过程中的行为本质。
也就是说，在连续进行重整化操作的时候，只有那些相关的参数会逐渐被放大，对系统的行为起到主导作用。因此相应的相关参数的临界指数<math>y_i</math>刻画了系统在重整化过程中的行为本质。
以上的讨论都是针对一般的重整化操作而谈的。当我们回到Ising模型，就会发现，实际的相关参数只有温度T和外场H。于是，在重整化过程中，有：
以上的讨论都是针对一般的重整化操作而谈的。当我们回到Ising模型，就会发现，实际的相关参数只有温度T和外场H。于是，在重整化过程中，有：
<math>
<math>
所以两个临界指数<math>y_t,y_h</math>刻画了系统在临界态附近的特征。再将上述关系代入到配分函数中，我们就可以得到，随着重整化操作：
所以两个临界指数<math>y_t,y_h</math>刻画了系统在临界态附近的特征。再将上述关系代入到配分函数中，我们就可以得到，随着重整化操作：
<math>
<math>
其中d为Ising模型所在空间的维度。这样，我们只需要对配分函数求各个参数(T,H)的导数就能得到其它热力学量，从而给出那些热力学量的临界指数(参看[[ISING模型]])与指数<math>y_t,y_h</math>的关系：
其中d为Ising模型所在空间的维度。这样，我们只需要对配分函数求各个参数(T,H)的导数就能得到其它热力学量，从而给出那些热力学量的临界指数(参看[[ISING模型]])与指数<math>y_t,y_h</math>的关系：
<math>
\alpha=2-\frac{d}{y_t},
\alpha=2-\frac{d}{y_t},
\beta=\frac{d-y_h}{y_t},
\beta=\frac{d-y_h}{y_t},
\eta=d+2-2y_h,
\eta=d+2-2y_h,
\nu=\frac{1}{y_t}
\nu=\frac{1}{y_t}
</math>
至此，重整化群给出了所有临界幂律行为一个合理的解释。
至此，重整化群给出了所有临界幂律行为一个合理的解释。
===波数空间的重整化===
===波数空间的重整化===
前面我们已经讨论过了Ising模型在实空间中的重整化(Real Space Renormalization)。但是重整化中的粗粒化操作显得过于任意。虽然Wilson的重整化群理论克服了这一困难，但是由于牵涉到了无穷维的参数空间，所以重整化算符很难写出具体的表达形式。基于这种考虑，我们在此将介绍一种新的重整化的方法，它不是在直观的实空间中做的，而是在抽象的实空间的[[傅立叶变换]]空间（波数空间）中做重整化。这样的重整化过程比较具体，没有过多的任意性。但是本质思想是与实空间的重整化一致的。
前面我们已经讨论过了Ising模型在实空间中的重整化(Real Space Renormalization)。但是重整化中的粗粒化操作显得过于任意。虽然Wilson的重整化群理论克服了这一困难，但是由于牵涉到了无穷维的参数空间，所以重整化算符很难写出具体的表达形式。基于这种考虑，我们在此将介绍一种新的重整化的方法，它不是在直观的实空间中做的，而是在抽象的实空间的[[傅立叶变换]]空间（波数空间）中做重整化。这样的重整化过程比较具体，没有过多的任意性。但是本质思想是与实空间的重整化一致的。
具体思路是这样：首先，我们需要把配分函数写成函数积分的形式（路径积分）。在此过程中，我们将Ising模型变换到了一个抽象的场<math>\phi</math>，这个场是在实空间下的。其次，我们将对<math>\phi</math>做傅立叶变换，变换到波数空间k下面。于是，配分函数就可以写成波数空间下的积分形式，且积分的上限是无穷大。再次，我们对波数空间下的配分函数的积分范围进行截断，即积分上限近似到<math>\Lambda</math>。然后，对波数空间的积分变量进行重标度，即让<math>k'=k/b</math>，从而可以把原配分函数的积分形式分为两部分。积分掉波数比较大的部分，得到了重整化的新的配分函数的积分形式Z'。最后，要让Z'和原始的Z形式一致，从而列出关于Z中各参数的重整化群方程，求出不动点和临界指数。
具体思路是这样：首先，我们需要把配分函数写成函数积分的形式（路径积分）。在此过程中，我们将Ising模型变换到了一个抽象的场<math>\phi</math>，这个场是在实空间下的。其次，我们将对<math>\phi</math>做傅立叶变换，变换到波数空间k下面。于是，配分函数就可以写成波数空间下的积分形式，且积分的上限是无穷大。再次，我们对波数空间下的配分函数的积分范围进行截断，即积分上限近似到<math>\Lambda</math>。然后，对波数空间的积分变量进行重标度，即让<math>k'=k/b</math>，从而可以把原配分函数的积分形式分为两部分。积分掉波数比较大的部分，得到了重整化的新的配分函数的积分形式Z'。最后，要让Z'和原始的Z形式一致，从而列出关于Z中各参数的重整化群方程，求出不动点和临界指数。
====Ginzburg Landau方程====
====Ginzburg Landau方程====
首先，我们考虑无穷大空间中的ISING模型，离散的小磁针<math>s_i</math>就变成了一个连续的场<math>s(x)</math>。在这种情况下，ISING模型中的配分函数可以变换成这样一种积分的形式：
首先，我们考虑无穷大空间中的ISING模型，离散的小磁针<math>s_i</math>就变成了一个连续的场<math>s(x)</math>。在这种情况下，ISING模型中的配分函数可以变换成这样一种积分的形式：
<math>
<math>
其中，场<math>\phi(x)</math>表示每个小磁针的涨落，它的均值刚好就是第i个小磁针的平均磁矩。L为关于<math>\phi(x)</math>的表达式（省略具体形式）。这个方程就称为Ginzburg Landau方程：http://en.wikipedia.org/wiki/Ginzburg%E2%80%93Landau_equation。
其中，场<math>\phi(x)</math>表示每个小磁针的涨落，它的均值刚好就是第i个小磁针的平均磁矩。L为关于<math>\phi(x)</math>的表达式（省略具体形式）。这个方程就称为Ginzburg Landau方程：http://en.wikipedia.org/wiki/Ginzburg%E2%80%93Landau_equation。
====傅立叶变换====
====傅立叶变换====
接下来，我们对<math>\phi(x)</math>做傅立叶变换：
接下来，我们对<math>\phi(x)</math>做傅立叶变换：
<math>
<math>
其中k为波数，场<math>\phi(x)</math>变换成了波数空间中的场<math>\phi(k)</math>。这样，原配分函数就可以写成：
其中k为波数，场<math>\phi(x)</math>变换成了波数空间中的场<math>\phi(k)</math>。这样，原配分函数就可以写成：
<math>
<math>
<math>L(\phi(k))</math>为相应的傅立叶变换结果。现在积分区间上限到无穷大，我们将对k的积分进行截断到<math>\Lambda</math>
<math>L(\phi(k))</math>为相应的傅立叶变换结果。现在积分区间上限到无穷大，我们将对k的积分进行截断到<math>\Lambda</math>
<math>
<math>
在波数空间中<math>\Lambda</math>相当于高频的上限，考虑到[[傅立叶变换]]中两个空间存在着分辨率和上限的关系，高频上限对应在实空间中就是空间的最小分辨率。
在波数空间中<math>\Lambda</math>相当于高频的上限，考虑到[[傅立叶变换]]中两个空间存在着分辨率和上限的关系，高频上限对应在实空间中就是空间的最小分辨率。
====波数空间的缩放====
====波数空间的缩放====
下面，我们把积分S分成两部分：
下面，我们把积分S分成两部分：
<math>
<math>
其中，b为波数缩小的倍数。[[傅立叶变换]]理论指出，对波数缩小b倍，相当于对空间放大b倍，所以，这里的积分截断相当于作了空间上的放大操作。
其中，b为波数缩小的倍数。[[傅立叶变换]]理论指出，对波数缩小b倍，相当于对空间放大b倍，所以，这里的积分截断相当于作了空间上的放大操作。
====粗粒化====
====粗粒化====
接下来我们把S积分中的第二部分积出来，这相当于使空间中的粗粒化操作，将忽略信息的那部分小磁针对应的配分函数求和掉：
接下来我们把S积分中的第二部分积出来，这相当于使空间中的粗粒化操作，将忽略信息的那部分小磁针对应的配分函数求和掉：
<math>
<math>
其中<math>g(L(\phi))</math>是第二部分积分的结果，为常数，因此又可以合并到前面的积分中去，记为<math>L'=L(\phi(k))+\frac{b}{\Lambda}g(L(\phi))</math>。
其中<math>g(L(\phi))</math>是第二部分积分的结果，为常数，因此又可以合并到前面的积分中去，记为<math>L'=L(\phi(k))+\frac{b}{\Lambda}g(L(\phi))</math>。
====重整化方程====
====重整化方程====
对积分S做变量替换<math>k'=bk</math>，又可以写为：
对积分S做变量替换<math>k'=bk</math>，又可以写为：
<math>
<math>
S=\int_0^{\Lambda}L'(\phi(k'))dk'
S=\int_0^{\Lambda}L'(\phi(k'))dk'
这样这个积分就与原始的积分 <math>S=\int_0^{\Lambda}L(\phi(k))dk</math>有了完全相同的形式。从而比较两个函数L和L'，我们就能写出配分函数中各个系数的重整化方程：
这样这个积分就与原始的积分 <math>S=\int_0^{\Lambda}L(\phi(k))dk</math>有了完全相同的形式。从而比较两个函数L和L'，我们就能写出配分函数中各个系数的重整化方程：
<math>
<math>
从而求得不动点（临界参数），线性化为重整化群，求得各种临界指数。
从而求得不动点（临界参数），线性化为重整化群，求得各种临界指数。
由此，我们看到，波数空间中的重整化与实空间中的重整化异曲同工。然而，波数空间中的重整化利用积分的分解来完成粗粒化操作，比实空间更严格。然而，由于波数空间与实空间被傅利叶变换联系，所以这两种形成一种对偶的关系。
由此，我们看到，波数空间中的重整化与实空间中的重整化异曲同工。然而，波数空间中的重整化利用积分的分解来完成粗粒化操作，比实空间更严格。然而，由于波数空间与实空间被傅利叶变换联系，所以这两种形成一种对偶的关系。
==参考文献==
==参考文献==
*[[Cavity method and belief Propagation for the Ising model]]
*[[Cavity method and belief Propagation for the Ising model]]
==编者推荐==
[[File:复杂网络Ising .jpg|400px|thumb|[https://swarma.org/?p=9944 复杂网络上的伊辛模型]]]
===集智文章===
====[https://swarma.org/?p=9944 复杂网络上的伊辛模型]====
本文将复杂网络与伊辛模型结合，使用随机几何图模型，构造复杂网络，并在网络的基础上运行伊辛模型。探索了其临界温度，发现临界温度与粒子数具有密切关联。同时发现相邻的集团之间，具有较强的独立性，并做了具体的数值分析。临界温度与独立性包涵了重要的现实意义，对于物质生长、凝聚具有解释效力；对于很多社会问题，也可以基于此模型给出解释 。
===集智课程===
====[https://campus.swarma.org/course/310 相变与相变模型]====
本课程的主题是相变，它是一种涌现的模式，是系统表现出来的某种性质在不同情况下的变化。除了相变之外，在本课中还会向大家介绍大名鼎鼎的“伊辛 Model”，最后，还将简单介绍沙堆模型的相关内容。
====[https://campus.swarma.org/course/1578 平衡态伊辛模型的本征微观态及本征值]====
本课程中，展示了 伊辛 模型的蒙特卡洛模拟验证了本征微观态相变理论与有限尺度标度理论，并在全球气温系统中进行了实证分析。
====[https://campus.swarma.org/course/1350 复杂系统中的关联]====
计算了理想玻色气体的关联函数与关联长度,得到高温时，关联长度较短，趋于临界点的时候，关联长度趋于无穷大的结论，并引入了复杂系统的单元-单元关联函数，通过伊辛 模型计算模拟数据证实本征值满足有限尺度标度关系。
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