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第22行：
第22行： − In mathematics, one can consider the scaling properties of a [[function (mathematics)|function]] or [[curve]] {{math|''f'' (''x'')}} under rescalings of the variable {{mvar|x}}. That is, one is interested in the shape of {{math|''f'' (''λx'')}} for some scale factor {{mvar|λ}}, which can be taken to be a length or size rescaling. The requirement for {{math|''f'' (''x'')}} to be invariant under all rescalings is usually taken to be − :<math>f(\lambda x)=\lambda^{\Delta}f(x)</math> − for some choice of exponent {{mvar|Δ}}, and for all dilations {{mvar|λ}}. This is equivalent to {{mvar|f}} being a [[homogeneous function]] of degree {{mvar|Δ}}. + − Examples of scale-invariant functions are the [[monomial]]s <math>f(x)=x^n</math>, for which {{math|Δ {{=}} ''n''}}, in that clearly − − 许多标变函数的实例是单项式： − − <math>f(x)=x^n</math>， − 其中 {{math|Δ {{=}} ''n''}}，且有：+ − − An example of a scale-invariant curve is the [[logarithmic spiral]], a kind of curve that often appears in nature. In [[polar coordinates]] {{math|(''r'', ''θ'')}}, the spiral can be written as 第48行：
第39行： − Allowing for rotations of the curve, it is invariant under all rescalings {{mvar|λ}}; that is, {{math|''θ''(''λr'')}} is identical to a rotated version of {{math|''θ''(''r'')}}. 第64行：
第54行： − − Thus, for example, the [[Koch curve]] scales with {{math|∆ {{=}} 1}}, but the scaling holds only for values of {{math|''λ'' {{=}} 1/3<sup>''n''</sup>}} for integer {{mvar|n}}. In addition, the Koch curve scales not only at the origin, but, in a certain sense, "everywhere": miniature copies of itself can be found all along the curve. 第75行：
第63行： − If {{math|''P''(''f'' )}} is the [[expectation value|average, expected]] power at frequency {{mvar|f }}, then noise scales as − :<math>P(f) = \lambda^{-\Delta} P(\lambda f)</math> − with {{mvar|Δ}} = 0 for [[white noise]], {{mvar|Δ}} = −1 for [[pink noise]], and {{mvar|Δ}} = −2 for [[Brownian noise]] (and more generally, [[Brownian motion]]). − − If is the average, expected power at frequency , then noise scales as − :P(f) = \lambda^{-\Delta} P(\lambda f) − with = 0 for white noise, = −1 for pink noise, and = −2 for Brownian noise (and more generally, Brownian motion). 第102行：
第83行： + 第124行：
第106行： − − For a theory to be scale-invariant, its field equations should be invariant under a rescaling of the coordinates, combined with some specified rescaling of the fields, − :<math>x\rightarrow\lambda x~,</math> − :<math>\varphi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\varphi~.</math> − + − + 第144行：
第122行： − For a particular field configuration, ''φ''(''x''), to be scale-invariant, we require that − :<math>\varphi(x)=\lambda^{-\Delta}\varphi(\lambda x)</math> − − where ''Δ'' is, again, the [[scaling dimension]] of the field. 第162行：
第136行： − − With no charges or currents, [[electromagnetic field#Light as an electromagnetic disturbance|these field equations]] take the form of [[wave equation]]s − :<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math> − :<math>\nabla^2\mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math> − where ''c'' is the speed of light. 第175行：
第144行： − − These field equations are invariant under the transformation − :<math>x\rightarrow\lambda x,</math> − :<math>t\rightarrow\lambda t.</math> 第185行：
第150行： − − Moreover, given solutions of Maxwell's equations, '''E'''('''x''', ''t'') and '''B'''('''x''', ''t''), it holds that − '''E'''(λ'''x''', λ''t'') and '''B'''(λ'''x''', λ''t'') are also solutions. 第195行：
第157行： − − Consider first the linear theory. Like the electromagnetic field equations above, the equation of motion for this theory is also a wave equation, − :<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi = 0,</math> − and is invariant under the transformation − :<math>x\rightarrow\lambda x,</math> − :<math>t\rightarrow\lambda t.</math> − + 第211行：
第167行： − − The name massless refers to the absence of a term <math>\propto m^2\varphi</math> in the field equation. Such a term is often referred to as a `mass' term, and would break the invariance under the above transformation. In [[relativistic field theory|relativistic field theories]], a mass-scale, {{mvar|m}} is physically equivalent to a fixed length scale through − :<math>L=\frac{\hbar}{mc},</math> − and so it should not be surprising that massive scalar field theory is ''not'' scale-invariant. 第224行：
第176行： − The field equations in the examples above are all [[linear]] in the fields, which has meant that the [[scaling dimension]], {{mvar|Δ}}, has not been so important. However, one usually requires that the scalar field [[action (physics)|action]] is dimensionless, and this fixes the [[scaling dimension]] of {{mvar|φ}}. In particular, − :<math>\Delta=\frac{D-2}{2},</math> − where {{mvar|D}} is the combined number of spatial and time dimensions. 第233行：
第182行： − − Given this scaling dimension for {{mvar|φ}}, there are certain nonlinear modifications of massless scalar field theory which are also scale-invariant. One example is massless [[Phi to the fourth|φ<sup>4</sup> theory]] for {{mvar|D}}=4. The field equation is − :<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi+g\varphi^3=0.</math>。 − − (Note that the name {{mvar|φ}}<sup>4</sup> derives from the form of the [[Phi to the fourth#The Lagrangian|Lagrangian]], which contains the fourth power of {{mvar|φ}}. − When {{mvar|D}}=4 (e.g. three spatial dimensions and one time dimension), the scalar field scaling dimension is {{mvar|Δ}}=1. The field equation is then invariant under the transformation − :<math>x\rightarrow\lambda x,</math> − :<math>t\rightarrow\lambda t,</math> − :<math>\varphi (x)\rightarrow\lambda^{-1}\varphi(x).</math> 第256行：
第196行： − The key point is that the parameter {{mvar|g}} must be dimensionless, otherwise one introduces a fixed length scale into the theory: For {{mvar|φ}}<sup>4</sup> theory, this is only the case in {{mvar|D}}=4. − Note that under these transformations the argument of the function {{mvar|φ}} is unchanged. 第263行：
第201行： − The scale-dependence of a [[quantum field theory]] (QFT) is characterised by the way its [[coupling constant|coupling parameters]] depend on the energy-scale of a given physical process. This energy dependence is described by the [[renormalization group]], and is encoded in the [[beta-function]]s of the theory. 第288行：
第225行： − Scale-invariant QFTs are almost always invariant under the full [[conformal symmetry]], and the study of such QFTs is [[conformal field theory]] (CFT). [[operator (physics)|Operators]] in a CFT have a well-defined [[scaling dimension]], analogous to the [[scaling dimension]], ''∆'', of a classical field discussed above. However, the scaling dimensions of operators in a CFT typically differ from those of the fields in the corresponding classical theory. The additional contributions appearing in the CFT are known as [[anomalous scaling dimension]]s. 第294行：
第230行： − The φ<sup>4</sup> theory example above demonstrates that the coupling parameters of a quantum field theory can be scale-dependent even if the corresponding classical field theory is scale-invariant (or conformally invariant). If this is the case, the classical scale (or conformal) invariance is said to be [[conformal anomaly|anomalous]]. A classically scale invariant field theory, where scale invariance is broken by quantum effects, provides an explication of the nearly exponential expansion of the early universe called [[Inflation (cosmology)|cosmic inflation]], as long as the theory can be studied through [[perturbation theory]]. 第325行：
第260行： − +
无编辑摘要
==标度不变曲线与自相似性==
==标度不变曲线与自相似性==
在数学中，我们会考虑函数或曲线在变量{{mvar|x}}重新标度下的标度性质。也就是说，人们对某些标度因子{{mvar|λ}} 对应下{{math|''f'' (''λx'')}}的形状感兴趣，这些标度因子可以被视为长度或大小的重新标度。对于某些选择的指数{{mvar|Δ}}和所有的膨胀{{mvar|λ}}，要求{{math|''f'' (''x'')}} 在所有重新标度下保持不变需要满足：
在数学中，我们会考虑函数或曲线在变量{{mvar|x}}重新标度下的标度性质。也就是说，人们对某些标度因子{{mvar|λ}} 对应下{{math|''f'' (''λx'')}}的形状感兴趣，这些标度因子可以被视为长度或大小的重新标度。对于某些选择的指数{{mvar|Δ}}和所有的膨胀{{mvar|λ}}，要求{{math|''f'' (''x'')}} 在所有重新标度下保持不变需要满足：
<math>f(\lambda x)=\lambda^{\Delta}f(x)</math>
<math>f(\lambda x)=\lambda^{\Delta}f(x)</math>
这等价于{{mvar|f}} 是一个次数为{{mvar|Δ}}的齐次函数。
这等价于{{mvar|f}} 是一个次数为{{mvar|Δ}}的齐次函数。
许多标变函数的实例是单项式：<math>f(x)=x^n</math>，其中 {{math|Δ {{=}} ''n''}}，且有：
<math>f(\lambda x) = (\lambda x)^n = \lambda^n f(x)~.</math>
<math>f(\lambda x) = (\lambda x)^n = \lambda^n f(x)~.</math>
一个标度不变曲线的例子是'''Logarithmic Spiral 对数螺线（等角螺线）'''，这是一种在自然界中经常出现的曲线。在极坐标系中，螺旋线可以写成
一个标度不变曲线的例子是'''Logarithmic Spiral 对数螺线（等角螺线）'''，这是一种在自然界中经常出现的曲线。在极坐标系中，螺旋线可以写成
:<math>\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a)~.</math>
:<math>\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a)~.</math>
在任意重新标度{{mvar|λ}}下，标度不变也允许曲线进行旋转；换句话说，{{math|''θ''(''λr'')}}与其旋转后的{{math|''θ''(''r'')}}一模一样。
在任意重新标度{{mvar|λ}}下，标度不变也允许曲线进行旋转；换句话说，{{math|''θ''(''λr'')}}与其旋转后的{{math|''θ''(''r'')}}一模一样。
有时人们认为分形是标度不变的，尽管更准确地来说，应该说分形是自相似的。分形通常是在某个{{mvar|λ}}值的离散集合内等同于其本身，即使这样，有时也需要通过平移和旋转变换来实现。
有时人们认为分形是标度不变的，尽管更准确地来说，应该说分形是自相似的。分形通常是在某个{{mvar|λ}}值的离散集合内等同于其本身，即使这样，有时也需要通过平移和旋转变换来实现。
因此，以{{math|∆ {{=}} 1}}的'''Koch Curve 科赫雪花'''缩放为例，但是该缩放只适用于{{math|''λ'' {{=}} 1/3<sup>''n''</sup>}}，（{{mvar|n}}为整数）的值。此外，科赫雪花不仅在初始点，而且在某种意义上，在整条曲线上都可以找到其“缩影”。
因此，以{{math|∆ {{=}} 1}}的'''Koch Curve 科赫雪花'''缩放为例，但是该缩放只适用于{{math|''λ'' {{=}} 1/3<sup>''n''</sup>}}，（{{mvar|n}}为整数）的值。此外，科赫雪花不仅在初始点，而且在某种意义上，在整条曲线上都可以找到其“缩影”。
==随机过程中的标度不变性==
==随机过程中的标度不变性==
如果{{math|''P''(''f'' )}}是频率{{mvar|f }}处的平均期望幂，那么噪声依下式标度变化：
如果{{math|''P''(''f'' )}}是频率{{mvar|f }}处的平均期望幂，那么噪声依下式标度变化：
<math>\text{var}\,(Y) = a[\text{E}\,(Y)]^p</math>，
<math>\text{var}\,(Y) = a[\text{E}\,(Y)]^p</math>，
其中a和p是正常数。这种方差-均值的幂律关系在物理学文献中称为'''Fluctuation Scaling 涨落标度'''<ref name="Eisler2008">Eisler, Z.; Bartos, I.; Kertész, J. (2008). "Fluctuation scaling in complex systems: Taylor's law and beyond". ''Adv Phys''. '''57''' (1): 89–142. arXiv:0708.2053. Bibcode:2008AdPhy..57...89E. doi:10.1080/00018730801893043. S2CID 119608542.</ref>，在生态学文献中称为'''Taylor's Law 泰勒定律'''<ref name="Kendal2011a">{{cite journal |last1=Kendal |first1=W. S. |last2=Jørgensen |first2=B. |year=2011 |title=Taylor's power law and fluctuation scaling explained by a central-limit-like convergence |journal=Phys. Rev. E |volume=83 |issue=6 |pages=066115 |doi=10.1103/PhysRevE.83.066115 |pmid=21797449 |bibcode = 2011PhRvE..83f6115K }}</ref>。
其中a和p是正常数。这种方差-均值的幂律关系在物理学文献中称为'''Fluctuation Scaling 涨落标度'''<ref name="Eisler2008">Eisler, Z.; Bartos, I.; Kertész, J. (2008). "Fluctuation scaling in complex systems: Taylor's law and beyond". ''Adv Phys''. '''57''' (1): 89–142. arXiv:0708.2053. Bibcode:2008AdPhy..57...89E. doi:10.1080/00018730801893043. S2CID 119608542.</ref>，在生态学文献中称为'''Taylor's Law 泰勒定律'''<ref name="Kendal2011a">{{cite journal |last1=Kendal |first1=W. S. |last2=Jørgensen |first2=B. |year=2011 |title=Taylor's power law and fluctuation scaling explained by a central-limit-like convergence |journal=Phys. Rev. E |volume=83 |issue=6 |pages=066115 |doi=10.1103/PhysRevE.83.066115 |pmid=21797449 |bibcode = 2011PhRvE..83f6115K }}</ref>。
经典场论一般用依赖于坐标''x'' 的场或场集 φ 来描述。然后通过求解 φ 的微分方程来确定有效的场构型，这些方程被称为场方程。
经典场论一般用依赖于坐标''x'' 的场或场集 φ 来描述。然后通过求解 φ 的微分方程来确定有效的场构型，这些方程被称为场方程。
对于一个具有标度不变性的理论，它的场方程应该在坐标的缩放下保持不变，并结合特定的场的缩放，
对于一个具有标度不变性的理论，它的场方程应该在坐标的缩放下保持不变，并结合特定的场的缩放，
<math>x\rightarrow\lambda x~,</math>，
<math>x\rightarrow\lambda x~</math>，
<math>\varphi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\varphi~.</math>。
<math>\varphi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\varphi~</math>。
参数 {{mvar|Δ}} 称为场的'''Scaling Dimension 标度维数'''，其大小取决于所考虑的理论。如果理论中没有固定长度的标度，标度不变性通常会成立。相反，如果存在固定的长度标度，则表明理论不具有标度不变性。
参数 {{mvar|Δ}} 称为场的'''Scaling Dimension 标度维数'''，其大小取决于所考虑的理论。如果理论中没有固定长度的标度，标度不变性通常会成立。相反，如果存在固定的长度标度，则表明理论不具有标度不变性。
===场结构中的标度不变性===
===场结构中的标度不变性===
对于特定的场构型''φ''(''x'')，要具有标度不变性，我们就要满足：
对于特定的场构型''φ''(''x'')，要具有标度不变性，我们就要满足：
<math>\varphi(x)=\lambda^{-\Delta}\varphi(\lambda x)</math>
<math>\varphi(x)=\lambda^{-\Delta}\varphi(\lambda x)</math>
其中 {{mvar|Δ}} 是场的标度维数。
其中 {{mvar|Δ}} 是场的标度维数。
标度不变的经典场论的一个实例是没有电荷和电流的电磁学。场是电场和磁场，'''E'''('''x''',''t'') 和 '''B'''('''x''',''t'')，而它们的场方程是麦克斯韦方程组。
标度不变的经典场论的一个实例是没有电荷和电流的电磁学。场是电场和磁场，'''E'''('''x''',''t'') 和 '''B'''('''x''',''t'')，而它们的场方程是麦克斯韦方程组。
在没有电荷或电流的情况下，这些场方程采用波动方程的形式：
在没有电荷或电流的情况下，这些场方程采用波动方程的形式：
其中 c 是光速。
其中 c 是光速。
这些场方程在进行如下变换下是不变的：
这些场方程在进行如下变换下是不变的：
<math>t\rightarrow\lambda t.</math>。
<math>t\rightarrow\lambda t.</math>。
此外，已知'''E'''('''x''', ''t'')和'''B'''('''x''', ''t'')是麦克斯韦方程组的解，则可以认为'''E'''(λ'''x''', λ''t'')和'''B'''(λ'''x''', λ''t'')也是解。
此外，已知'''E'''('''x''', ''t'')和'''B'''('''x''', ''t'')是麦克斯韦方程组的解，则可以认为'''E'''(λ'''x''', λ''t'')和'''B'''(λ'''x''', λ''t'')也是解。
标度不变经典场论的另一个例子是无质量标量场(注意名称“标量”与标度不变性无关)。标量场{{math|''φ''('''''x''''', ''t'')}}是一组空间变量 '''''x''''' 和一个时间变量 {{mvar|t}} 的函数。
标度不变经典场论的另一个例子是无质量标量场(注意名称“标量”与标度不变性无关)。标量场{{math|''φ''('''''x''''', ''t'')}}是一组空间变量 '''''x''''' 和一个时间变量 {{mvar|t}} 的函数。
首先考虑线性理论。像上述的电磁场方程一样，这个理论的运动方程也是一个波动方程：
首先考虑线性理论。像上述的电磁场方程一样，这个理论的运动方程也是一个波动方程：
<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi = 0,</math>，
<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi = 0</math>，
并且在进行如下变换时是不变的：
并且在进行如下变换时是不变的：
<math>t\rightarrow\lambda t.</math>。
<math>t\rightarrow\lambda t.</math>。
无质量是指在场方程中没有<math>\propto m^2\varphi</math>项。这一项通常称为“质量”项，它会破坏上述变换下的不变性。在'''Relativistic Field Theories 相对论场理论'''中，质量标度{{mvar|m}}在物理上等同于一个固定的长度标度：
无质量是指在场方程中没有<math>\propto m^2\varphi</math>项。这一项通常称为“质量”项，它会破坏上述变换下的不变性。在'''Relativistic Field Theories 相对论场理论'''中，质量标度{{mvar|m}}在物理上等同于一个固定的长度标度：
====φ<sup>4</sup> 理论====
====φ<sup>4</sup> 理论====
上面例子中的场方程在场中都是线性的，这意味着标度维数{{mvar|Δ}}并不是那么重要。然而，通常要求标量场的作用是无量纲的，这就固定了φ的标度维数。特别是：
上面例子中的场方程在场中都是线性的，这意味着标度维数{{mvar|Δ}}并不是那么重要。然而，通常要求标量场的作用是无量纲的，这就固定了φ的标度维数。特别是：
其中{{mvar|D}}是空间维数和时间维数的总和。
其中{{mvar|D}}是空间维数和时间维数的总和。
已知φ的标度维数，则无质量标量场理论的某些非线性修正也是标度不变的。例如，{{mvar|D}}=4的无质量'''φ<sup>4</sup>theory φ<sup>4</sup>理论'''。场方程是：
已知φ的标度维数，则无质量标量场理论的某些非线性修正也是标度不变的。例如，{{mvar|D}}=4的无质量'''φ<sup>4</sup>theory φ<sup>4</sup>理论'''。场方程是：
<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi+g\varphi^3=0.</math>。
<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi+g\varphi^3=0.</math>。
(注意，{{mvar|φ}}4的名称来自拉格朗日量的形式，它包含{{mvar|φ}}的四次幂)
(注意，{{mvar|φ}}4的名称来自拉格朗日量的形式，它包含{{mvar|φ}}的四次幂)
当{{mvar|D}}=4(如三维空间维数和一维时间维数)时，标量场标度维数为{{mvar|Δ}}=1。场方程在进行如下变换下是不变的：
当{{mvar|D}}=4(如三维空间维数和一维时间维数)时，标量场标度维数为{{mvar|Δ}}=1。场方程在进行如下变换下是不变的：
:<math>\varphi (x)\rightarrow\lambda^{-1}\varphi(x).</math>
:<math>\varphi (x)\rightarrow\lambda^{-1}\varphi(x).</math>
关键是参数{{mvar|g}}必须是无量纲的，否则就会引入一个固定的长度标度到理论中：对于{{mvar|φ}}<sup>4</sup>理论，只有在{{mvar|D}}=4时才会出现这种情况。注意，在这些变换下，函数{{mvar|φ}}的参数是不变的。
关键是参数{{mvar|g}}必须是无量纲的，否则就会引入一个固定的长度标度到理论中：对于{{mvar|φ}}<sup>4</sup>理论，只有在{{mvar|D}}=4时才会出现这种情况。注意，在这些变换下，函数{{mvar|φ}}的参数是不变的。
==量子场论中的标度不变性==
==量子场论中的标度不变性==
量子场论(QFT)的标度依赖性的特征是其耦合参数依赖于给定物理过程的能量标度。这种能量依赖由重正化群描述，并编码在理论的'''Beta-function β函数'''中。
量子场论(QFT)的标度依赖性的特征是其耦合参数依赖于给定物理过程的能量标度。这种能量依赖由重正化群描述，并编码在理论的'''Beta-function β函数'''中。
===共形场论===
===共形场论===
在完全共形对称条件下，标度不变的量子场论几乎总是不变的，对此类量子场论的研究就是共形场论（CFT）。共形场论中的算子具有定义明确的标度维数，类似于前面所讨论的经典场标度维数 ''∆''。然而，共形场论中算子的标度维数与经典理论中场的标度维数不同。在共形场论中出现的附加贡献称做'''Anomalous Scaling Dimensions 异常标度维数'''。
在完全共形对称条件下，标度不变的量子场论几乎总是不变的，对此类量子场论的研究就是共形场论（CFT）。共形场论中的算子具有定义明确的标度维数，类似于前面所讨论的经典场标度维数 ''∆''。然而，共形场论中算子的标度维数与经典理论中场的标度维数不同。在共形场论中出现的附加贡献称做'''Anomalous Scaling Dimensions 异常标度维数'''。
=== 标度与共形异常===
=== 标度与共形异常===
上面的φ<sup>4</sup>理论例子表明，量子场论的耦合参数可以是标度依赖的，即使相应的经典场论是标度不变(或共形不变)。如果是这种情况，则称经典标度(或共形)不变性为异常。经典的标度不变场论，当量子效应打破其中的标度不变性，可以为接近指数级膨胀的早期宇宙提供了一种解释，即为'''Cosmic Inflation 宇宙膨胀'''，只要该理论可以通过'''Perturbation Theory 微扰理论'''研究<ref name=":1">{{cite journal|last=Salvio, Strumia|title=Agravity|journal=JHEP |volume=2014 |issue=6|pages=080|date=2014-03-17|url=http://inspirehep.net/record/1286134|arxiv = 1403.4226|bibcode = 2014JHEP...06..080S|doi=10.1007/JHEP06(2014)080}}</ref>。
上面的φ<sup>4</sup>理论例子表明，量子场论的耦合参数可以是标度依赖的，即使相应的经典场论是标度不变(或共形不变)。如果是这种情况，则称经典标度(或共形)不变性为异常。经典的标度不变场论，当量子效应打破其中的标度不变性，可以为接近指数级膨胀的早期宇宙提供了一种解释，即为'''Cosmic Inflation 宇宙膨胀'''，只要该理论可以通过'''Perturbation Theory 微扰理论'''研究<ref name=":1">{{cite journal|last=Salvio, Strumia|title=Agravity|journal=JHEP |volume=2014 |issue=6|pages=080|date=2014-03-17|url=http://inspirehep.net/record/1286134|arxiv = 1403.4226|bibcode = 2014JHEP...06..080S|doi=10.1007/JHEP06(2014)080}}</ref>。
此处，{{math|''G''(''r'')}}理解为标量场的相关函数，
此处，{{math|''G''(''r'')}}理解为标量场的相关函数，
<math>\langle\phi(0)\phi(r)\rangle\propto\frac{1}{r^{D-2+\eta}}.</math>。
<math>\langle\phi(0)\phi(r)\rangle\propto\frac{1}{r^{D-2+\eta}}</math>。
现在我们可以把已经看到的一些想法联系起来。
现在我们可以把已经看到的一些想法联系起来。