7,129
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第25行：
第25行： − + 第46行：
第46行： − + − + 第56行：
第56行： − + − + 第67行：
第67行： − + 第98行：
第98行： − + 第113行：
第113行： − + 第133行：
第133行： − + 第436行：
第436行： − +
无编辑摘要
==简介==
==简介==
随机过程可以定义为随机变量的集合，这些随机变量由一些数学集合构成索引，这意味着随机过程中的每个随机变量都与集合中的一个元素唯一关联。<ref name=“Parzen1999”/><ref name=“GikhmanSkorokhod1969page1”/>用于索引随机变量的集合称为“索引集”。从历史上看，索引集是实线的一些子集，例如自然数，为索引集提供了对时间的解释。<ref name=“doob1953stochasticP46to47”/>集合中的每个随机变量都从相同的数学空间中获取值，称为“状态空间 state space”。例如，这个状态空间可以是整数、实线或维欧几里德空间。<ref name=“doob1953stochasticP46to47”/>'''增量 increment'''是随机过程在两个索引值之间变化的量，通常被解释为两个时间点。<ref name=“KarlinTaylor2012page27”/><ref name=“Applebaum2004page1337”/>由于随机性，随机过程可以有许多结果，随机过程的单个结果称为其他名称中的一个，“示例函数”或“实现”。<ref name=“Lamperti1977page1”/><ref name=“RogersWilliams2000page121b“/>
随机过程可以定义为随机变量的集合，这些随机变量由一些数学集合构成索引，这意味着随机过程中的每个随机变量都与集合中的一个元素唯一关联。<ref name="Parzen1999"/><ref name="GikhmanSkorokhod1969page1"/>用于索引随机变量的集合称为“索引集”。从历史上看，索引集是实线的一些子集，例如自然数，为索引集提供了对时间的解释。<ref name="doob1953stochasticP46to47"/> 集合中的每个随机变量都从相同的数学空间中获取值，称为“状态空间 state space”。例如，这个状态空间可以是整数、实线或维欧几里德空间。<ref name="doob1953stochasticP46to47"/> '''增量 increment'''是随机过程在两个索引值之间变化的量，通常被解释为两个时间点。<ref name="KarlinTaylor2012page27"/><ref name="Applebaum2004page1337"/>由于随机性，随机过程可以有许多结果，随机过程的单个结果称为其他名称中的一个，“示例函数”或“实现”。<ref name="Lamperti1977page1"/><ref name="RogersWilliams2000page121b"/>
===词源学===
===词源学===
在英语中，“随机”一词最初用作形容词，其定义是“与推测有关”，源于一个希腊语词，意思是“瞄准一个标记，猜测”，而牛津英语词典将1662年作为最早出现的年份。<ref name=“Oxfordstraphic”>{Cite OED | random}</ref>在他关于概率“Ars conquectandi”的著作中，最初于1713年以拉丁文出版，[[雅各布·伯努利 Jakob Bernoulli]]使用了“Ars conquectandi istice”这个短语，这本书已经被翻译成“猜想或随机的艺术”。<ref name="Sheĭnin2006page5">{{cite book|author=O. B. Sheĭnin|title=Theory of probability and statistics as exemplified in short dictums|url=https://books.google.com/books?id=XqMZAQAAIAAJ|year=2006|publisher=NG Verlag|isbn=978-3-938417-40-9|page=5}}</ref>这一短语是[adislaus Bortkiewicz在关于伯努利问题中使用，<ref name="SheyninStrecker2011page136">{{cite book|author1=Oscar Sheynin|author2=Heinrich Strecker|title=Alexandr A. Chuprov: Life, Work, Correspondence|url=https://books.google.com/books?id=1EJZqFIGxBIC&pg=PA9|year=2011|publisher=V&R unipress GmbH|isbn=978-3-89971-812-6|page=136}}</ref>他在1917年用德语写下了“随机”一词。术语“随机过程”最早出现在1934年Joseph Doob的一篇论文中。<ref name=“oxfordstractical”/>对于这个术语和一个具体的数学定义，Doob引用了另一篇1934年的论文，其中Aleksandr Khinchin在德语中使用了术语“随机过程”，<ref name="Doob1934"/><ref name="Khintchine1934">{{cite journal|last1=Khintchine|first1=A.|title=Korrelationstheorie der stationeren stochastischen Prozesse|journal=Mathematische Annalen|volume=109|issue=1|year=1934|pages=604–615|issn=0025-5831|doi=10.1007/BF01449156}}</ref>尽管德语这个词在早些时候就被使用过，例如，Andrei Kolmogorov在1931年就使用过。<ref name="Kolmogoroff1931page1">{{cite journal|last1=Kolmogoroff|first1=A.|title=Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung|journal=Mathematische Annalen|volume=104|issue=1|year=1931|page=1|issn=0025-5831|doi=10.1007/BF01457949}}</ref>
在英语中，“随机”一词最初用作形容词，其定义是“与推测有关”，源于一个希腊语词，意思是“瞄准一个标记，猜测”，而牛津英语词典将1662年作为最早出现的年份。<ref name="Oxfordstraphic">{Cite OED | random}</ref>在他关于概率“Ars conquectandi”的著作中，最初于1713年以拉丁文出版，[[雅各布·伯努利 Jakob Bernoulli]]使用了“Ars conquectandi istice”这个短语，这本书已经被翻译成“猜想或随机的艺术”。<ref name="Sheĭnin2006page5">{{cite book|author=O. B. Sheĭnin|title=Theory of probability and statistics as exemplified in short dictums|url=https://books.google.com/books?id=XqMZAQAAIAAJ|year=2006|publisher=NG Verlag|isbn=978-3-938417-40-9|page=5}}</ref>这一短语是[adislaus Bortkiewicz在关于伯努利问题中使用，<ref name="SheyninStrecker2011page136">{{cite book|author1=Oscar Sheynin|author2=Heinrich Strecker|title=Alexandr A. Chuprov: Life, Work, Correspondence|url=https://books.google.com/books?id=1EJZqFIGxBIC&pg=PA9|year=2011|publisher=V&R unipress GmbH|isbn=978-3-89971-812-6|page=136}}</ref>他在1917年用德语写下了“随机”一词。术语“随机过程”最早出现在1934年Joseph Doob的一篇论文中。<ref name=“oxfordstractical”/>对于这个术语和一个具体的数学定义，Doob引用了另一篇1934年的论文，其中Aleksandr Khinchin在德语中使用了术语“随机过程”，<ref name="Doob1934"/><ref name="Khintchine1934">{{cite journal|last1=Khintchine|first1=A.|title=Korrelationstheorie der stationeren stochastischen Prozesse|journal=Mathematische Annalen|volume=109|issue=1|year=1934|pages=604–615|issn=0025-5831|doi=10.1007/BF01449156}}</ref>尽管德语这个词在早些时候就被使用过，例如，Andrei Kolmogorov在1931年就使用过。<ref name="Kolmogoroff1931page1">{{cite journal|last1=Kolmogoroff|first1=A.|title=Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung|journal=Mathematische Annalen|volume=104|issue=1|year=1931|page=1|issn=0025-5831|doi=10.1007/BF01457949}}</ref>
根据《牛津英语词典》，英语中“random”（随机）一词的最早出现时间可追溯到16世纪，而早期有记载的用法则始于14世纪，意思是“急躁、速度快、力量大或暴力（骑马、跑步、击打等）”。这个词本身来自法语中间的一个词，意思是“速度，匆忙”，它可能是从法语动词“奔跑”或“飞奔”衍生而来。术语“随机过程”的首次书面出现是在“随机过程”之前出现的，牛津英语词典也将其作为同义词出现，并被Francis Edgeworth于1888年发表的一篇文章中使用。<ref name=“OxfordRandom”>{Cite OED | random}</ref>
根据《牛津英语词典》，英语中“random”（随机）一词的最早出现时间可追溯到16世纪，而早期有记载的用法则始于14世纪，意思是“急躁、速度快、力量大或暴力（骑马、跑步、击打等）”。这个词本身来自法语中间的一个词，意思是“速度，匆忙”，它可能是从法语动词“奔跑”或“飞奔”衍生而来。术语“随机过程”的首次书面出现是在“随机过程”之前出现的，牛津英语词典也将其作为同义词出现，并被Francis Edgeworth于1888年发表的一篇文章中使用。<ref name="OxfordRandom">{Cite OED | random}</ref>
术语“随机函数”也用于指随机或随机过程，<ref name=“GikhmanSkorokhod1969page1”/><ref name=“Loeve1978”>{cite book | author=M.Loève|title=Probability Theory II | url=https://books.google.com/books？id=1y229ybulic | year=1978 | publisher=Springer Science&Business Media | isbn=978-0-387-90262-3 | page=163}</ref><ref name=“Brémaud2014page133”>{cite book |作者=Pierre Brémaud | title=Fourier Analysis and randocial Processes |网址=https://books.google.com/books？id=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1 | year=2014 | publisher=Springer | isbn=978-3-319-09590-5 | page=133}</ref>尽管有时它只在随机过程取实值时使用。<ref name=“Lamperti1977page1”/><ref name=“Ito2006page13”/>当索引集是数学空间而不是实线时，也使用这个术语，<ref name=“GikhmanSkorokhod1969page1”/><ref name=“gusakkush2010page1”>{harvxt | Gusak | Kukush | Kulik | Mishura | 2010}，p.1</ref>，而术语“随机过程”和“随机过程”通常在指数集被解释为时间时使用，<ref name=“GikhmanSkorokhod1969page1”/><ref name=“GusakKukush2010page1”/><ref name=“Bass2011page1”>{引用图书|作者=Richard F.Bass | title=随机过程| url=https://books.google.com/books？id=Ll0T7PIkcKMC | year=2011 | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-1-139-50147-7 | page=1}</ref>和其他术语，例如当索引集是<math>n</math>-维欧几里德空间<math>\mathbb{R}^n</math>或流形.<ref name=“GikhmanSkorokhod1969page1”/><ref name=“Lamperti1977page1”/><ref name=“GikhmanSkorokhod1969page1”/><ref name="Lamperti1977page1"/><ref name="AdlerTaylor2009page7"/>
术语“随机函数”也用于指随机或随机过程，<ref name="GikhmanSkorokhod1969page1"/><ref name="Loeve1978">{{cite book|author=M. Loève|title=Probability Theory II|url=https://books.google.com/books?id=1y229yBbULIC|year=1978|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-90262-3|page=163}}</ref><ref name="Brémaud2014page133">{{cite book|author=Pierre Brémaud|title=Fourier Analysis and Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1|year=2014|publisher=Springer|isbn=978-3-319-09590-5|page=133}}</ref>尽管有时它只在随机过程取实值时使用。<ref name="Lamperti1977page1"/><ref name="Ito2006page13"/>当索引集是数学空间而不是实线时，也使用这个术语，<ref name="GikhmanSkorokhod1969page1"/><ref name="GusakKukush2010page1"> p. 1</ref>，而术语“随机过程”和“随机过程”通常在指数集被解释为时间时使用，<ref name="GikhmanSkorokhod1969page1"/><ref name="GusakKukush2010page1"/><ref name="Bass2011page1">{{cite book|author=Richard F. Bass|title=Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=Ll0T7PIkcKMC|year=2011|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-50147-7|page=1}}</ref>和其他术语，例如当索引集是<math>n</math>-维欧几里德空间<math>\mathbb{R}^n</math>或流形。<ref name="GikhmanSkorokhod1969page1"/><ref name="Lamperti1977page1"/><ref name="AdlerTaylor2009page7"/>
<br>
<br>
===符号===
===符号===
随机过程可以用<math>\{X(t)\}_{t\in T} </math>，<ref name="Brémaud2014page120"/> <math>\{X_t\}_{t\in T} </math>,<ref name="Asmussen2003page408"/> <math>\{X_t\}</math><ref name="Lamperti1977page3">,{{cite book|author=John Lamperti|title=Stochastic processes: a survey of the mathematical theory|url=https://books.google.com/books?id=Pd4cvgAACAAJ|year=1977|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-90275-1|page=3}}</ref>或简单地称为<math>X</math>或<math>X（t）</math>，尽管<math>X（t）</math>被视为函数表示法滥用。<ref name="Klebaner2005page55">{{cite book|author=Fima C. Klebaner|title=Introduction to Stochastic Calculus with Applications|url=https://books.google.com/books?id=JYzW0uqQxB0C|year=2005|publisher=Imperial College Press|isbn=978-1-86094-555-7|page=55}}</ref> 例如， <math>X(t)</math> 或 <math>X_t</math>引用具有索引<math>t</math>的随机变量，而不是整个随机过程。<ref name="Lamperti1977page3"/>如果索引集是<math>T=[0,\infty)</math>，然后，我们可以写，例如，<math>(X_t , t \geq 0)</math>来表示随机过程。<ref name=“ChaumontYor2012”/>
随机过程可以用<math>\{X(t)\}_{t\in T} </math>，<ref name="Brémaud2014page120"/> <math>\{X_t\}_{t\in T} </math>,<ref name="Asmussen2003page408"/> <math>\{X_t\}</math><ref name="Lamperti1977page3">,{{cite book|author=John Lamperti|title=Stochastic processes: a survey of the mathematical theory|url=https://books.google.com/books?id=Pd4cvgAACAAJ|year=1977|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-90275-1|page=3}}</ref>或简单地称为<math>X</math>或<math>X（t）</math>，尽管<math>X（t）</math>被视为函数表示法滥用。<ref name="Klebaner2005page55">{{cite book|author=Fima C. Klebaner|title=Introduction to Stochastic Calculus with Applications|url=https://books.google.com/books?id=JYzW0uqQxB0C|year=2005|publisher=Imperial College Press|isbn=978-1-86094-555-7|page=55}}</ref> 例如， <math>X(t)</math> 或 <math>X_t</math>引用具有索引<math>t</math>的随机变量，而不是整个随机过程。<ref name="Lamperti1977page3"/>如果索引集是<math>T=[0,\infty)</math>，然后，我们可以写，例如，<math>(X_t , t \geq 0)</math>来表示随机过程。<ref name="ChaumontYor2012"/>
<br>
<br>
==示例==
==示例==
===伯努利过程 Bernoulli process===
===伯努利过程 Bernoulli process===
最简单的随机过程之一是伯努利过程，<ref name=“Florescu2014page293”/>它是独立且相同分布随机变量的序列，其中每个随机变量取1或0，比如概率<math>p</math>的值为1，概率<math>1-p</math>为零。这个过程可以与反复翻动硬币有关，其中获得头部的概率为<math>p</math>，其值为1，而尾部的值为零。<ref name= "Florescu2014page301">{{cite book| first= Ionut |last= Florescu|title=Probability and Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|year=2014|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-59320-2|page=301}}</ref>换句话说，伯努利过程是一系列独立且同分布的伯努利随机变量，<ref name=“Bertsekatsitsiklis2002page273”>{cite book | author1=Dimitri P.Bertsekas | author2=John N.Tsitsiklis | title=概率简介| url=https://books.google.com/books？id=bcHaAAAAMAAJ | year=2002 | publisher=Athena Scientific | isbn=978-1-886529-40-3 | page=273}</ref>每一次抛硬币都是[[伯努利试验]]的一个例子。<ref name=“Ibe2013page11”>{cite book | author=Oliver C.Ibe | title=Elements of Random Walk and Diffusion Processes |year=2013 | publisher=John Wiley&Sons | isbn=978-1-118-61793-9 | page=11}</ref>
最简单的随机过程之一是伯努利过程，<ref name="Florescu2014page293"/>它是独立且相同分布随机变量的序列，其中每个随机变量取1或0，比如概率<math>p</math>的值为1，概率<math>1-p</math>为零。这个过程可以与反复翻动硬币有关，其中获得头部的概率为<math>p</math>，其值为1，而尾部的值为零。<ref name= "Florescu2014page301">{{cite book| first= Ionut |last= Florescu|title=Probability and Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|year=2014|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-59320-2|page=301}}</ref>换句话说，伯努利过程是一系列独立且同分布的伯努利随机变量，<ref name="BertsekasTsitsiklis2002page273">{{cite book|author1=Dimitri P. Bertsekas|author2=John N. Tsitsiklis|title=Introduction to Probability|url=https://books.google.com/books?id=bcHaAAAAMAAJ|year=2002|publisher=Athena Scientific|isbn=978-1-886529-40-3|page=273}}</ref>每一次抛硬币都是[[伯努利试验]]的一个例子。<ref name="Ibe2013page11">{{cite book|author=Oliver C. Ibe|title=Elements of Random Walk and Diffusion Processes|url=https://books.google.com/books?id=DUqaAAAAQBAJ&pg=PT10|year=2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-61793-9|page=11}}</ref>
<br>
<br>
===泊松过程 Poisson process===
===泊松过程 Poisson process===
泊松过程是一个随机过程，有不同的形式和定义。<ref name="Tijms2003page1">{{cite book|author=Henk C. Tijms|title=A First Course in Stochastic Models|url=https://books.google.com/books?id=eBeNngEACAAJ|year=2003|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-49881-0|pages=1, 2}}</ref><ref name="DaleyVere-Jones2006chap2">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=D. Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods|url=https://books.google.com/books?id=6Sv4BwAAQBAJ|year=2006|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21564-8|pages=19–36}}</ref>它可以定义为一个计数过程，它是一个随机过程，表示某个时间点或事件的随机数量。在从零到某个给定时间区间内的过程点的数目是一个泊松随机变量，它取决于该时间和某个参数。该过程以自然数为状态空间，非负数为索引集。此过程也称为泊松计数过程，因为它可以被解释为计数过程的一个示例。<ref name=“tijms2303page1”/>
泊松过程是一个随机过程，有不同的形式和定义。<ref name="Tijms2003page1">{{cite book|author=Henk C. Tijms|title=A First Course in Stochastic Models|url=https://books.google.com/books?id=eBeNngEACAAJ|year=2003|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-49881-0|pages=1, 2}}</ref><ref name="DaleyVere-Jones2006chap2">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=D. Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods|url=https://books.google.com/books?id=6Sv4BwAAQBAJ|year=2006|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21564-8|pages=19–36}}</ref>它可以定义为一个计数过程，它是一个随机过程，表示某个时间点或事件的随机数量。在从零到某个给定时间区间内的过程点的数目是一个泊松随机变量，它取决于该时间和某个参数。该过程以自然数为状态空间，非负数为索引集。此过程也称为泊松计数过程，因为它可以被解释为计数过程的一个示例。<ref name="tijms2303page1"/>
===随机过程 Stochastic process===
===随机过程 Stochastic process===
随机过程被定义为在一个公共概率空间<math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math>上定义的随机变量集合，其中<math>\Omega</math> 是[[样本空间]]，<math>\mathcal{F}</math>是一个<math>\sigma</math>-代数，<math>P</math>是概率测度；而随机变量，由某个集合<math>T</math>索引，所有值都取同一个数学空间<math>S</math>，对于某些<math>\sigma</math>-代数<math>\sigma</math><ref name=“Lamperti1977page1”/>
随机过程被定义为在一个公共概率空间<math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math>上定义的随机变量集合，其中<math>\Omega</math> 是[[样本空间]]，<math>\mathcal{F}</math>是一个<math>\sigma</math>-代数，<math>P</math>是概率测度；而随机变量，由某个集合<math>T</math>索引，所有值都取同一个数学空间<math>S</math>，对于某些<math>\sigma</math>-代数<math>\sigma</math><ref name="Lamperti1977page1"/>
===索引集 Index set===
===索引集 Index set===
集合<math>T</math>称为“索引集”<ref name=“Parzen1999”/><ref name=“Florescu2014page294”/>或“参数集”<ref name="Lamperti1977page1"/><ref name="Skorokhod2005page93">{{cite book|author=Valeriy Skorokhod|title=Basic Principles and Applications of Probability Theory|url=https://books.google.com/books?id=dQkYMjRK3fYC|year=2005|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-26312-8|pages=93, 94}}</ref>。通常，这个集合是实线的一个子集，例如自然数或一个区间，使集合<math>T</math>能够解释时间。<ref name=“doob1953stochasticP46to47”/>除了这些集合，索引集<math>T</math>可以是其他线性有序集或更一般的数学集，<ref name="doob1953stochasticP46to47"/><ref name="Billingsley2008page482">{{cite book|author=Patrick Billingsley|title=Probability and Measure|url=https://books.google.com/books?id=QyXqOXyxEeIC|year=2008|publisher=Wiley India Pvt. Limited|isbn=978-81-265-1771-8|page=482}}</ref>例如笛卡尔平面<math>R^2</math>或<math>n</math>维欧几里得空间，其中t中的元素可以表示空间中的一个点。<ref name="KarlinTaylor2012page27">{{cite book|author1=Samuel Karlin|author2=Howard E. Taylor|title=A First Course in Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC|year=2012|publisher=Academic Press|isbn=978-0-08-057041-9|page=27}}</ref><ref>{{cite book|author1=Donald L. Snyder|author2=Michael I. Miller|title=Random Point Processes in Time and Space|url=https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ|year=2012|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4612-3166-0|page=25}}</ref>但一般情况下，当索引集有序时，随机过程可以得到更多的结果和定理。<ref name="Skorokhod2005page104">{{cite book|author=Valeriy Skorokhod|title=Basic Principles and Applications of Probability Theory|url=https://books.google.com/books?id=dQkYMjRK3fYC|year=2005|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-26312-8|page=104}}</ref>
集合<math>T</math>称为“索引集”<ref name="Parzen1999"/><ref name="Florescu2014page294"/>或“参数集”<ref name="Lamperti1977page1"/><ref name="Skorokhod2005page93">{{cite book|author=Valeriy Skorokhod|title=Basic Principles and Applications of Probability Theory|url=https://books.google.com/books?id=dQkYMjRK3fYC|year=2005|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-26312-8|pages=93, 94}}</ref>。通常，这个集合是实线的一个子集，例如自然数或一个区间，使集合<math>T</math>能够解释时间。<ref name="doob1953stochasticP46to47"/>除了这些集合，索引集<math>T</math>可以是其他线性有序集或更一般的数学集，<ref name="doob1953stochasticP46to47"/><ref name="Billingsley2008page482">{{cite book|author=Patrick Billingsley|title=Probability and Measure|url=https://books.google.com/books?id=QyXqOXyxEeIC|year=2008|publisher=Wiley India Pvt. Limited|isbn=978-81-265-1771-8|page=482}}</ref>例如笛卡尔平面<math>R^2</math>或<math>n</math>维欧几里得空间，其中t中的元素可以表示空间中的一个点。<ref name="KarlinTaylor2012page27">{{cite book|author1=Samuel Karlin|author2=Howard E. Taylor|title=A First Course in Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC|year=2012|publisher=Academic Press|isbn=978-0-08-057041-9|page=27}}</ref><ref>{{cite book|author1=Donald L. Snyder|author2=Michael I. Miller|title=Random Point Processes in Time and Space|url=https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ|year=2012|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4612-3166-0|page=25}}</ref>但一般情况下，当索引集有序时，随机过程可以得到更多的结果和定理。<ref name="Skorokhod2005page104">{{cite book|author=Valeriy Skorokhod|title=Basic Principles and Applications of Probability Theory|url=https://books.google.com/books?id=dQkYMjRK3fYC|year=2005|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-26312-8|page=104}}</ref>
<br>
<br>
在Kolmogorov的书出版后，钦钦和科尔莫戈洛夫以及其他数学家如Joseph Doob、William Feller、Maurice Fréchet、Paul Lévy、Wolfgang Doeblin等对概率论和随机过程进行了进一步的基础性工作，和Harald Cramér。<ref name=“Bingham2000”/><ref name=“Cramer1976”/>
在Kolmogorov的书出版后，钦钦和科尔莫戈洛夫以及其他数学家如Joseph Doob、William Feller、Maurice Fréchet、Paul Lévy、Wolfgang Doeblin等对概率论和随机过程进行了进一步的基础性工作，和Harald Cramér。<ref name="Bingham2000"/><ref name="Cramer1976"/>