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第44行： − − <math> Z = \sum_{i} \mathrm{e}^{-\beta E_i}, </math><br /> 第53行：
第51行： − : <math> i </math> is the index for the [[Microstate (statistical mechanics)|microstates]] of the system;+ − <math> i </math> 是系统微观状态的指标；+ − : <math> \mathrm{e} </math> is [[e (mathematical constant)|Euler's number]];+ − <math> \mathrm{e} </math> 是欧拉的数字;+ − : <math> \beta </math> is the [[thermodynamic beta]], defined as <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; − <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; − : <math> E_i </math> is the total energy of the system in the respective [[Microstate (statistical mechanics)|microstate]]. − <math> E_i </math> 是系统在各自微观状态下的总能量。 + − − The [[Exponential function|exponential]] factor <math> \mathrm{e}^{-\beta E_i} </math> is otherwise known as the [[Boltzmann factor]]. − − 指数因子 <math> \mathrm{e}^{-\beta E_i} </math> 也被称为玻尔兹曼因子。 第626行：
第617行： − − <math> Z = \frac{1}{h^3} \int \mathrm{e}^{-\beta H(q, p)} \, \mathrm{d}^3 q \, \mathrm{d}^3 p, </math><br /> − : <math> h </math> is the [[Planck constant]];+ − <math> h </math> 是普朗克常数;+ − : <math> \beta </math> is the [[thermodynamic beta]], defined as <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;+ − <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;+ − : <math> H(q, p) </math> is the [[Hamiltonian mechanics|Hamiltonian]] of the system;+ − <math> H(q, p) </math> 是系统的哈密顿函数; − − : <math> q </math> is the [[Canonical coordinates|canonical position]]; − − <math> q </math> 是正则位置 − − : <math> p </math> is the [[Canonical coordinates|canonical momentum]]. − − <math> p </math> 是正则动量。 第673行：
第653行： − : <math> Z=\frac{1}{N!h^{3N}} \int \, \exp \left(-\beta \sum_{i=1}^N H(\textbf q_i, \textbf p_i) \right) \; \mathrm{d}^3 q_1 \cdots \mathrm{d}^3 q_N \, \mathrm{d}^3 p_1 \cdots \mathrm{d}^3 p_N </math>+ − − <math> Z=\frac{1}{N!h^{3N}} \int \, \exp \left(-\beta \sum_{i=1}^N H(\textbf q_i, \textbf p_i) \right) \; \mathrm{d}^3 q_1 \cdots \mathrm{d}^3 q_N \, \mathrm{d}^3 p_1 \cdots \mathrm{d}^3 p_N </math> + + + − : <math> h </math> is the [[Planck constant]];+ − <math> h </math> 是普朗克常数;+ − : <math> \beta </math> is the [[thermodynamic beta]], defined as <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;+ − <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;+ − − : <math> i </math> is the index for the particles of the system; − − <math> i </math> 是系统粒子的指数 − − : <math> H </math> is the [[Hamiltonian mechanics|Hamiltonian]] of a respective particle; − − <math> H </math> 是一个粒子的哈密顿量; − − : <math> q_i </math> is the [[Canonical coordinates|canonical position]] of the respective particle; − − <math> q_i </math> 是各个粒子的正则位置; − − : <math> p_i </math> is the [[Canonical coordinates|canonical momentum]] of the respective particle; − − <math> p_i </math> 是各个粒子的正则动量; − − : <math> \mathrm{d}^3 </math> is shorthand notation to indicate that <math> q_i </math> and <math> p_i </math> are vectors in three-dimensional space. − − <math> \mathrm{d}^3 </math> 是一个简写符号，用来表示 <math> q_i </math> 和 <math> p_i </math> 是三维空间中的向量。<br /> 第729行：
第690行： − : <math> Z = \operatorname{tr} ( \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} ), </math>+ − − <math> Z = \operatorname{tr} ( \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} ), </math> 第737行：
第696行： + − : <math> \operatorname{tr} ( \circ ) </math> is the [[trace (linear algebra)|trace]] of a matrix;+ − <math> \operatorname{tr} ( \circ ) </math> 是矩阵的轨迹;+ − − : <math> \beta </math> is the [[thermodynamic beta]], defined as <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; − − <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; − − : <math> \hat{H} </math> is the [[Hamiltonian (quantum mechanics)|Hamiltonian operator]]. − − <math> \hat{H} </math> 是哈密尔顿算符。 第769行：
第721行： − : <math> Z = \frac{1}{h} \int \langle q, p | \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} | q, p \rangle \, \mathrm{d} q \, \mathrm{d} p, </math>+ − − <math> Z = \frac{1}{h} \int \langle q, p | \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} | q, p \rangle \, \mathrm{d} q \, \mathrm{d} p, </math> 第777行：
第727行： + − : <math> h </math> is the [[Planck constant]];+ − − <math> h </math> 是普朗克常数; − − : <math> \beta </math> is the [[thermodynamic beta]], defined as <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; − <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;+ − : <math> \hat{H} </math> is the [[Hamiltonian (quantum mechanics)|Hamiltonian operator]];+ − <math> \hat{H} </math> 是哈密尔顿算符；+ − : <math> q </math> is the [[Canonical coordinates|canonical position]]; − − <math> q </math>是正则位置； − − : <math> p </math> is the [[Canonical coordinates|canonical momentum]]. − − <math> p </math> 是正则动量。 第805行：
第745行： + − − − : <math> Z = \sum_j g_j \cdot \mathrm{e}^{-\beta E_j},</math> − − <math> Z = \sum_j g_j \cdot \mathrm{e}^{-\beta E_j},</math> 第828行：
第764行： − + − : <math>Z = \operatorname{tr} ( \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} ),</math> − − <math>Z = \operatorname{tr} ( \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} ),</math>
→Canonical partition function 标准配分函数
: <math> Z = \sum_{i} \mathrm{e}^{-\beta E_i}, </math>
: <math> Z = \sum_{i} \mathrm{e}^{-\beta E_i}, </math>
where
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<math> i </math> 是系统微观状态的指标；
<math> \mathrm{e} </math> 是欧拉的数字;
<math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;
<math> E_i </math> 是系统在各自微观状态下的总能量。
指数因子 <math> \mathrm{e}^{-\beta E_i} </math> 也被称为玻尔兹曼因子。
: <math> Z = \frac{1}{h^3} \int \mathrm{e}^{-\beta H(q, p)} \, \mathrm{d}^3 q \, \mathrm{d}^3 p, </math>
: <math> Z = \frac{1}{h^3} \int \mathrm{e}^{-\beta H(q, p)} \, \mathrm{d}^3 q \, \mathrm{d}^3 p, </math>
where
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<math> h </math> 是普朗克常数;
<math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;
<math> H(q, p) </math> 是系统的哈密顿函数;
<math> q </math> 是正则位置
<math> p </math> 是正则动量。
<math> Z=\frac{1}{N!h^{3N}} \int \, \exp \left(-\beta \sum_{i=1}^N H(\textbf q_i, \textbf p_i) \right) \; \mathrm{d}^3 q_1 \cdots \mathrm{d}^3 q_N \, \mathrm{d}^3 p_1 \cdots \mathrm{d}^3 p_N </math>
where
where
<math> h </math> 是普朗克常数;
<math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;
<math> i </math> 是系统粒子的指数
<math> H </math> 是一个粒子的哈密顿量;
<math> q_i </math> 是各个粒子的正则位置;
<math> p_i </math> 是各个粒子的正则动量;
<math> \mathrm{d}^3 </math> 是一个简写符号，用来表示 <math> q_i </math> 和 <math> p_i </math> 是三维空间中的向量。<br />
The reason for the [[factorial]] factor ''N''! is discussed [[#Partition functions of subsystems|below]]. The extra constant factor introduced in the denominator was introduced because, unlike the discrete form, the continuous form shown above is not [[dimensionless]]. As stated in the previous section, to make it into a dimensionless quantity, we must divide it by ''h''<sup>3''N''</sup> (where ''h'' is usually taken to be Planck's constant).
The reason for the [[factorial]] factor ''N''! is discussed [[#Partition functions of subsystems|below]]. The extra constant factor introduced in the denominator was introduced because, unlike the discrete form, the continuous form shown above is not [[dimensionless]]. As stated in the previous section, to make it into a dimensionless quantity, we must divide it by ''h''<sup>3''N''</sup> (where ''h'' is usually taken to be Planck's constant).
<math> Z = \operatorname{tr} ( \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} ), </math>
where:
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<math> \operatorname{tr} ( \circ ) </math> 是矩阵的轨迹;
<math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;
<math> \hat{H} </math> 是哈密尔顿算符。
The [[dimension]] of <math> \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} </math> is the number of [[energy eigenstates]] of the system.
The [[dimension]] of <math> \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} </math> is the number of [[energy eigenstates]] of the system.
<math> Z = \frac{1}{h} \int \langle q, p | \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} | q, p \rangle \, \mathrm{d} q \, \mathrm{d} p, </math>
where:
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<math> h </math> 是普朗克常数;
<math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;
<math> \hat{H} </math> 是哈密尔顿算符；
<math> q </math>是正则位置；
<math> p </math> 是正则动量。
在具有多个量子态''s''共享相同能量的系统中，系统的能级''E<sub>s</sub>''是简并的。在简并能级的情况下，我们可以用能级（ ''j'' ）的贡献来表示配分函数，如下:
在具有多个量子态''s''共享相同能量的系统中，系统的能级''E<sub>s</sub>''是简并的。在简并能级的情况下，我们可以用能级（ ''j'' ）的贡献来表示配分函数，如下:
<math> Z = \sum_j g_j \cdot \mathrm{e}^{-\beta E_j},</math>
<math>Z = \operatorname{tr} ( \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} ),</math>
where ''Ĥ'' is the [[Hamiltonian (quantum mechanics)|quantum Hamiltonian operator]]. The exponential of an operator can be defined using the [[Characterizations of the exponential function|exponential power series]].
where ''Ĥ'' is the [[Hamiltonian (quantum mechanics)|quantum Hamiltonian operator]]. The exponential of an operator can be defined using the [[Characterizations of the exponential function|exponential power series]].