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→Canonical partition function 标准配分函数
对于经典和离散的正则系综，典型的配分函数被定义为
对于经典和离散的正则系综，典型的配分函数被定义为
: <math> Z = \sum_{i} \mathrm{e}^{-\beta E_i}, </math>
: <math> Z = \sum_{i} \mathrm{e}^{-\beta E_i}, </math>
where
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<math> i </math> 是系统微观状态的指标；<math> \mathrm{e} </math> 是欧拉的数字;<math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; <math> E_i </math> 是系统在各自微观状态下的总能量。
<math> i </math> 是系统微观状态的指标；
<math> \mathrm{e} </math> 是欧拉的数字;
<math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;
<math> E_i </math> 是系统在各自微观状态下的总能量。
指数因子 <math> \mathrm{e}^{-\beta E_i} </math> 也被称为玻尔兹曼因子。
指数因子 <math> \mathrm{e}^{-\beta E_i} </math> 也被称为玻尔兹曼因子。
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
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;Classical continuous system
;Classical continuous system
经典连续系统
经典连续系统
In [[classical mechanics]], the [[Position (vector)|position]] and [[Momentum vector|momentum]] variables of a particle can vary continuously, so the set of microstates is actually [[uncountable set|uncountable]]. In ''classical'' statistical mechanics, it is rather inaccurate to express the partition function as a [[Sum (mathematics)|sum]] of discrete terms. In this case we must describe the partition function using an [[integral]] rather than a sum. For a canonical ensemble that is classical and continuous, the canonical partition function is defined as
In [[classical mechanics]], the [[Position (vector)|position]] and [[Momentum vector|momentum]] variables of a particle can vary continuously, so the set of microstates is actually [[uncountable set|uncountable]]. In ''classical'' statistical mechanics, it is rather inaccurate to express the partition function as a [[Sum (mathematics)|sum]] of discrete terms. In this case we must describe the partition function using an [[integral]] rather than a sum. For a canonical ensemble that is classical and continuous, the canonical partition function is defined as
在[[经典力学]]中，一个粒子的位置和动量变量可以连续变化，所以微观状态的集合实际上是无法计算的。在[[古典统计力学]]中，将配分函数表示为离散项的和是相当不准确的。在这种情况下，我们必须用积分而不是和来描述配分函数。对于一个经典的连续正则系综，典型的配分函数被定义为
在[[经典力学]]中，一个粒子的位置和动量变量可以连续变化，所以微观状态的集合实际上是无法计算的。在[[古典统计力学]]中，将配分函数表示为离散项的和是相当不准确的。在这种情况下，我们必须用积分而不是和来描述配分函数。对于一个经典的连续正则系综，典型的配分函数被定义为
: <math> Z = \frac{1}{h^3} \int \mathrm{e}^{-\beta H(q, p)} \, \mathrm{d}^3 q \, \mathrm{d}^3 p, </math>
: <math> Z = \frac{1}{h^3} \int \mathrm{e}^{-\beta H(q, p)} \, \mathrm{d}^3 q \, \mathrm{d}^3 p, </math>
where
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<math> h </math> 是普朗克常数;
<math> h </math> 是普朗克常数; <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; <math> H(q, p) </math> 是系统的哈密顿函数; <math> q </math> 是正则位置; <math> p </math> 是正则动量。
<math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;
<math> H(q, p) </math> 是系统的哈密顿函数;
<math> q </math> 是正则位置
<math> p </math> 是正则动量。
To make it into a dimensionless quantity, we must divide it by ''h'', which is some quantity with units of [[action (physics)|action]] (usually taken to be [[Planck's constant]]).
To make it into a dimensionless quantity, we must divide it by ''h'', which is some quantity with units of [[action (physics)|action]] (usually taken to be [[Planck's constant]]).
为了使它成为一个无量纲量，我们必须将它除以带有作用单位的量 h(通常被认为是普朗克常数)。
为了使它成为一个无量纲量，我们必须将它除以带有作用单位的量 h(通常被认为是普朗克常数)。
;Classical continuous system (multiple identical particles)
;Classical continuous system (multiple identical particles)
经典的连续系统(多全同粒子)
经典的连续系统(多全同粒子)
For a gas of <math> N </math> identical classical particles in three dimensions, the partition function is
For a gas of <math> N </math> identical classical particles in three dimensions, the partition function is
对于一种三维空间中的全同经典粒子气体，配分函数是
对于一种三维空间中的全同经典粒子气体，配分函数是
<math> Z=\frac{1}{N!h^{3N}} \int \, \exp \left(-\beta \sum_{i=1}^N H(\textbf q_i, \textbf p_i) \right) \; \mathrm{d}^3 q_1 \cdots \mathrm{d}^3 q_N \, \mathrm{d}^3 p_1 \cdots \mathrm{d}^3 p_N </math>
<math> Z=\frac{1}{N!h^{3N}} \int \, \exp \left(-\beta \sum_{i=1}^N H(\textbf q_i, \textbf p_i) \right) \; \mathrm{d}^3 q_1 \cdots \mathrm{d}^3 q_N \, \mathrm{d}^3 p_1 \cdots \mathrm{d}^3 p_N </math>
where
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<math> h </math> 是普朗克常数;
<math> h </math> 是普朗克常数; <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; <math> i </math> 是系统粒子的指数; <math> H </math> 是一个粒子的哈密顿量; <math> q_i </math> 是各个粒子的正则位置; <math> p_i </math> 是各个粒子的正则动量;
<math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;
<math> i </math> 是系统粒子的指数
<math> H </math> 是一个粒子的哈密顿量;
<math> q_i </math> 是各个粒子的正则位置;
<math> p_i </math> 是各个粒子的正则动量;
<math> \mathrm{d}^3 </math> 是一个简写符号，用来表示 <math> q_i </math> 和 <math> p_i </math> 是三维空间中的向量。<br />
<math> \mathrm{d}^3 </math> 是一个简写符号，用来表示 <math> q_i </math> 和 <math> p_i </math> 是三维空间中的向量。<br />
为什么使用阶乘因子 n 的原因会在下面讨论。在分母中引入了额外的常数因子是因为离子的离散形式。上面显示的连续形式不是无量纲的。正如前面的章节所说，为了使它成为一个无量纲量，我们必须用''h''<sup>3''N''</sup> (h 通常被认为是普朗克常数)来除以它。
为什么使用阶乘因子 n 的原因会在下面讨论。在分母中引入了额外的常数因子是因为离子的离散形式。上面显示的连续形式不是无量纲的。正如前面的章节所说，为了使它成为一个无量纲量，我们必须用''h''<sup>3''N''</sup> (h 通常被认为是普朗克常数)来除以它。
;Quantum mechanical discrete system
;Quantum mechanical discrete system
量子力学离散系统
量子力学离散系统
For a canonical ensemble that is quantum mechanical and discrete, the canonical partition function is defined as the [[trace (linear algebra)|trace]] of the Boltzmann factor:
For a canonical ensemble that is quantum mechanical and discrete, the canonical partition function is defined as the [[trace (linear algebra)|trace]] of the Boltzmann factor:
对于量子力学和离散的正则系综，典型的配分函数被定义为玻尔兹曼因子的轨迹:
对于量子力学和离散的正则系综，典型的配分函数被定义为玻尔兹曼因子的轨迹:
<math> Z = \operatorname{tr} ( \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} ), </math>
<math> Z = \operatorname{tr} ( \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} ), </math>
where:
where:
<math> \operatorname{tr} ( \circ ) </math> 是矩阵的轨迹; <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; <math> \hat{H} </math> 是哈密尔顿算符。
<math> \operatorname{tr} ( \circ ) </math> 是矩阵的轨迹;
<math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;
<math> \hat{H} </math> 是哈密尔顿算符。
The [[dimension]] of <math> \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} </math> is the number of [[energy eigenstates]] of the system.
The [[dimension]] of <math> \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} </math> is the number of [[energy eigenstates]] of the system.
系统的能量本征态个数 <math> \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} </math> 是系统的能量本征态个数。
系统的能量本征态个数 <math> \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} </math> 是系统的能量本征态个数。
量子力学连续系统
量子力学连续系统
For a canonical ensemble that is quantum mechanical and continuous, the canonical partition function is defined as
For a canonical ensemble that is quantum mechanical and continuous, the canonical partition function is defined as
对于一个量子力学的连续正则系综，标准配分函数被定义为
对于一个量子力学的连续正则系综，标准配分函数被定义为
<math> Z = \frac{1}{h} \int \langle q, p | \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} | q, p \rangle \, \mathrm{d} q \, \mathrm{d} p, </math>
<math> Z = \frac{1}{h} \int \langle q, p | \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} | q, p \rangle \, \mathrm{d} q \, \mathrm{d} p, </math>
where:
where:
<math> h </math> 是普朗克常数; <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; <math> \hat{H} </math> 是哈密尔顿算符；<math> q </math>是正则位置；<math> p </math> 是正则动量。
<math> h </math> 是普朗克常数;
<math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>;
<math> \hat{H} </math> 是哈密尔顿算符；
<math> q </math>是正则位置；
<math> p </math> 是正则动量。
<math> Z = \sum_j g_j \cdot \mathrm{e}^{-\beta E_j},</math>
<math> Z = \sum_j g_j \cdot \mathrm{e}^{-\beta E_j},</math>
where ''g<sub>j</sub>'' is the degeneracy factor, or number of quantum states ''s'' that have the same energy level defined by ''E<sub>j</sub>'' = ''E<sub>s</sub>''.
where ''g<sub>j</sub>'' is the degeneracy factor, or number of quantum states ''s'' that have the same energy level defined by ''E<sub>j</sub>'' = ''E<sub>s</sub>''.
其中''g<sub>j</sub>''是简并因子，或者是由 ''E<sub>j</sub>'' = ''E<sub>s</sub>'' 定义的具有相同能级的量子态 ''s'' 的数目。
其中''g<sub>j</sub>''是简并因子，或者是由 ''E<sub>j</sub>'' = ''E<sub>s</sub>'' 定义的具有相同能级的量子态 ''s'' 的数目。
上述的处理方法适用于量子统计力学，在有限大小的盒子里的物理系统通常会有一组离散的能量本征态，我们可以用它作为上面的状态。在量子力学中，配分函数可以更正式地写成状态空间上的迹(这与基的选择无关) :
上述的处理方法适用于量子统计力学，在有限大小的盒子里的物理系统通常会有一组离散的能量本征态，我们可以用它作为上面的状态。在量子力学中，配分函数可以更正式地写成状态空间上的迹(这与基的选择无关) :
<math>Z = \operatorname{tr} ( \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} ),</math>
<math>Z = \operatorname{tr} ( \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} ),</math>
Ĥ是量子哈密顿算符。算子的指数可以用指数幂级数来定义。
Ĥ是量子哈密顿算符。算子的指数可以用指数幂级数来定义。