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第728行：
第728行： − − = \int \langle x,p| \mathrm{e}^{-\beta\hat{H}} |x, p\rangle \frac{dx \,dp}{h}. 第762行：
第760行： − + + 第818行：
第817行： − − </math> − − \end{align} 第897行：
第892行： − <math>\langle E \rangle = - \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}.</math> − 第904行：
第897行： − − <math>\langle (\Delta E)^2 \rangle \equiv \langle (E - \langle − − 2rangle equiv langle (e-langle)2 rangle equiv langle − − − − E\rangle)^2 \rangle = \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial \beta^2}.</math> 第919行：
第904行： − <math>C_v = \frac{\partial \langle E\rangle}{\partial T} = \frac{1}{k_B T^2} \langle (\Delta E)^2 \rangle.</math><br /> − 第929行：
第912行： − − <math>\langle X \rangle = \pm \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta Y}.</math><br /> 第937行：
第918行： − − <math>\langle (\Delta X)^2 \rangle \equiv \langle (X - \langle − − 2rangle equiv langle (x-langle − − − − X\rangle)^2 \rangle = \frac{\partial \langle X \rangle}{\partial \beta Y} = \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial (\beta Y)^2}.</math> 第952行：
第925行： − <math>S \equiv -k_B\sum_s P_s\ln P_s= k_B (\ln Z + \beta \langle E\rangle)=\frac{\partial}{\partial T}(k_B T \ln Z) =-\frac{\partial A}{\partial T}</math><br /> − 第959行：
第930行： − − <math>A = \langle E\rangle -TS= - k_B T \ln Z.</math><br /> 第971行：
第940行： − − <math>Z =\prod_{j=1}^{N} \zeta_j.</math><br /> 第979行：
第946行： − − <math>Z = \zeta^N.</math><br /> 第987行：
第952行： − − <math>Z = \frac{\zeta^N}{N!}.</math><br /> 第1,006行：
第969行： − <math>P_s = \frac{1}{Z} \mathrm{e}^{- \beta E_s}. </math>+ − − − − : <math>P_s = \frac{1}{Z} \mathrm{e}^{- \beta E_s}. </math> − <math>\sum_s P_s = \frac{1}{Z} \sum_s \mathrm{e}^{- \beta E_s} = \frac{1}{Z} Z − − 1}{ z } sum s mathrm { e } ^ {-beta e _ s } = frac {1}{ z } z − − − − = 1. </math> −
→Connection to probability theory 与概率论的结合
</math>
</math>
A coherent state is an approximate eigenstate of both operators <math> \hat{x} </math> and <math> \hat{p} </math>, hence also of the Hamiltonian Ĥ, with errors of the size of the uncertainties. If Δx and Δp can be regarded as zero, the action of Ĥ reduces to multiplication by the classical Hamiltonian, and Z reduces to the classical configuration integral.
A coherent state is an approximate eigenstate of both operators <math> \hat{x} </math> and <math> \hat{p} </math>, hence also of the Hamiltonian Ĥ, with errors of the size of the uncertainties. If Δx and Δp can be regarded as zero, the action of Ĥ reduces to multiplication by the classical Hamiltonian, and Z reduces to the classical configuration integral.
<math>
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k \ln p_i &= k \ln \Omega_B(E - E_i) - k \ln \Omega_{(S,B)}(E) \\[5pt]
k \ln p_i &= k \ln \Omega_B(E - E_i) - k \ln \Omega_{(S,B)}(E) \\
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正如我们已经看到的，热力学能
正如我们已经看到的，热力学能
: <math>\langle E \rangle = - \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}.</math>
: <math>\langle E \rangle = - \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}.</math>
能量(或“能量波动”)的方差是
能量(或“能量波动”)的方差是
: <math>\langle (\Delta E)^2 \rangle \equiv \langle (E - \langle
: <math>\langle (\Delta E)^2 \rangle \equiv \langle (E - \langle
热容为
热容为
: <math>C_v = \frac{\partial \langle E\rangle}{\partial T} = \frac{1}{k_B T^2} \langle (\Delta E)^2 \rangle.</math>
: <math>C_v = \frac{\partial \langle E\rangle}{\partial T} = \frac{1}{k_B T^2} \langle (\Delta E)^2 \rangle.</math>
一般来说，考虑扩展变量 X 和密集变量 Y，其中 X 和 Y 形成一对共轭变量。在 Y 固定(X 允许波动)的系综中，X 的平均值是:
一般来说，考虑扩展变量 X 和密集变量 Y，其中 X 和 Y 形成一对共轭变量。在 Y 固定(X 允许波动)的系综中，X 的平均值是:
: <math>\langle X \rangle = \pm \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta Y}.</math>
: <math>\langle X \rangle = \pm \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta Y}.</math>
符号将取决于变量 X 和 Y 的具体定义。一个例子是 X = 体积和 Y = 压强。另外，X 中的方差是
符号将取决于变量 X 和 Y 的具体定义。一个例子是 X = 体积和 Y = 压强。另外，X 中的方差是
: <math>\langle (\Delta X)^2 \rangle \equiv \langle (X - \langle
: <math>\langle (\Delta X)^2 \rangle \equiv \langle (X - \langle
在[[熵]]的特殊情况下，熵是由
在[[熵]]的特殊情况下，熵是由
: <math>S \equiv -k_B\sum_s P_s\ln P_s= k_B (\ln Z + \beta \langle E\rangle)=\frac{\partial}{\partial T}(k_B T \ln Z) =-\frac{\partial A}{\partial T}</math>
: <math>S \equiv -k_B\sum_s P_s\ln P_s= k_B (\ln Z + \beta \langle E\rangle)=\frac{\partial}{\partial T}(k_B T \ln Z) =-\frac{\partial A}{\partial T}</math>
其中 A 是定义为 A = U-TS 的亥姆霍兹自由能，其中 U = E 是总能量，S 是熵，所以
其中 A 是定义为 A = U-TS 的亥姆霍兹自由能，其中 U = E 是总能量，S 是熵，所以
: <math>A = \langle E\rangle -TS= - k_B T \ln Z.</math>
: <math>A = \langle E\rangle -TS= - k_B T \ln Z.</math>
假设一个系统被细分为 n 个相互作用能可忽略的子系统，也就是说，我们可以假定这些粒子基本上是不相互作用的。如果子系统的配分函数是 ζ<sub>1</sub>, ζ<sub>2</sub>, ..., ζ<sub>N，</sub>那么整个系统的配分函数就是单个配分函数的乘积:
假设一个系统被细分为 n 个相互作用能可忽略的子系统，也就是说，我们可以假定这些粒子基本上是不相互作用的。如果子系统的配分函数是 ζ<sub>1</sub>, ζ<sub>2</sub>, ..., ζ<sub>N，</sub>那么整个系统的配分函数就是单个配分函数的乘积:
: <math>Z =\prod_{j=1}^{N} \zeta_j.</math>
: <math>Z =\prod_{j=1}^{N} \zeta_j.</math>
如果子系统具有相同的物理性质，那么它们的配分函数是相等的，ζ<sub>1</sub> = ζ<sub>2</sub> = ... = ζ，在这种情况下
如果子系统具有相同的物理性质，那么它们的配分函数是相等的，ζ<sub>1</sub> = ζ<sub>2</sub> = ... = ζ，在这种情况下
: <math>Z = \zeta^N.</math><br />
: <math>Z = \zeta^N.</math><br />
然而，这条规则有一个众所周知的例外。如果这些子系统实际上是全同粒子的，从量子力学的意义上说，即使在原则上也无法区分它们，那么总配分函数必须除以 n！(n 阶乘) :
然而，这条规则有一个众所周知的例外。如果这些子系统实际上是全同粒子的，从量子力学的意义上说，即使在原则上也无法区分它们，那么总配分函数必须除以 n！(n 阶乘) :
: <math>Z = \frac{\zeta^N}{N!}.</math>
: <math>Z = \frac{\zeta^N}{N!}.</math>
配分函数与热力学性质有关，因此它具有非常重要的统计意义。系统处于微观状态 ''s'' 的概率''P<sub>s</sub>''为
配分函数与热力学性质有关，因此它具有非常重要的统计意义。系统处于微观状态 ''s'' 的概率''P<sub>s</sub>''为
<math>P_s = \frac{1}{Z} \mathrm{e}^{- \beta E_s}. </math>
Thus, as shown above, the partition function plays the role of a normalizing constant (note that it does ''not'' depend on ''s''), ensuring that the probabilities sum up to one:
Thus, as shown above, the partition function plays the role of a normalizing constant (note that it does ''not'' depend on ''s''), ensuring that the probabilities sum up to one:
因此，如上所示，配分函数常数扮演了一个正常化常数的角色(注意它不依赖于 ''s'' ) ，确保概率总和为1:
因此，如上所示，配分函数常数扮演了一个正常化常数的角色(注意它不依赖于 ''s'' ) ，确保概率总和为1:
: <math>\sum_s P_s = \frac{1}{Z} \sum_s \mathrm{e}^{- \beta E_s} = \frac{1}{Z} Z
: <math>\sum_s P_s = \frac{1}{Z} \sum_s \mathrm{e}^{- \beta E_s} = \frac{1}{Z} Z