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第820行：
第820行： − Thus 第845行：
第844行： − In order to demonstrate the usefulness of the partition function, let us calculate the thermodynamic value of the total energy. This is simply the [[expected value]], or [[ensemble average]] for the energy, which is the sum of the microstate energies weighted by their probabilities:+ + 第858行：
第858行： − − or, equivalently, − − Incidentally, one should note that if the microstate energies depend on a parameter λ in the manner − − then the expected value of A is 第884行：
第878行： − In this section, we will state the relationships between the partition function and the various thermodynamic parameters of the system. These results can be derived using the method of the previous section and the various thermodynamic relations. − − − As we have already seen, the thermodynamic energy is − − The variance in the energy (or "energy fluctuation") is 第900行：
第888行： − − The heat capacity is 第907行：
第893行： − + − In general, consider the [[extensive variable]] X and [[intensive variable]] Y where X and Y form a pair of [[conjugate variables]]. In ensembles where Y is fixed (and X is allowed to fluctuate), then the average value of X will be: − − − 一般来说，考虑扩展变量 X 和密集变量 Y，其中 X 和 Y 形成一对共轭变量。在 Y 固定(X 允许波动)的系综中，X 的平均值是: − The sign will depend on the specific definitions of the variables X and Y. An example would be X = volume and Y = pressure. Additionally, the variance in X will be+ − − − − In the special case of entropy, entropy is given by − − where ''A'' is the [[Helmholtz free energy]] defined as ''A'' = ''U'' − ''TS'', where ''U'' = {{langle}}''E''{{rangle}} is the total energy and ''S'' is the [[entropy]], so that
→Partition functions of subsystems 子系统配分函数
</math>
</math>
因此得到
因此得到
为了证明配分函数的有用性，让我们计算总能量的热力学值。这仅仅是能量的期望值，或者说总体均值，它是微状态能量的总和，加上它们的概率:
为了证明配分函数的有用性，让我们计算总能量的热力学值。这仅仅是能量的期望值，或者说总体均值，它是微状态能量的总和，加上它们的概率:
</math>
</math>
或者，等价地说,
或者，等价地说,
: <math>\langle E\rangle = k_B T^2 \frac{\partial \ln Z}{\partial T}.</math>
: <math>\langle E\rangle = k_B T^2 \frac{\partial \ln Z}{\partial T}.</math>
如果微态能量依赖于参数 λ 的方式
如果微态能量依赖于参数 λ 的方式
: <math>E_s = E_s^{(0)} + \lambda A_s \qquad \mbox{for all}\; s </math>
: <math>E_s = E_s^{(0)} + \lambda A_s \qquad \mbox{for all}\; s </math>
那么 A 的期望值就是
那么 A 的期望值就是
=== Relation to thermodynamic variables 与热力学变量的关联 ===
=== Relation to thermodynamic variables 与热力学变量的关联 ===
在这一节中，我们将陈述配分函数和系统的各种热力学参数之间的关系。这些结果可用前面的方法和各种热力学关系式推导出来。
在这一节中，我们将陈述配分函数和系统的各种热力学参数之间的关系。这些结果可用前面的方法和各种热力学关系式推导出来。
正如我们已经看到的，热力学能
正如我们已经看到的，热力学能
: <math>\langle E \rangle = - \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}.</math>
: <math>\langle E \rangle = - \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}.</math>
能量(或“能量波动”)的方差是
能量(或“能量波动”)的方差是
E\rangle)^2 \rangle = \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial \beta^2}.</math>
E\rangle)^2 \rangle = \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial \beta^2}.</math>
热容为
热容为
一般来说，考虑扩展变量 X 和密集变量 Y，其中 X 和 Y 形成一对<nowiki>[[共轭变量]]</nowiki>。在 Y 固定(X 允许波动)的系综中，X 的平均值是:
: <math>\langle X \rangle = \pm \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta Y}.</math>
: <math>\langle X \rangle = \pm \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta Y}.</math>
符号将取决于变量 X 和 Y 的具体定义。一个例子是 X = 体积和 Y = 压强。另外，X 中的方差是：
符号将取决于变量 X 和 Y 的具体定义。一个例子是 X = 体积和 Y = 压强。另外，X 中的方差是
: <math>\langle (\Delta X)^2 \rangle \equiv \langle (X - \langle
: <math>\langle (\Delta X)^2 \rangle \equiv \langle (X - \langle
X\rangle)^2 \rangle = \frac{\partial \langle X \rangle}{\partial \beta Y} = \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial (\beta Y)^2}.</math>
X\rangle)^2 \rangle = \frac{\partial \langle X \rangle}{\partial \beta Y} = \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial (\beta Y)^2}.</math>
在[[熵]]的特殊情况下，熵是由
在[[熵]]的特殊情况下，熵是由
: <math>S \equiv -k_B\sum_s P_s\ln P_s= k_B (\ln Z + \beta \langle E\rangle)=\frac{\partial}{\partial T}(k_B T \ln Z) =-\frac{\partial A}{\partial T}</math>
: <math>S \equiv -k_B\sum_s P_s\ln P_s= k_B (\ln Z + \beta \langle E\rangle)=\frac{\partial}{\partial T}(k_B T \ln Z) =-\frac{\partial A}{\partial T}</math>
其中 A 是定义为 A = U-TS 的亥姆霍兹自由能，其中 U = E 是总能量，S 是熵，所以
其中 A 是定义为 A = U-TS 的亥姆霍兹自由能，其中 U = E 是总能量，S 是熵，所以