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'''扁平层次结构'''是指最大度接近无穷的支化层次结构，例如跨度很大的层次结构。<ref name="Architecture">{{cite journal|last=Simon|first=Herbert A.|title=The Architecture of Complexity|journal=[[Proc. Am. Philos. Soc.]]|volume=106|issue=6|date=12 December 1962|pages=467–482|publisher=[[American Philosophical Society]]|issn=0003-049X|location=Philadelphia, Pennsylvania |citeseerx=10.1.1.110.961}}{{registration required}}</ref>分层系统一般最多只有中等的跨度，故扁平层次结构通常根本不被视为层次结构。例如钻石和石墨是由许多碳原子组成的扁平层次结构，而这些碳原子可进一步分解为亚原子粒子。
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'''扁平层次结构'''是指最大度接近无穷的支化层次结构，例如跨度很大的层次结构。<ref name="Architecture">{{cite journal|last=Simon|first=Herbert A.|title=The Architecture of Complexity|journal=Proc. Am. Philos. Soc.|volume=106|issue=6|date=12 December 1962|pages=467–482|publisher=American Philosophical Society|issn=0003-049X|location=Philadelphia, Pennsylvania |citeseerx=10.1.1.110.961}}</ref>分层系统一般最多只有中等的跨度，故扁平层次结构通常根本不被视为层次结构。例如钻石和石墨是由许多碳原子组成的扁平层次结构，而这些碳原子可进一步分解为亚原子粒子。
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==术语历史 History of the term==
 
==术语历史 History of the term==
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“层次”这一英语单词的首次被牛津英语词典引用的使用可能是在1881年，被用来指伪狄奥尼修斯 Pseudo-Dionysius the Areopagite（5-6世纪）所描述的3个天使的3个阶层。伪狄奥尼修斯使用相关的希腊单词(ἱεραρχία hierarchia) 来指代天界阶层和教会阶层。<ref>[http://www.newadvent.org/cathen/07322c.htm CATHOLIC ENCYCLOPEDIA: Hierarchy<!-- Bot generated title -->]</ref> 希腊语 ἱεραρχία表示大祭司的统治<ref>[https://www.etymonline.com/word/hierarchy "hierarchy"]. [[Online Etymology Dictionary]].</ref>（源自ἱεράρχης hierarches，“神圣仪式的主持，高阶祭司”，自ἱερεύς hiereus, “祭司”<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Di%28ereu%2Fs ἱερεύς], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus Digital Library</ref>，及 ἀρχή arche等“最初的地方或力量，统治”<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Da%29rxh%2F ἀρχή], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus Digital Library</ref>）
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“层次”这一英语单词的首次被牛津英语词典引用的使用可能是在1881年，被用来指伪狄奥尼修斯 Pseudo-Dionysius the Areopagite（5-6世纪）所描述的3个天使的3个阶层。伪狄奥尼修斯使用相关的希腊单词(ἱεραρχία hierarchia) 来指代天界阶层和教会阶层。<ref>[http://www.newadvent.org/cathen/07322c.htm CATHOLIC ENCYCLOPEDIA: Hierarchy<!-- Bot generated title -->]</ref> 希腊语 ἱεραρχία表示大祭司的统治<ref>[https://www.etymonline.com/word/hierarchy "hierarchy"]. Online Etymology Dictionary.</ref>（源自ἱεράρχης hierarches，“神圣仪式的主持，高阶祭司”，自ἱερεύς hiereus, “祭司”<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Di%28ereu%2Fs ἱερεύς], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus Digital Library</ref>，及 ἀρχή arche等“最初的地方或力量，统治”<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Da%29rxh%2F ἀρχή], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus Digital Library</ref>）
 
伪狄奥尼修斯首次将其用作抽象名词概念，自阶层式教会，如罗马天主教和东正教，拥有现代语义上的层次性结构（按照传统层次结构的顶部或头部表示神）以来，该术语开始指称世俗语境下类似的组织方式。
 
伪狄奥尼修斯首次将其用作抽象名词概念，自阶层式教会，如罗马天主教和东正教，拥有现代语义上的层次性结构（按照传统层次结构的顶部或头部表示神）以来，该术语开始指称世俗语境下类似的组织方式。
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==通俗表达 Informal representation==
 
==通俗表达 Informal representation==
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在日常英语中，层次可以被看作是一个集合，其中:<ref name="Dawkins">{{cite conference|last=Dawkins|first=Richard|authorlink=Richard Dawkins|title=Hierarchical organization: a candidate principle for ethology|conference=Growing points in ethology: based on a conference sponsored by St. John's College and King's College, Cambridge|editor1=Bateson, Paul Patrick Gordon |editor2=Hinde, Robert A.|year=1976|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge, England|pages=7–54}}</ref>
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在日常英语中，层次可以被看作是一个集合，其中:<ref name="Dawkins">{{cite conference|last=Dawkins|first=Richard|title=Hierarchical organization: a candidate principle for ethology|conference=Growing points in ethology: based on a conference sponsored by St. John's College and King's College, Cambridge|editor1=Bateson, Paul Patrick Gordon |editor2=Hinde, Robert A.|year=1976|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge, England|pages=7–54}}</ref>
    
# 任何元素都不高于自身，且
 
# 任何元素都不高于自身，且
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嵌套层次结构或包含层次结构，是指嵌套集的层次结构排序。<ref name="natsocsci-ch4">{{cite encyclopedia|title=Hierarchy, Complexity, Society|last=Lane|first=David|pages=81–120|encyclopedia=Hierarchy in Natural and Social Sciences|editor=Pumain, Denise|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=New York, New York|year=2006}}</ref>嵌套的概念在俄罗斯套娃中得到体现。每个玩偶都被另一个玩偶包裹着，一直到最外层的。外部的套娃包含所有其内部的玩偶，往外一层的玩偶也包含所有其内部剩余的玩偶，如此反复。套娃结构是一个每层都只有一个对象的嵌套层次结构，例如在套娃中同样大小的玩偶只有一个；广义的嵌套层次可以每层都有多个对象，但每层里的对象都只有一个父级对象。嵌套层次一般概念的论证及数学表达如下：
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嵌套层次结构或包含层次结构，是指嵌套集的层次结构排序。<ref name="natsocsci-ch4">{{cite encyclopedia|title=Hierarchy, Complexity, Society|last=Lane|first=David|pages=81–120|encyclopedia=Hierarchy in Natural and Social Sciences|editor=Pumain, Denise|publisher=Springer-Verlag|location=New York, New York|year=2006}}</ref>嵌套的概念在俄罗斯套娃中得到体现。每个玩偶都被另一个玩偶包裹着，一直到最外层的。外部的套娃包含所有其内部的玩偶，往外一层的玩偶也包含所有其内部剩余的玩偶，如此反复。套娃结构是一个每层都只有一个对象的嵌套层次结构，例如在套娃中同样大小的玩偶只有一个；广义的嵌套层次可以每层都有多个对象，但每层里的对象都只有一个父级对象。嵌套层次一般概念的论证及数学表达如下：
    
: <math> \text{square} \subset \text{quadrilateral} \subset \text{polygon} \subset \text{shape} \, </math>
 
: <math> \text{square} \subset \text{quadrilateral} \subset \text{polygon} \subset \text{shape} \, </math>
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包容层次有包含包容层次和组合包容层次两种。包含包容层次“包含”其子级，而组合包容层次“组合”其子级。层次结构也可能同时是包含的和组合的。<ref name="AI industrial">{{cite encyclopedia|title=Industrial and Engineering Applications of Artificial Intelligence and Expert Systems|last=Kopisch|first=Manfred|last2=Günther|first2=Andreas|doi=10.1007/BFb0024994|editor-last=Belli|editor-first=Fevzi|encyclopedia=Industrial and engineering applications of artificial intelligence and expert systems: 5th international conference, IEA/AIE-92, Paderborn, Germany, June 9–12, 1992 : proceedings|year=1992|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|pages=424–427|series=Lecture Notes in Computer Science Series|volume=602|issn=0302-9743|editor6-last=Radermacher|editor8-first=Franz-Josef|chapter=Configuration of a passenger aircraft cabin based on conceptual hierarchy, constraints and flexible control}}</ref>
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包容层次有包含包容层次和组合包容层次两种。包含包容层次“包含”其子级，而组合包容层次“组合”其子级。层次结构也可能同时是包含的和组合的。<ref name="AI industrial">{{cite encyclopedia|title=Industrial and Engineering Applications of Artificial Intelligence and Expert Systems|last=Kopisch|first=Manfred|last2=Günther|first2=Andreas|doi=10.1007/BFb0024994|editor-last=Belli|editor-first=Fevzi|encyclopedia=Industrial and engineering applications of artificial intelligence and expert systems: 5th international conference, IEA/AIE-92, Paderborn, Germany, June 9–12, 1992 : proceedings|year=1992|publisher=Springer|pages=424–427|series=Lecture Notes in Computer Science Series|volume=602|issn=0302-9743|editor6-last=Radermacher|editor8-first=Franz-Josef|chapter=Configuration of a passenger aircraft cabin based on conceptual hierarchy, constraints and flexible control}}</ref>
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包容层次结构 subsumptive containment hierarchy是对象类从一般到特定的分类。这类层次结构的其他名称是“分类层次结构”和“ IS-A 层次结构”。<ref name="Lehmann"/><ref name="ibm">{{cite web|url=http://publib.boulder.ibm.com/infocenter/wtxdoc/v8r2m0/index.jsp?topic=/com.ibm.websphere.dtx.md.doc/concepts/c_map_design_Compositional_Hierarchy.htm|archive-url=https://archive.today/20130103052727/http://publib.boulder.ibm.com/infocenter/wtxdoc/v8r2m0/index.jsp?topic=/com.ibm.websphere.dtx.md.doc/concepts/c_map_design_Compositional_Hierarchy.htm|url-status=dead|archive-date=3 January 2013|title=Compositional hierarchy|work=WebSphere Transformation Extender Design Studio|accessdate=9 October 2009}}</ref><ref name="sys model">{{cite book|chapter=An advanced modeling environment based on a hybrid AI-OR approach|chapterurl=https://books.google.com/books?id=ds2eIQ6XZy0C&pg=PA366|pages=366–75|last=Funke|first=Birger|last2=Sebastian|first2=Hans-Jürgen|title=Systems modelling and optimization: proceedings of the 18th IFIP TC7 conference|volume=396|series=Research notes in mathematics series|editor1-last=Polis|editor1-first=Michael P.|editor2-last=Dontchev|editor2-first=Asen L.|editor3-last=Kall|editor3-first=Peter|editor4-last=Lascieka|editor4-first=Irena|editor5-last=Olbrot|editor5-first=Andrzej W.|publisher=[[CRC Press]]|year=1999}}</ref>最后一个术语描述了每个级别之间的关系——较低级别的对象“是”较高级别类的成员。上面概述的分类结构是一个包容性的层次结构。再次使用林奈分类系统的例子，可以看到，属于哺乳动物 Mammalia 等级的物体“是”动物等级的成员；更具体地说，人类“是”灵长类动物，灵长类动物“是”哺乳动物等等。也可以抽象地将包含的层次结构定义为“概念”的层次结构。例如<ref name="sys model"/>，根据上述的林奈分类系统，像动物这样的实体名称是对所有符合动物概念的物种进行分类的一种方法。
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包容层次结构 subsumptive containment hierarchy是对象类从一般到特定的分类。这类层次结构的其他名称是“分类层次结构”和“ IS-A 层次结构”。<ref name="Lehmann"/><ref name="ibm">{{cite web|url=http://publib.boulder.ibm.com/infocenter/wtxdoc/v8r2m0/index.jsp?topic=/com.ibm.websphere.dtx.md.doc/concepts/c_map_design_Compositional_Hierarchy.htm|archive-url=https://archive.today/20130103052727/http://publib.boulder.ibm.com/infocenter/wtxdoc/v8r2m0/index.jsp?topic=/com.ibm.websphere.dtx.md.doc/concepts/c_map_design_Compositional_Hierarchy.htm|url-status=dead|archive-date=3 January 2013|title=Compositional hierarchy|work=WebSphere Transformation Extender Design Studio|accessdate=9 October 2009}}</ref><ref name="sys model">{{cite book|chapter=An advanced modeling environment based on a hybrid AI-OR approach|chapterurl=https://books.google.com/books?id=ds2eIQ6XZy0C&pg=PA366|pages=366–75|last=Funke|first=Birger|last2=Sebastian|first2=Hans-Jürgen|title=Systems modelling and optimization: proceedings of the 18th IFIP TC7 conference|volume=396|series=Research notes in mathematics series|editor1-last=Polis|editor1-first=Michael P.|editor2-last=Dontchev|editor2-first=Asen L.|editor3-last=Kall|editor3-first=Peter|editor4-last=Lascieka|editor4-first=Irena|editor5-last=Olbrot|editor5-first=Andrzej W.|publisher=CRC Press|year=1999}}</ref>最后一个术语描述了每个级别之间的关系——较低级别的对象“是”较高级别类的成员。上面概述的分类结构是一个包容性的层次结构。再次使用林奈分类系统的例子，可以看到，属于哺乳动物 Mammalia 等级的物体“是”动物等级的成员；更具体地说，人类“是”灵长类动物，灵长类动物“是”哺乳动物等等。也可以抽象地将包含的层次结构定义为“概念”的层次结构。例如<ref name="sys model"/>，根据上述的林奈分类系统，像动物这样的实体名称是对所有符合动物概念的物种进行分类的一种方法。
    
=====构成性包容层次结构 Compositional containment hierarchy=====
 
=====构成性包容层次结构 Compositional containment hierarchy=====
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根据 Kulish v. v. (2002) 的研究，几乎世界上所有的组织系统都是等级制度的。<ref name="electrodynamics">{{cite book|title=Hierarchical Methods: Hierarchy and hierarchical asymptotic methods in electrodynamics|last=Kulish|first=V. V.|year=2002|volume=1|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|pages=xvii–xx; 49–71}}</ref>按照他们的共同定义，每个国家 nation都有一个政府，每个政府都是层级制度的。<ref>{{Cite book|contribution=government|title=Compact Oxford English Dictionary|contribution-url=http://www.askoxford.com/concise_oed/government?view=uk|year=1991|title-link=Oxford English Dictionary|last1=Soanes|first1=Catherine|last2=Hawker|first2=Sara}}</ref><ref>{{Cite book|contribution=nation|title=Compact Oxford English Dictionary|contribution-url=http://www.askoxford.com/concise_oed/nation?view=uk|year=1991|title-link=Oxford English Dictionary|last1=Soanes|first1=Catherine|last2=Hawker|first2=Sara}}</ref> 社会经济系统被分为一个社会等级制（社会的社会分层 social stratification） ，所有的系统分类方案(分类法)都是分等级的。大多数有组织的宗教，不管它们的内部管理结构如何，都在上帝之下按照层级运作。许多基督教教派 Christian denominations都有一个独立的教会领导层次。从表亲关系（例如，第一代表兄弟，第二代表兄弟等等）、祖先(由家谱 family tree描述)和继承(继承和继承权)的角度来看，家庭可以看作是一种等级结构。一个全面的生活和生活方式的所有必需品都可以用马斯洛人类需求层次 Maslow's hierarchy of human needs来组织。学习通常必须遵循一个层次框架——学习微分方程必须先学习微积分；学习微积分必须先学习初等代数等等。甚至自然本身也有它自己的层级，许多方案试图记录下来，例如林奈分类学、生命的组织和生物量金字塔。层级制度是如此地深入到日常生活中，以至于人们认为它们微不足道。<ref name="Dawkins"/><ref name="electrodynamics"/>
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根据 Kulish v. v. (2002) 的研究，几乎世界上所有的组织系统都是等级制度的。<ref name="electrodynamics">{{cite book|title=Hierarchical Methods: Hierarchy and hierarchical asymptotic methods in electrodynamics|last=Kulish|first=V. V.|year=2002|volume=1|publisher=Springer|pages=xvii–xx; 49–71}}</ref>按照他们的共同定义，每个国家 nation都有一个政府，每个政府都是层级制度的。<ref>{{Cite book|contribution=government|title=Compact Oxford English Dictionary|contribution-url=http://www.askoxford.com/concise_oed/government?view=uk|year=1991|title-link=Oxford English Dictionary|last1=Soanes|first1=Catherine|last2=Hawker|first2=Sara}}</ref><ref>{{Cite book|contribution=nation|title=Compact Oxford English Dictionary|contribution-url=http://www.askoxford.com/concise_oed/nation?view=uk|year=1991|title-link=Oxford English Dictionary|last1=Soanes|first1=Catherine|last2=Hawker|first2=Sara}}</ref> 社会经济系统被分为一个社会等级制（社会的社会分层 social stratification） ，所有的系统分类方案(分类法)都是分等级的。大多数有组织的宗教，不管它们的内部管理结构如何，都在上帝之下按照层级运作。许多基督教教派 Christian denominations都有一个独立的教会领导层次。从表亲关系（例如，第一代表兄弟，第二代表兄弟等等）、祖先(由家谱 family tree描述)和继承(继承和继承权)的角度来看，家庭可以看作是一种等级结构。一个全面的生活和生活方式的所有必需品都可以用马斯洛人类需求层次 Maslow's hierarchy of human needs来组织。学习通常必须遵循一个层次框架——学习微分方程必须先学习微积分；学习微积分必须先学习初等代数等等。甚至自然本身也有它自己的层级，许多方案试图记录下来，例如林奈分类学、生命的组织和生物量金字塔。层级制度是如此地深入到日常生活中，以至于人们认为它们微不足道。<ref name="Dawkins"/><ref name="electrodynamics"/>
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虽然上面的例子通常以层次形式清楚地描述并且很经典，但是层次结构也存在于许多分支结构并不是很明显的系统中。例如，大多数邮政编码 postal code系统是分层的。以加拿大邮政编码系统为例，顶层的概念是“邮区 postal district”，由18个对象(字母)组成。下一层是“地区 zone”，其中的对象是数字0-9。这是重叠层次结构的一个例子，因为这10个对象中的每一个都有18个父对象。层次继续向下生成，理论上存在720万个 A0A 0A0 (第二个和第三个字母的位置每个允许20个对象)格式的唯一代码。大多数图书分类法系统也是分层级的。杜威十进制图书分类法 Dewey Decimal System被认为是无限层次的，因为在小数点之后可以使用的数字数量是没有限制的。<ref name="Dewey">{{cite journal|title=Tracking Nuclear Sources|date=May–June 2009|last=Walker|first=Randy|publisher=wellservicingmagazine.com|pages=28–30|url=http://wellservicingmagazine.com/sites/default/files/pdfmag/WSM_MAYJUN09.PDF}}{{dead link|date=November 2017 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes}} See also [[Dewey Decimal Classification|Wikipedia article]].</ref>
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虽然上面的例子通常以层次形式清楚地描述并且很经典，但是层次结构也存在于许多分支结构并不是很明显的系统中。例如，大多数邮政编码 postal code系统是分层的。以加拿大邮政编码系统为例，顶层的概念是“邮区 postal district”，由18个对象(字母)组成。下一层是“地区 zone”，其中的对象是数字0-9。这是重叠层次结构的一个例子，因为这10个对象中的每一个都有18个父对象。层次继续向下生成，理论上存在720万个 A0A 0A0 (第二个和第三个字母的位置每个允许20个对象)格式的唯一代码。大多数图书分类法系统也是分层级的。杜威十进制图书分类法 Dewey Decimal System被认为是无限层次的，因为在小数点之后可以使用的数字数量是没有限制的。<ref name="Dewey">{{cite journal|title=Tracking Nuclear Sources|date=May–June 2009|last=Walker|first=Randy|publisher=wellservicingmagazine.com|pages=28–30|url=http://wellservicingmagazine.com/sites/default/files/pdfmag/WSM_MAYJUN09.PDF}}.</ref>
     
唐糖糖
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