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第139行： + − + − 法国数学家庞加莱Poincare年轻的时候参加一个数学大奖赛，名字是奥斯卡国王二世奖。奥斯卡国王是当时挪威和瑞典的国王，非常热爱数学。庞加莱选择的题目是N体问题的级数解。在十九世纪，数学家普遍认为，对微分方程的求解即找到幂级数解。虽然庞加莱并没有解决这个问题，但是因为他的论文很精彩，仍然获得了这个奖。但是，他得奖之后以及论文发表之后，意识到论文有一个严重的错误。导致他购回了所有已经出版的论文，并纠正错误，写出一篇正确的论文，重新付印。庞加莱犯的这个错误是来自于其观念中认为三体问题是可解的，正如牛顿认为的那样。庞加莱后来正确的论文证明了在限制性三体问题中存在混沌，导致三体问题不能像两体问题那样求解。 这标志着混沌的发现。 − − − −
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历史上看，第一个被拓展研究的特定三体问题是月球、地球和太阳构成的“三体”问题。<ref name="first">{{cite web |url=http://www.wolframscience.com/reference/notes/972d |title=Historical Notes: Three-Body Problem |access-date=19 July 2017}}</ref>从现代意义上讲，拓展的三体问题可以是经典力学或量子力学中模拟三个粒子运动的任何问题。
历史上看，第一个被拓展研究的特定三体问题是月球、地球和太阳构成的“三体”问题。<ref name="first">{{cite web |url=http://www.wolframscience.com/reference/notes/972d |title=Historical Notes: Three-Body Problem |access-date=19 July 2017}}</ref>从现代意义上讲，拓展的三体问题可以是经典力学或量子力学中模拟三个粒子运动的任何问题。
==数学描述==
==数学描述==
限制性三体问题有庞加莱引入，作为三体问题的一个简化的版本。 在限制性三体问题中，<ref name="Barrow-Green1997" />一个质量可忽略不计的天体(“小行星”)在两个质量巨大的天体的影响下运动。由于质量可忽略不计，小行星对这两个质量巨大的天体所施加的力可忽略不计，因此可以可以用两个物体的运动来描述，对该系统进行分析。通常这种两体运动被认为是由围绕质心的圆形轨道组成的，并且假定小行星在圆形轨道所定义的平面内运动。
限制性三体问题有庞加莱引入，作为三体问题的一个简化的版本。 在限制性三体问题中，<ref name="Barrow-Green1997" />一个质量可忽略不计的天体(“小行星”)在两个质量巨大的天体的影响下运动。由于质量可忽略不计，小行星对这两个质量巨大的天体所施加的力可忽略不计，因此可以可以用两个物体的运动来描述，对该系统进行分析。通常这种两体运动被认为是由围绕质心的圆形轨道组成的，并且假定小行星在圆形轨道所定义的平面内运动。
受限制的三体问题比完全的三体问题更容易从理论上分析。它也具有实际意义，因为它准确地描述了许多现实世界的问题，其中最重要的例子是地球-月亮-太阳的系统，这也是在三体问题的历史发展中有重要地位的一个典型。
受限制的三体问题比完全的三体问题更容易从理论上分析。它也具有实际意义，因为它准确地描述了许多现实世界的问题，其中最重要的例子是地球-月亮-太阳的系统，这也是在三体问题的历史发展中有重要地位的一个典型。
其中<math>r_i = \sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2}</math>，在这种形式下，运动方程通过坐标具有明确的时间依赖性<math>x_i(t), y_i(t)</math>。但可以通过转换为旋转参考系来消除这种时间相关性，从而简化了后续的分析。
其中<math>r_i = \sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2}</math>，在这种形式下，运动方程通过坐标具有明确的时间依赖性<math>x_i(t), y_i(t)</math>。但可以通过转换为旋转参考系来消除这种时间相关性，从而简化了后续的分析。
== Hill月球问题 ==
==求解==
==三体问题的级数解==
由简单的代数表达式和积分给出的三体没有一般的解析解。<ref name="PrincetonCompanion"/> 此外，除特殊情况，三个物体的运动一般是不重复的。<ref name=13solutions>{{cite journal |first=Jon |last=Cartwright |title=Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem | journal=Science Now |url=http://www.sciencemag.org/news/2013/03/physicists-discover-whopping-13-new-solutions-three-body-problem |date=8 March 2013 |access-date = 2013-04-04}}</ref>
由简单的代数表达式和积分给出的三体没有一般的解析解。<ref name="PrincetonCompanion"/> 此外，除特殊情况，三个物体的运动一般是不重复的。<ref name=13solutions>{{cite journal |first=Jon |last=Cartwright |title=Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem | journal=Science Now |url=http://www.sciencemag.org/news/2013/03/physicists-discover-whopping-13-new-solutions-three-body-problem |date=8 March 2013 |access-date = 2013-04-04}}</ref>
== 三体问题的最终运动 ==
== 三体问题的最终运动 ==
考虑任给初值得到的三体问题微分方程的解，假设这个解不带来碰撞，Chazy给出了所有可能的最终运动，即$t\to \infty$时解的分类。
==特殊的求解方法==
==特殊的求解方法==
[[File:Three body problem figure-8 orbit animation.gif|400px|thumb|三体问题的图 8 解在单个周期 T ≃ 6.3259 上的动画。<ref>Here the gravitational constant ''G'' has been set to 1, and the initial conditions are '''r'''<sub>1</sub>(0) = −'''r'''<sub>3</sub>(0) = (−0.97000436, 0.24308753); '''r'''<sub>2</sub>(0) = (0,0); '''v'''<sub>1</sub>(0) = '''v'''<sub>3</sub>(0) = (0.4662036850, 0.4323657300); '''v'''<sub>2</sub>(0) = (−0.93240737, −0.86473146). The values are obtained from Chenciner & Montgomery (2000).</ref>]]
[[File:Three body problem figure-8 orbit animation.gif|400px|thumb|三体问题的图 8 解在单个周期 T ≃ 6.3259 上的动画。<ref>Here the gravitational constant ''G'' has been set to 1, and the initial conditions are '''r'''<sub>1</sub>(0) = −'''r'''<sub>3</sub>(0) = (−0.97000436, 0.24308753); '''r'''<sub>2</sub>(0) = (0,0); '''v'''<sub>1</sub>(0) = '''v'''<sub>3</sub>(0) = (0.4662036850, 0.4323657300); '''v'''<sub>2</sub>(0) = (−0.93240737, −0.86473146). The values are obtained from Chenciner & Montgomery (2000).</ref>]]
1993年，[[圣塔菲研究所]]的物理学家克里斯摩尔 Cris Moore提出了一种零角动量解，该解适用于三个相等质量围绕一个八字形运动。<ref>{{citation | last = Moore | first = Cristopher | bibcode = 1993PhRvL..70.3675M | doi = 10.1103/PhysRevLett.70.3675 | issue = 24 | journal = Physical Review Letters | pages = 3675–3679 | pmid = 10053934 | title = Braids in classical dynamics | url = http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf | volume = 70 | year = 1993}}</ref>这种方法在2000年由数学家阿兰·契纳 Alain Chenciner和理查德·蒙哥马利 Richard Montgomery证明。<ref>{{cite journal|author=Chenciner, Alain|author2=Montgomery, Richard|title=A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series|volume=152|issue=3|year=2000|pages=881–902|doi=10.2307/2661357|arxiv=math/0011268| jstor=2661357| bibcode=2000math.....11268C}}</ref><ref>{{citation | last = Montgomery | first = Richard | volume = 48 | journal = Notices of the American Mathematical Society | pages = 471–481 | title = A new solution to the three-body problem | url = https://www.ams.org/notices/200105/fea-montgomery.pdf | year = 2001}}</ref>在数值上证明了该解对于质量和轨道参数的小扰动是稳定的，这增加了在物理宇宙中可以观察到这种轨道的可能性。但有人认为不太可能发生这种情况，因为稳定性的范围小。在数值上证明了该解对于质量和轨道参数的小扰动是稳定的，这增加了在物理宇宙中可以观察到这种轨道的可能性。但是，由于稳定性的范围小，因此不太可能发生这种情况。例如，二元-二元散射事件导标号-8轨道的概率估计为1%的一小部分。<ref>{{citation | last = Heggie | first = Douglas C. | doi = 10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x | volume = 318 | issue = 4 | journal = Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
1993年，[[圣塔菲研究所]]的物理学家克里斯摩尔 Cris Moore提出了一种零角动量解，该解适用于三个相等质量围绕一个八字形运动。<ref>{{citation | last = Moore | first = Cristopher | bibcode = 1993PhRvL..70.3675M | doi = 10.1103/PhysRevLett.70.3675 | issue = 24 | journal = Physical Review Letters | pages = 3675–3679 | pmid = 10053934 | title = Braids in classical dynamics | url = http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf | volume = 70 | year = 1993}}</ref>这种方法在2000年由数学家阿兰·尚西奈 Alain Chenciner和理查德·蒙哥马利 Richard Montgomery证明。<ref>{{cite journal|author=Chenciner, Alain|author2=Montgomery, Richard|title=A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series|volume=152|issue=3|year=2000|pages=881–902|doi=10.2307/2661357|arxiv=math/0011268| jstor=2661357| bibcode=2000math.....11268C}}</ref><ref>{{citation | last = Montgomery | first = Richard | volume = 48 | journal = Notices of the American Mathematical Society | pages = 471–481 | title = A new solution to the three-body problem | url = https://www.ams.org/notices/200105/fea-montgomery.pdf | year = 2001}}</ref>在数值上证明了该解对于质量和轨道参数的小扰动是稳定的，这增加了在物理宇宙中可以观察到这种轨道的可能性。但有人认为不太可能发生这种情况，因为稳定性的范围小。在数值上证明了该解对于质量和轨道参数的小扰动是稳定的，这增加了在物理宇宙中可以观察到这种轨道的可能性。但是，由于稳定性的范围小，因此不太可能发生这种情况。例如，二元-二元散射事件导标号-8轨道的概率估计为1%的一小部分。<ref>{{citation | last = Heggie | first = Douglas C. | doi = 10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x | volume = 318 | issue = 4 | journal = Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
| pages = L61–L63 | title = A new outcome of binary–binary scattering | year = 2000| arxiv = astro-ph/9604016 | bibcode = 2000MNRAS.318L..61H }}</ref>
| pages = L61–L63 | title = A new outcome of binary–binary scattering | year = 2000| arxiv = astro-ph/9604016 | bibcode = 2000MNRAS.318L..61H }}</ref>
Laplace和Lagrange引入了N体问题的平均法，并证明了太阳系大约在1000年左右的时间尺度之内的稳定性。
Laplace和Lagrange引入了N体问题的平均法，并证明了太阳系大约在1000年左右的时间尺度之内的稳定性。
法国数学家庞加莱Poincare年轻的时候参加一个数学大奖赛，名字是奥斯卡国王二世奖。奥斯卡国王是当时挪威和瑞典的国王，非常热爱数学。庞加莱选择的题目是N体问题的级数解。在十九世纪，数学家普遍认为，对微分方程的求解即找到幂级数解。虽然庞加莱并没有解决这个问题，但是因为他的论文很精彩，仍然获得了这个奖。但是，他得奖之后以及论文发表之后，意识到论文有一个严重的错误。导致他购回了所有已经出版的论文，并纠正错误，写出一篇正确的论文，重新付印。庞加莱犯的这个错误是来自于其观念中认为三体问题是可解的，正如牛顿认为的那样。庞加莱后来正确的论文证明了在限制性三体问题中存在混沌，导致三体问题不能像两体问题那样求解。 这标志着混沌的发现。虽然庞加莱没有解决原来的级数解问题，但是他发现的混沌的意义远远大于原来的问题。原始的问题在三体情况下由Sundman解决，虽然得到的级数解收敛极其缓慢，没有实用价值。一般N体问题版本的原始问题由Qiudong Wang解决。
二十世纪中叶，Kolmogorov-Arnold-Moser通过对N体问题的研究提出了著名的KAM定理。这一定理意味着，N体问题中存在大量的不变环面，上面的轨道做拟周期运动。
二十世纪中叶，Kolmogorov-Arnold-Moser通过对N体问题的研究提出了著名的KAM定理。这一定理意味着，N体问题中存在大量的不变环面，上面的轨道做拟周期运动。
亚美利哥·韦斯普奇 Amerigo Vespucci和随后的 伽利略·伽利雷 Galileo Galilei提出了三体问题; 1499年，韦斯普奇 Vespucci利用对月球位置的了解来确定自己在巴西的位置。因为这种方法适用于导航，特别是在海上确定经度，1720年代该方法变得非常技术实用。事实上确定经度的问题被 约翰·哈里森 John Harrison发明的航海经线仪所解决。但是，由于太阳和行星对月球绕地球运动的干扰作用，月球理论的准确性很低。
亚美利哥·韦斯普奇 Amerigo Vespucci和随后的 伽利略·伽利雷 Galileo Galilei提出了三体问题; 1499年，韦斯普奇 Vespucci利用对月球位置的了解来确定自己在巴西的位置。因为这种方法适用于导航，特别是在海上确定经度，1720年代该方法变得非常技术实用。事实上确定经度的问题被 约翰·哈里森 John Harrison发明的航海经线仪所解决。但是，由于太阳和行星对月球绕地球运动的干扰作用，月球理论的准确性很低。