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第297行：
第297行： − − For every rational number {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}, where p and q are relatively prime, a hyperbolic component of period q bifurcates from the main cardioid. The part of the Mandelbrot set connected to the main cardioid at this bifurcation point is called the p/q-limb. Computer experiments suggest that the diameter of the limb tends to zero like {\displaystyle {\tfrac {1}{q^{2}}}}. The best current estimate known is the Yoccoz-inequality, which states that the size tends to zero like {\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}. − A period-q limb will have q − 1 "antennae" at the top of its limb. We can thus determine the period of a given bulb by counting these antennas. 第306行：
第303行： + − In an attempt to demonstrate that the thickness of the p/q-limb is zero, David Boll carried out a computer experiment in 1991, where he computed the number of iterations required for the series to diverge for z = {\displaystyle -{\tfrac {3}{4}}+i\epsilon } ({\displaystyle -{\tfrac {3}{4}}} being the location thereof). As the series doesn't diverge for the exact value of z = {\displaystyle -{\tfrac {3}{4}}}, the number of iterations required increases with a small ε. It turns out that multiplying the value of ε with the number of iterations required yields an approximation of π that becomes better for smaller ε. For example, for ε = 0.0000001 the number of <math>-\tfrac{3}{4} + i\epsilon</math> (<math>-\tfrac{3}{4}</math> iterations is 31415928 and the product is 3.1415928.[22] − − 为了证明 p / q-limb 的厚度为零，'''大卫·鲍尔 David Boll''' 在1991年利用计算机计算了使得z = <math>-\tfrac{3}{4} + i\epsilon</math> (<math>-\tfrac{3}{4}</math>的级数发散所需的迭代次数。)（<math>-\tfrac{3}{4}</math>是所处的位置）.由于z = <math>-\tfrac{3}{4}</math>为确切值，并不发散。则需要进一步缩小 ε、增加迭代次数，更加接近目标值。譬如：当ε = 0.0000001时，需迭代31415928次，此时输出值的π值为3.1415928。 − It can be shown that the Fibonacci sequence is located within the Mandelbrot Set and that a relation exists between the main cardioid and the Farey Diagram. − Upon mapping the main cardioid to a disk, one can notice that the amount of antennae that extends from the next largest Hyperbolic component, and that is located between the two previously selected components, follows suit with the Fibonacci sequence. 第330行：
第323行： − − The Mandelbrot set shows more intricate detail the closer one looks or magnifies the image, usually called "zooming in". The following example of an image sequence zooming to a selected c value gives an impression of the infinite richness of different geometrical structures and explains some of their typical rules. 第354行：
第345行： − The seahorse "body" is composed by 25 "spokes" consisting of two groups of 12 "spokes" each and one "spoke" connecting to the main cardioid. These two groups can be attributed by some kind of metamorphosis to the two "fingers" of the "upper hand" of the Mandelbrot set; therefore, the number of "spokes" increases from one "seahorse" to the next by 2; the "hub" is a so-called Misiurewicz point. Between the "upper part of the body" and the "tail" a distorted small copy of the Mandelbrot set called satellite may be recognized. 第399行：
第389行： − The islands above seem to consist of infinitely many parts like Cantor sets, as is[clarification needed] actually the case for the corresponding Julia set Jc. However, they are connected by tiny structures, so that the whole represents a simply connected set. − The tiny structures meet each other at a satellite in the center that is too small to be recognized at this magnification. The value of c for the corresponding Jc is not that of the image center but, relative to the main body of the Mandelbrot set, has the same position as the center of this image relative to the satellite shown in the 6th zoom step.+ − In addition to creating two dimensional images of the Mandelbrot set, various techniques can be used to render Mandelbrot and Julia sets as 3D Heightmap images, where each pixel in a 2D image is given a height value, and the resulting image is rendered as a 3D graphic. − − The simplest approach to 3D rendering uses the iteration value for each pixel as a height value. This produces images with distinct "steps" in the height value. 第418行：
第404行： − − If instead you use the fractional iteration value (also known as the potential function[23] to calculate the height value for each point, you avoid steps in the resulting image. However, images rendered in 3D using fractional iteration data still look rather bumpy and visually noisy. 第425行：
第409行： − − An alternative approach is to use Distance Estimate[24] (DE) data for each point to calculate a height value. Non-linear mapping of distance estimate value using an exponential function can produce visually pleasing images.Images plotted using DE data are often visually striking, and more importantly, the 3D shape makes it easy to visualize the thin "tendrils" that connect points of the set. Color plates 29 and 30 on page 121 of "The Science of Fractal Images" show a 2D and 3D image plotted using External Distance Estimates. 第482行：
第464行： + − The image below is similar to "zoom 5", above, but is an attempt to create a 3D version of the image "Map 44" from page 85 of the book "The Beauty of Fractals"[25] using a visually similar color scheme that shows the details of the plot in 3D.+ − 下图类似于上图中的“图49”，它来自于《分形之美》这本书的第85页图44的3D图像版本。 − −
→几何结构
[[File:P23_Unrolled_main_cardioid_of_Mandelbrot_set_for_periods_8-14.png|300px|thumb|right|主心脏形结构上带有7-13个天线的8-14个周期图案]]
[[File:P23_Unrolled_main_cardioid_of_Mandelbrot_set_for_periods_8-14.png|300px|thumb|right|主心脏形结构上带有7-13个天线的8-14个周期图案]]
对于任意有理数<math>\tfrac{p}{q}</math>，其中''p'' 和''q''互素，周期 ''q'' 的一个双曲分量从主心脏形结构分支出来。 在该分枝点上与主心脏形结构相连的曼德布洛特集部分称为 '''p / q-limb'''。 计算机实验表明，分枝体半径像<math>\tfrac{1}{q^2}</math>一样趋于0，目前最佳的拟合形式是'''约科兹不等式 Yoccoz-inequality'''，其尺寸像<math>\tfrac{1}{q}</math>一样趋于0。
对于任意有理数<math>\tfrac{p}{q}</math>，其中''p'' 和''q''互素，周期 ''q'' 的一个双曲分量从主心脏形结构分支出来。 在该分枝点上与主心脏形结构相连的曼德布洛特集部分称为 '''p / q-limb'''。 计算机实验表明，分枝体半径像<math>\tfrac{1}{q^2}</math>一样趋于0，目前最佳的拟合形式是'''约科兹不等式 Yoccoz-inequality'''，其尺寸像<math>\tfrac{1}{q}</math>一样趋于0。
周期为<math>q</math>的分枝体顶端有<math>q-1</math>个天线。我们可以通过计数这些触角反过来推算该特定分枝体的周期为多少。
周期为<math>q</math>的分枝体顶端有<math>q-1</math>个天线。我们可以通过计数这些触角反过来推算该特定分枝体的周期为多少。
=== 曼德布洛特集中的π ===
=== 曼德布洛特集中的π ===
为了证明 p / q-limb 的厚度为零，'''大卫·鲍尔 David Boll''' 在1991年利用计算机计算了使得 <math>z =-\tfrac{3}{4} + i\epsilon</math> (<math>-\tfrac{3}{4}</math>的级数发散所需的迭代次数。（<math>-\tfrac{3}{4}</math>是所处的位置）。由于z = <math>-\tfrac{3}{4}</math>为确切值，并不发散。则需要进一步缩小 ε、增加迭代次数，更加接近目标值。譬如：当ε = 0.0000001时，需迭代31415928次，此时输出值的π值为3.1415928。[22]
=== 曼德布洛特集中的斐波那契数列 ===
=== 曼德布洛特集中的斐波那契数列 ===
可以看出，'''斐波那契数列 Fibonacci Sequence'''位于曼德布洛特集内，且与主心脏形结构曲线和法雷数列图存在关联。
可以看出，'''斐波那契数列 Fibonacci Sequence'''位于曼德布洛特集内，且与主心脏形结构曲线和法雷数列图存在关联。
将主心脏结构曲线映射到一个圆盘上时，会观察到由下一个最大的双曲分量延伸出来的天线，其位于之前选择的两个分量之间。天线的数目变化是一个斐波那契数列。
将主心脏结构曲线映射到一个圆盘上时，会观察到由下一个最大的双曲分量延伸出来的天线，其位于之前选择的两个分量之间。天线的数目变化是一个斐波那契数列。
=== 不同缩放比率下的图像库 ===
=== 不同缩放比率下的图像库 ===
当一个人看得越近或放大图像时，达到的放大效果可以让曼德布洛特集显示出更复杂的细节。当将下图不断的放大，缩放到选定的<math>c</math>值形成一个反映其变化的图集时，会给人一种不同几何结构中蕴藏着无限想象力的感觉。下也对于它们的一些典型规则进行说明。
当一个人看得越近或放大图像时，达到的放大效果可以让曼德布洛特集显示出更复杂的细节。当将下图不断的放大，缩放到选定的<math>c</math>值形成一个反映其变化的图集时，会给人一种不同几何结构中蕴藏着无限想象力的感觉。下也对于它们的一些典型规则进行说明。
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海马的“身体”由25个“辐条”组成。25个“辐条”被分为三组，其中两组中各含有12个“辐条”，另一组单独由一个连接到主心脏形结构的“辐条”组成。这各含有12个“辐条”的两组可以通过某种变形变集合的“上臂”为曼德布洛特集的两根“手指”；中心是通常说的 Misiurewicz 点。在海马的“身体的上半部分”和“尾巴”之间，可发现一个扭曲的曼德布洛特集的小副本。该集合称为“卫星集”，也就是附属集。
海马的“身体”由25个“辐条”组成。25个“辐条”被分为三组，其中两组中各含有12个“辐条”，另一组单独由一个连接到主心脏形结构的“辐条”组成。这各含有12个“辐条”的两组可以通过某种变形变集合的“上臂”为曼德布洛特集的两根“手指”；中心是通常说的 Misiurewicz 点。在海马的“身体的上半部分”和“尾巴”之间，可发现一个扭曲的曼德布洛特集的小副本。该集合称为“卫星集”，也就是附属集。
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上面的岛屿似乎是由无限多的部分组成，就像'''康托集 Cantor Sets'''一样。但实际上这是对应的朱利亚集<math>J_c</math>的情况。然而，它们通过微小的结构进行连接，其整体代表了一个单连通集。
上面的岛屿似乎是由无限多的部分组成，就像'''康托集 Cantor Sets'''一样。但实际上这是对应的朱利亚集<math>J_c</math>的情况。然而，它们通过微小的结构进行连接，其整体代表了一个单连通集。
这些微小的结构在中间的卫星集处相遇，在这样的放大倍率下，该卫星集太小以至于无法被识别。相应的<math>J_c</math> 的<math>c</math>值不是该图像中心所对应的<math>c</math>值，而是第六个缩放步骤中，相对于曼德布洛特集的主体，其中心所示的相同位置上的卫星集所对应的<math>c</math>值。
这些微小的结构在中间的卫星集处相遇，在这样的放大倍率下，该卫星集太小以至于无法被识别。相应的<math>J_c</math> 的<math>c</math>值不是该图像中心所对应的<math>c</math>值，而是第六个缩放步骤中，相对于曼德布洛特集的主体，其中心所示的相同位置上的卫星集所对应的<math>c</math>值。
=== 曼德布洛特集和朱利亚集的3D图像 ===
=== 曼德布洛特集和朱利亚集的3D图像 ===
除了能绘制出曼德布洛特集的二维图像外，还可以利用各种技术绘制出曼德布洛特集和朱利亚集的三维图像。具体做法为：将其二维图像中的每个像素赋予一个高度值，即可生成三维图像。
除了能绘制出曼德布洛特集的二维图像外，还可以利用各种技术绘制出曼德布洛特集和朱利亚集的三维图像。具体做法为：将其二维图像中的每个像素赋予一个高度值，即可生成三维图像。
最简单的三维图像渲染方法是将每个像素的迭代值作为高度值，从而生成具有不同高度值的“台阶”的图像。
最简单的三维图像渲染方法是将每个像素的迭代值作为高度值，从而生成具有不同高度值的“台阶”的图像。
如果使用分数迭代值(也称为势函数[23])来计算每个点的高度值，则可以避免在生成的图像中执行步骤。 然而，使用分数迭代数据渲染的三维图像看起来比较粗糙且不太美观。
如果使用分数迭代值(也称为势函数[23])来计算每个点的高度值，则可以避免在生成的图像中执行步骤。 然而，使用分数迭代数据渲染的三维图像看起来比较粗糙且不太美观。
另一种方法是使用每个点的距离估计[24](DE)数据来计算高度值。利用指数函数对距离估计值进行非线性映射，可以得到感观较好的图像。使用 DE 数据绘制的图像往往在视觉上更引人关注。更重要的是，三维图像使得连接图像中各点的细“卷须”更易于观察。 在“分形图像的科学”第121页的图29、30显示了使用外部距离估计绘制的二维和三维图像。
另一种方法是使用每个点的距离估计[24](DE)数据来计算高度值。利用指数函数对距离估计值进行非线性映射，可以得到感观较好的图像。使用 DE 数据绘制的图像往往在视觉上更引人关注。更重要的是，三维图像使得连接图像中各点的细“卷须”更易于观察。 在“分形图像的科学”第121页的图29、30显示了使用外部距离估计绘制的二维和三维图像。
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下图类似于上图中的“zoom 05”，它来自于《分形之美》这本书的第85页图44的3D图像版本。
[[File:P61A_3D_version_of_the_Mandelbrot_set_plot__Map_44__from_the_book__The_Beauty_of_Fractals_.jpg|300px|thumb|center|《分形之美》这本书的第85页图44的曼德布洛特集的3D图像版本]]
[[File:P61A_3D_version_of_the_Mandelbrot_set_plot__Map_44__from_the_book__The_Beauty_of_Fractals_.jpg|300px|thumb|right|《分形之美》这本书的第85页图44的曼德布洛特集的3D图像版本]]
==推广 Generalizations ==
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